曾經(jīng)有這樣一個故事。蘇格拉底帶著他的一群學生去蘋果林，要求在每個人穿過蘋果林時挑選一只自己認為最大的蘋果，但是學生們不能回頭，也不能選擇多個蘋果。在終點集合時，學生們紛紛表示對自己的選擇不滿意。有的抱怨放棄了之前的大蘋果，有的抱怨選擇得太早，錯過了后面的大蘋果。然而，蘇格拉底語重心長地總結到：“這就是人生——一次無法重復的選擇“。但是，作為一名老師，蘇格拉底也許應該引導學生們，該怎么選擇？

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與”如何拿到最大的蘋果？“類似的問題還有很多，最著名的就是“秘書問題”。如果有n個申請者同時申請一個秘書職位，你作為人事經(jīng)理只能選擇一個錄取，并且不能吃回頭草，也就是說，在對每一個秘書候選人面試結束后，你只有兩個選擇：錄用此人，所有面試結束；請其回家，老死不相往來。在這種情況下，你應該用什么樣的錄取策略，才能最大化被錄取者在所有申請者里面最優(yōu)秀的概率呢？

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這類“最優(yōu)停止問題”（Optimal Stopping Problem）”看起來很難，不像有什么簡單的答案。但是，數(shù)學家們偏偏通過計算給出了一個數(shù)：1/e，近似于37%。

- 這個數(shù)是什么意思呢？又是怎么樣推論出來的呢？- 

當n足夠大時（比如 n = 100），最前面的 n/e 個申請者不管有多好都不錄取，也就是說面試的前（100/2.71828）人，即前37人，不錄用，僅供參考。在后面的面試中，只要有一個比前面申請者都優(yōu)秀的，就立即錄取。如果一直都沒有合適的申請者，就錄取最后一個申請者。通過以上策略所得出錄取者的最優(yōu)秀的概率也恰好等于1/e，近似于37%。

直覺上理解，前面的這 n/e 個申請者的作用在于“試水”，也就是先估測一下申請者整體的質量。在這之后，如果一個申請者比前面的人都優(yōu)秀，就說明TA有較高概率是所有申請者中最優(yōu)秀的人。

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具體來說，假設我們用前k個人來試水，那么得到最優(yōu)解的概率應該是

對一個固定的i來說，如果i是最好的申請者，那么TA被選中的概率就等于TA前面的申請者都被拒絕的概率。也就是說，只有當i-1個人里最優(yōu)秀的人恰好在前k個必須被拒的申請者中時，我們才可能等到第i個人。

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我們注意到，n個人中，任一申請者最優(yōu)秀的概率都是1/n。同理，前i-1個人中，每個人最優(yōu)秀的概率都是1/(i-1)，那么前k個人中出現(xiàn)了這個最優(yōu)秀的人的概率就是k/(i-1)。據(jù)此，我們可以把之前的最優(yōu)解概率寫為

你可能已經(jīng)認出來， 

也就是第n個調和級數(shù)。在n足夠大時約等于 ln(n + 1)，所以概率等于

注釋：調和級數(shù)（Harmonic series）是一個發(fā)散的無窮級數(shù)。調和級數(shù)是由調和數(shù)列各元素相加所得的和。（來自百度百科）

調和數(shù)列：正整數(shù)的倒數(shù)組成的數(shù)列。例如：1+1/2+1/3+......+1/n+......（來自百度百科）

下圖是n=100時，這個函數(shù)隨k的變化：

我們可以觀察到，這個函數(shù)在k為2-100時是個凸函數(shù)，所以在其導數(shù)為0時就能取得最大值。由此，我們得到導函數(shù)

注釋：凸函數(shù)是指一個定義在某個向量空間的凸子集C（區(qū)間）上的實值函數(shù)。凸函數(shù)還有一個重要的性質：對于凸函數(shù)來說哦，局部最小值就是全局最小值。

 所以能算出

也就是說，在 k = n/e 時得到的最優(yōu)選擇的概率最大。將 k = n/e 代入到概率的表達式中，可以得到

所以，錄取到最優(yōu)秀申請者的概率約等于1/e，近似于37%。