本書對(duì)數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行了新的反思，深入淺出。作者嘗試從數(shù)學(xué)的角度討論了推理的模式，對(duì)比亞里士多德的演繹推理句式，提出使用歸納推理的方式進(jìn)行推理的邏輯性與合理性。圍繞義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的改革，作者解讀了義務(wù)教育中數(shù)學(xué)課程的標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)為課程大綱是工業(yè)化時(shí)代的產(chǎn)物，以知識(shí)為本，而現(xiàn)代社會(huì)更強(qiáng)調(diào)的是發(fā)展人為本。因此，作者在本書中列出了自己對(duì)于數(shù)學(xué)課程修訂的諸多建議，如重視學(xué)生的思維訓(xùn)練等。此外，作者以訪談錄的形式闡釋了自己對(duì)于中小學(xué)生數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)及數(shù)學(xué)教學(xué)方法的理念，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有極大的啟發(fā)性意義。

作者簡(jiǎn)介

東北師范大學(xué)資深教授,博士研究生導(dǎo)師,國(guó)內(nèi)著名數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家和教育家,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng),普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng),教育部中小學(xué)教材審查委員,曾任國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)學(xué)科評(píng)議組成員、教育部科學(xué)技術(shù)委員會(huì)數(shù)理字部委員,中國(guó)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)副理事長(zhǎng)東北師范大學(xué)校長(zhǎng)。

一、什么是數(shù)學(xué)基本思想？

在我國(guó)數(shù)學(xué)教育，特別是基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)基本思想一詞已經(jīng)被廣泛使用。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版) 》(簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》)明確指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通常說的等量替換、數(shù)形結(jié)合，遞歸法、換元法等，可以稱為數(shù)學(xué)思想方法，但不是數(shù)學(xué)基本思想。因?yàn)樵谑稣f這些概念的時(shí)候，必然要依附于某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，因此這些概念在本質(zhì)上是個(gè)案的而不是一般的; 此外，這些概念也不是最基本的，比如關(guān)于等量替換，人們可以進(jìn)一步追問:為什么可以在計(jì)算的過程中進(jìn)行等量替換呢?這就意味著，作為一種方法，等量替換可以用其他的更為基本的原理推演出來(lái)。為此，需要建立判斷數(shù)學(xué)基本思想的原則。

我們建立二個(gè)原則：

第一個(gè)原則，數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展必須依賴的那些思想。

第二個(gè)原則，學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具有的基本思維特征。

根據(jù)這兩個(gè)原則，我們把數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個(gè)核心要素:抽象、推理、模型。這三者對(duì)于數(shù)學(xué)的作用以及相互之間的關(guān)系大體是這樣的：

通過抽象，人們把現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)的研究對(duì)象,思維特征是抽象能力強(qiáng)；通過推理，人們從數(shù)學(xué)的研究對(duì)象出發(fā)，在一些假設(shè)條件下，有邏輯地得到研究對(duì)象的性質(zhì)以及描述研究對(duì)象之間關(guān)系的命題和計(jì)算結(jié)果，促進(jìn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，思維特征是邏輯推理能力強(qiáng);通過模型，人們用數(shù)學(xué)所創(chuàng)造的語(yǔ)言、符號(hào)和方法，描述現(xiàn)實(shí)世界中的故事，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，思維特征是表述事物規(guī)律的能力強(qiáng)。

當(dāng)然，針對(duì)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不可能把三者截然分開，特別是不能把抽象與推理、抽象與模型截然分開。在推理的過程中，往往需要從已有的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，抽象出那些并不是直接來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界的概念和運(yùn)算法則，比如，實(shí)數(shù)與高維空間的概念、矩陣與四元數(shù)的運(yùn)算法則等，在這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)并不僅僅研究那些直接來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界的東西;在構(gòu)建模型的過程中，往往需要在錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)背景中抽象出最為本質(zhì)的關(guān)系，并且用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言予以表達(dá)，比如，用s=1/2gt2這樣的算式表達(dá)物體自由降落的規(guī)律。反之，抽象的過程往往需要借助邏輯推理，比如，在一類事物中發(fā)現(xiàn)共性、分辨差異，抽象出數(shù)學(xué)的概念;通過推理判斷概念之間的關(guān)系，判斷什么是命題的獨(dú)立性、什么是命題的相容性，最終抽象出公理體系；在眾多個(gè)案的運(yùn)算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過推理驗(yàn)證什么是最本質(zhì)的規(guī)律，最終用抽象的符號(hào)表達(dá)一般性的運(yùn)算法則。因此，在數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的過程中，抽象、推理、模型這三者之間常常是你中有我、我中有你。

