在《X的奇幻之旅》這本書中，有兩句話，極大地刺激了我：

1.在人類思想史上，不斷地挑戰(zhàn)更難、更復(fù)雜的方程式，求解方程的根的過程，已經(jīng)化作了一首首偉大且光輝的史詩。

2.代數(shù)基本定理告訴我們：任何多項(xiàng)式的根一定是復(fù)數(shù)。這個定理的重要之處在哪里呢？它意味著漫長的旅途終于走到了目的地，從此以后，數(shù)字的范圍再也不需要擴(kuò)大了！在這條漫漫長路上，我們?nèi)祟愖吡撕芏嗄辏?/span>這條路的起點(diǎn)是1，終點(diǎn)和最高峰則是復(fù)數(shù)。

標(biāo)紅的這句話，是讓我重新審視數(shù)學(xué)，并開展中小學(xué)數(shù)學(xué)知識內(nèi)容整理工作的起點(diǎn)。

這句話告訴了我起點(diǎn)，也告訴了我終點(diǎn)，稍加聯(lián)系，我們就能把這條路徑清晰地呈現(xiàn)在我們的腦中。

這也是我們之前講的路徑：【整數(shù)】——【實(shí)數(shù)】——【復(fù)數(shù)】

物有本末，事有終始，知所先后，則近道矣。

走到【復(fù)數(shù)】的這一步，是給高中生學(xué)習(xí)的，而也只有高中階段的孩子們，才能開始明白“知所先后，則近道矣”。

即便暫時還不能完全明白，也沒有關(guān)系，我們現(xiàn)在再想一下，我們這幾篇數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容：

從“1”開始講，即從起點(diǎn)開始講；從正整數(shù)講到負(fù)整數(shù)以及“0”，人類發(fā)現(xiàn)“0”比發(fā)現(xiàn)“1”要晚了2萬年；從整數(shù)走到分?jǐn)?shù)與小數(shù)，我們區(qū)別了有理數(shù)和無理數(shù)。

知道數(shù)字被發(fā)明的時間先后，我們將進(jìn)一步了解不同數(shù)字所肩負(fù)的意義，我們也就更懂?dāng)?shù)學(xué)了。

聰明的孩子會發(fā)現(xiàn)，【整數(shù)】是被包含在【實(shí)數(shù)】中的。而【實(shí)數(shù)】也被包括在我們今天要講的【復(fù)數(shù)】中。

也就是說，雖然我們時常說走到哪一步，但這里并不是一條傳統(tǒng)觀念中的筆直的路，而是一個知識圈。

這樣子的知識圈，還有一個專有名詞：維恩圖。

高中階段學(xué)習(xí)集合這一章的時候，是一定會碰到維恩圖這個知識點(diǎn)的。并且，一點(diǎn)都不難理解。

這個圖，也是未來在工作崗位上，高頻出現(xiàn)的一個工具。

好了，看完三大數(shù)系相互關(guān)系的維恩圖之后，我們今天要來了解“漫漫長路上，我們?nèi)祟愖吡撕芏嗄辍?，才走到的終點(diǎn)：【復(fù)數(shù)】。

回頭思考我們剛才看到的《X的奇幻之旅》中的第一句話：

在人類思想史上，不斷地挑戰(zhàn)更難、更復(fù)雜的方程式，求解方程的根的過程，已經(jīng)化作了一首首偉大且光輝的史詩。

這句話，直白一點(diǎn)來說，是什么呢？就是——?dú)v代數(shù)學(xué)家們，都在做著一件重要的工作：求未知數(shù)。

我們現(xiàn)在輕易學(xué)會的一些解方程求未知數(shù)的方法，在過去，都是最偉大的數(shù)學(xué)家們翻越過的一座座高峰！感謝他們的努力與偉大的貢獻(xiàn)，才能讓我們今天把數(shù)學(xué)普及開來，人人都有機(jī)會掌握。

然而，即便是他們，也依然在很長的一段時間里，碰到越不過去困難——所以我們現(xiàn)在即便遇到學(xué)習(xí)上的困境也不用擔(dān)憂，總會有辦法的。

他們碰到了一個千年難題——負(fù)數(shù)的開平方無法計算。

中間碰到的無數(shù)的艱難我們不再敘述，聯(lián)系我們已經(jīng)學(xué)到的知識，對于一個一元二次方程：ax²+bx+c=0   是否有解（實(shí)數(shù)解），我們所使用的判定方法是：b²-4ac是否大于0。

因?yàn)?，這個方程的根為：

而一旦b²-4ac<>

幾千年解方程之路，走到這里，卡頓了。

一直到1545年意大利米蘭數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Jerome Cardan，1501—1576），把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中。成為了人類史上第一個敢于運(yùn)用負(fù)數(shù)的開平方的數(shù)學(xué)家。

而又過了近一百年之后的，1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650），使用了“虛的數(shù)”來定義負(fù)數(shù)的開平方，才使“虛數(shù)”一詞流傳開來。引來后繼更多的數(shù)學(xué)家對虛數(shù)進(jìn)行研究。

虛數(shù)的歷史很短，500年不到。但是虛數(shù)卻為我們的高等數(shù)學(xué)，科學(xué)的前沿探索作出了巨大的貢獻(xiàn)——這些部分同學(xué)們上大學(xué)之后再學(xué)習(xí)。

我們今天來把【虛數(shù)】講完。

定義：i²=-1

當(dāng)我閱讀幾千年的數(shù)學(xué)研究與進(jìn)化，看到那困住了所有古代偉大數(shù)學(xué)家的難題，被這樣簡潔而完美的一個定義所破解時候，我熱淚盈眶。

這個定義的意思是，我們給定一個“虛數(shù)” i ，使得它的平方等于-1。

從此，-1的開平方成為了可能：√-1=i

進(jìn)一步地，√-4=2i。因?yàn)?的平方等于4，i 的平方等于-1，-1乘于4等于-4。

同理可以把所有負(fù)數(shù)的開平方計算出來。

而我們上面說到的求根公式：

也就迎刃而解。即便b²-4ac<>

我們前頭一直討論的【復(fù)數(shù)】是什么呢？

我們把形如a+bi（a,b均為實(shí)數(shù)）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中a稱為實(shí)部，b稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位。

在復(fù)數(shù)z=a+bi中，1）當(dāng)b=0時，z=a，為實(shí)數(shù)；2）當(dāng)a=0且b≠0時，z=bi，為純虛數(shù)。

從這里我們也可以看到，【復(fù)數(shù)】包括了【實(shí)數(shù)】和【虛數(shù)】。也就是說對任一個多項(xiàng)式求根，無法求出實(shí)數(shù)根的話，也一定能求出復(fù)數(shù)根。

復(fù)數(shù)這個部分的理解，主要在于對虛數(shù)的理解。

這個經(jīng)歷了幾千上萬年難住了所有偉大數(shù)學(xué)家的難題，終于在我們近代500年左右的時間里面，被解答出來了。

而我們數(shù)系的學(xué)習(xí)，走到【復(fù)數(shù)】這一個概念的認(rèn)識，也走到了盡頭。

值得一說的是，這并不是高中學(xué)習(xí)的盡頭，而是一如《x的奇幻之旅》的作者史蒂夫·斯托加茨先生所說：

在這條漫漫長路上，我們?nèi)祟愖吡撕芏嗄辏?/span>這條路的起點(diǎn)是1，終點(diǎn)和最高峰則是復(fù)數(shù)。

這是全人類的終點(diǎn)和最高峰。

數(shù)系的學(xué)習(xí)，完。