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（南寧三中   許興華數(shù)學(xué)）

如果一個(gè)人對數(shù)學(xué)思維方法非常感興趣，那這個(gè)人一定會天資聰穎、智慧過人！你們相信嗎？有一些人學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)有一個(gè)致命的毛病，就是“沒有足夠的耐心去看完一篇理論性的數(shù)學(xué)文章”。你是這樣的人嗎？那就看看你是否有足夠的耐心來認(rèn)認(rèn)真真地研讀完這篇文章了。哈哈！

什么是數(shù)學(xué)思維呢？

簡單地說就是，數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象(空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系)交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動。數(shù)學(xué)思維具有一般思維的根本特征,但又有自己的個(gè)性特征。這主要表現(xiàn)在思維活動的運(yùn)演方面,它是按照客觀存在的數(shù)學(xué)規(guī)律的表現(xiàn)方式進(jìn)行的,即具有數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和操作方式。特別是作為思維載體的數(shù)學(xué)語言的簡練、準(zhǔn)確和數(shù)學(xué)形式的符號化、抽象化、結(jié)構(gòu)化傾向。

從本質(zhì)上來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或研究應(yīng)該看成是數(shù)學(xué)思維過程和數(shù)學(xué)思維結(jié)果這二者的有機(jī)綜合。因而，也許我們可以說數(shù)學(xué)思維是“動”的數(shù)學(xué),而數(shù)學(xué)知識本身是“靜”的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)思維活動的產(chǎn)物。作為數(shù)學(xué)知識體現(xiàn)的數(shù)學(xué)科學(xué)具有內(nèi)容和表現(xiàn)形式的抽象性、結(jié)論的精確性、推理和結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?以及其結(jié)果在生產(chǎn)、生活和科研領(lǐng)域中廣泛的應(yīng)用性等特點(diǎn)。但是，在數(shù)學(xué)思維過程中,并非與數(shù)學(xué)知識的表述一樣,離不開抽象的邏輯思維,而是綜合地、交錯(cuò)地運(yùn)用了抽象思維與形象思維以及直覺思維。正是由于各種思維形態(tài)的協(xié)同運(yùn)用,數(shù)學(xué)家們才能具有更靈活的創(chuàng)造性去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新知識、解決新問題。

因此,從一般思維的特性和數(shù)學(xué)的特點(diǎn)這兩個(gè)方面的結(jié)合來分析,就可以得出數(shù)學(xué)思維的特性主要是概括性、抽象性和相似性（可類比性）。

    一、數(shù)學(xué)思維的概括性

數(shù)學(xué)思維的概括性是由于數(shù)學(xué)思維能揭示事物之間抽象的形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系。這些本質(zhì)特征和規(guī)律,能夠把握一類事物共有的數(shù)學(xué)屬性。思維的概括性還在于它的遷移性,就是使主體不僅能從部分事物相互聯(lián)系的事實(shí)中推知普遍的與必然的聯(lián)系,而且能將這種聯(lián)系推廣到同類現(xiàn)象中去,即應(yīng)用已知的數(shù)學(xué)關(guān)系去解決有關(guān)問題。數(shù)學(xué)思維的概括性與數(shù)學(xué)知識的抽象性是互為表里、互為因果的。概括的水平能夠反映思維活動的速度、廣度和深度、靈活遷移的程度以及創(chuàng)造程度,因此提高主體的數(shù)學(xué)概括水平是發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的重要標(biāo)志。

二、數(shù)學(xué)思維的抽象性

數(shù)學(xué)問題，很多都是需要高度的抽象思維的。下面我們舉的這幾個(gè)例子，可能是與高考數(shù)學(xué)無關(guān)的，但它們能很好地說明“數(shù)學(xué)思維的抽象性”。

【例2】如圖5所示，四邊形ABCD是一個(gè)直角梯形，而四邊形AECD是一個(gè)矩形，試證明：（1）線段DC和線段AE上面的點(diǎn)是一樣多的；

（2）線段DC和線段AB上面的點(diǎn)是一樣多的。

【問題解說】這個(gè)第一問的證明，我們的學(xué)生絕大多數(shù)都沒有問題，但第（2）問恐怕很多學(xué)生就感覺受不了了：這你老師不是明明在騙人嗎？線段AB和CD相比，AB很明顯地比CD 多出了一個(gè)線段EB上的無數(shù)個(gè)點(diǎn)，為什么AB與CD的點(diǎn)是一樣多的呢？

其實(shí)，我們可以這樣理解：如圖6所示，延長AD與BC的延長線相交于點(diǎn)F，在線段AB上任意取一點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM與DC相交于唯一的一點(diǎn)N。反之，在線段DC上任取一點(diǎn)N，則射線FN必與線段AB相交于唯一的一點(diǎn)M.這說明線段DC與線段AB上的點(diǎn)是“一一對應(yīng)”的。這個(gè)一一對應(yīng)就正好證明了“線段DC和線段AE上面的點(diǎn)是一樣多的”！——這就是數(shù)學(xué)高度的抽象性。關(guān)于這點(diǎn)好像有很多學(xué)生感覺是非常難以理解的。再看一個(gè)例子。

有一次，我在《今日頭條》的“微頭條”上面給出了一個(gè)挺簡單的“大眾數(shù)學(xué)”題目如下：

【例3】試證明：在區(qū)間(0，1)內(nèi)有無窮多個(gè)有理數(shù)，也有無窮多個(gè)無理數(shù)。

其實(shí)，這真的是一個(gè)簡單題目，但基礎(chǔ)差的學(xué)生竟然無從下手！原因就是，這個(gè)題目的證明，需要用到“構(gòu)造性”的思維方法。

三、數(shù)學(xué)思維的相似性

事實(shí)上，數(shù)學(xué)思維的相似性是普遍存在的,特別是在創(chuàng)造性思維活動中發(fā)揮著極其重要的作用。在數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展史上,數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)存在著相似現(xiàn)象。例如牛頓和萊布尼茲幾乎同時(shí)獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了微分方法。秦九韶和海倫也是先后獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)三角形的面積公式。

數(shù)學(xué)的發(fā)展就其思維活動的規(guī)律而言,是對各種數(shù)學(xué)模式的探求。解決數(shù)學(xué)問題的根本思想在于尋求客觀事物的數(shù)學(xué)關(guān)系和結(jié)構(gòu)的樣式,從已解決的問題中概括出思維模式,再用模式去處理類似問題。并進(jìn)而形成新模式,構(gòu)成相似系列,即各種概念、命題與方法的相似鏈。數(shù)學(xué)思維的相似性是對數(shù)學(xué)問題之間以及題本身的條件與結(jié)論之間的同與異這個(gè)矛盾的分析和轉(zhuǎn)化。因此,相似性是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特性。