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抽象

抽象是從許多事物中含棄個(gè)別的、非本質(zhì)屬性， 得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程，是形成概念的必要手段。最初的抽象是基于直觀的，正如康德所說:

人類的一切知識(shí)都是從直觀開始，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束。

希爾伯特非常敬佩前輩康德。在出版紀(jì)念高斯的文集時(shí)，希爾伯特把1898- 1899年給學(xué)生授課時(shí)的講稿編寫成講義《幾何基礎(chǔ)》，把康德的這句話作為卷首題詞。

對(duì)于數(shù)學(xué)，抽象主要包括兩方面的內(nèi)容:數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系。這就意味著，數(shù)學(xué)的抽象不僅僅要抽象出數(shù)學(xué)所要研究的對(duì)象，還要抽象出這些研究對(duì)象之間的關(guān)系。與研究對(duì)象的存在性相比，研究對(duì)象之間的關(guān)系更為本質(zhì)。正如亞里士多德在《形而上學(xué)》中聽說:

個(gè)體不能同時(shí)在多處存在，共相卻可以同時(shí)存在于眾多，所以也不難明白，離開了特殊普遍將不復(fù)存在。

例如，數(shù)學(xué)家用抽象的方法對(duì)事物進(jìn)行研究，去掉感性的東西諸如輕重、軟硬、冷熱，剩下的只有數(shù)量和關(guān)系，而各種規(guī)定都是針對(duì)數(shù)量和關(guān)系的規(guī)定。有時(shí)研究位置之間的關(guān)系，有時(shí)研究可通約性，還研究各種比例，等等。......數(shù)學(xué)家把共同原理用于個(gè)別情況，……等量減等量余量相等，這便是一條對(duì)所有量都適用的共同原理。對(duì)于數(shù)學(xué)研究而言，線、角或者其他的量(的定義)，不是作為存在而是作為關(guān)系。

數(shù)學(xué)與數(shù)量關(guān)系的抽象

人們把現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量抽象為數(shù),形成自然數(shù)，并且用十個(gè)符號(hào)和數(shù)位進(jìn)行表示，得到了自然數(shù)集。在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)量關(guān)系的核心是多與少，人們又把這種關(guān)系抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，這就是數(shù)的大與小。后來(lái)，人們又把大小關(guān)系推演為更一般的序關(guān)系。

由大小關(guān)系的度量產(chǎn)生了自然數(shù)的加法，由加法的逆運(yùn)算產(chǎn)生了減法，由加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算產(chǎn)生了乘法，由乘法的逆運(yùn)算產(chǎn)生了除法。因此，數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)是四則運(yùn)算，這些運(yùn)算都是基于加法的。通過運(yùn)算的實(shí)踐以及對(duì)運(yùn)算性質(zhì)的研究，抽象出運(yùn)算法則。為了保證運(yùn)算結(jié)果的封閉性，就實(shí)現(xiàn)了數(shù)集的擴(kuò)張。在本質(zhì)上，數(shù)集的擴(kuò)張是因?yàn)槟孢\(yùn)算:為了減法運(yùn)算的封閉，自然數(shù)集擴(kuò)張為整數(shù)集;為了除法運(yùn)算的封閉，整數(shù)集擴(kuò)張為有理數(shù)集。

數(shù)學(xué)還有第五種運(yùn)算，這就是極限運(yùn)算，涉及數(shù)以及數(shù)的運(yùn)算的第二次抽象。雖然極限的思想古已有之，但極限運(yùn)算的確立，卻是源于牛頓、萊布尼茨于1684年左右創(chuàng)立的微積分，因?yàn)槲⒎e分的運(yùn)算基礎(chǔ)就是極限。為了合理地解釋極限，特別是為了合理地解釋函數(shù)的連續(xù)性，1821年到1860年這一段時(shí)間，柯西、魏爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家創(chuàng)造出“ε- δ語(yǔ)言”的描述方法。由此也開始構(gòu)建了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征:研究對(duì)象符號(hào)化、證明過程形式化和邏輯推理公理化。

為了很好地描述極限運(yùn)算，需要解決實(shí)數(shù)的運(yùn)算和連續(xù);為了很好地定義實(shí)數(shù)，需要解決無(wú)理數(shù)的定義與運(yùn)算;為了清晰定義無(wú)理數(shù)，需要重新認(rèn)識(shí)有理數(shù)。這樣，小數(shù)形式的有理數(shù)就出現(xiàn)了，這完全背離了用分?jǐn)?shù)形式表達(dá)有理數(shù)的初衷。這個(gè)初衷就是:有理數(shù)是可以用整數(shù)表示的數(shù)。這個(gè)初衷所表述的現(xiàn)實(shí)背景是:部分與整體的關(guān)系，或者，線段長(zhǎng)度之間的比例關(guān)系。

1872年，基于小數(shù)形式的有理數(shù)，康托用基本序列的方法，通過有理數(shù)列的極限定義了實(shí)數(shù)，解決了實(shí)數(shù)的運(yùn)算問題;戴德金用分割的方法，通過對(duì)有理數(shù)的分割定義了實(shí)數(shù)，解決了實(shí)數(shù)的連續(xù)性問題。1889年，皮亞諾構(gòu)建算術(shù)公理體系，重新定義了自然數(shù)。1908年，策梅洛給出了集合論公理體系，這便是人們通常所說的ZF集合論公理體系。借助這一系列的工作，人們終于合理地解釋了數(shù)和數(shù)的運(yùn)算，合理地解釋了微積分，構(gòu)建了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中關(guān)于數(shù)及其運(yùn)算的理論基礎(chǔ)。

由此可見，雖然人們?cè)诤茉缫郧熬统橄蟪隽藬?shù)以及四則運(yùn)算，抽象出了數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，甚至建立了基于極限運(yùn)算的微積分，但直到20世紀(jì)初，人們才合理地解釋了什么是數(shù)，以及各種關(guān)于數(shù)的運(yùn)算及其法則。

圖形與圖形關(guān)系的抽象

無(wú)獨(dú)有偶，圖形與圖形關(guān)系的抽象也經(jīng)歷了類似的過程?，F(xiàn)實(shí)世界中的圖形都是三維的，幾何學(xué)研究的對(duì)象，諸如點(diǎn)、線、面等都是抽象的產(chǎn)物，這些研究對(duì)象集中地表述在歐幾里得《原本》 這本書中。 歐幾里得用揭示內(nèi)涵的方法給出點(diǎn)、 線、面的定義，比如，點(diǎn)是沒有部分的那種東西。但是，凡是具體的陳述就必然會(huì)出現(xiàn)悖論:按照這樣的定義，應(yīng)當(dāng)如何解釋兩條直線相交必然交于一點(diǎn)呢?兩條直線怎么能交到?jīng)]有部分的那種東西上呢?此外，空氣是沒有部分的，空氣是不是點(diǎn)呢?即便如此，歐幾里得幾何仍然是數(shù)學(xué)抽象的典范，支撐了數(shù)學(xué)兩千多年的發(fā)展，并且成為近代物理學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)，主要表現(xiàn)在伽利略和牛頓的工作中。

隨著數(shù)學(xué)研究的深人，特別是非歐幾何以及實(shí):數(shù)理論的出現(xiàn)，人們需要更加嚴(yán)格地市視傳統(tǒng)的幾何學(xué)。1898 ，看爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》這本書中，重新給出了點(diǎn)、線、面的定義:用大寫字母A表示點(diǎn)，用小寫字母a表示直線，用希臘字母義α表示平面，這完全是符號(hào)化的定義,沒有任何涉及內(nèi)涵的話語(yǔ)。那么，完全沒有內(nèi)涵的定義也能成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象嗎?事實(shí)上，希爾伯特更為重要的工作在于他給出的五組公理，這五組公理限定了點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，給出了幾何研究的出發(fā)點(diǎn)，構(gòu)建了幾何公理體系。希爾伯特幾何公理體系的建立，完成了幾何學(xué)的第二次抽象。在式上，幾何學(xué)的研究已經(jīng)脫離了現(xiàn)實(shí)，正如希爾伯特所說的那樣：

歐幾里得關(guān)于點(diǎn)、線、面的定義在數(shù)學(xué)上是不重要的，它們之所以成為討論的中心，僅僅是因?yàn)楣硎稣f了它們之間的關(guān)系。換句話說，無(wú)論把它們稱為點(diǎn)、線、面，還是把它們稱為桌子、椅子、啤酒瓶，最終推理得到的結(jié)論都是一樣的。

小結(jié)

通過上面的討論可以看到，抽象是數(shù)學(xué)得以產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎(chǔ)，并且，與數(shù)學(xué)的發(fā)展同步，數(shù)學(xué)的抽象也經(jīng)歷了兩個(gè)階段。

第一階段的抽象是基于現(xiàn)實(shí)的，人們通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系的抽象，得到了數(shù)學(xué)的基本概念，這些基本概念包括數(shù)學(xué)研究對(duì)象的定義、刻畫研究對(duì)象關(guān)系的術(shù)語(yǔ)和計(jì)算方法。這種基于現(xiàn)實(shí)的抽象，是從感性具體上升到理性具體的思維過程。隨著數(shù)學(xué)研究的深人，還必須進(jìn)行第二階段的抽象，這個(gè)階段的抽象是基于邏輯的。人們通過第二階段的抽象，合理解釋了那些通過第一次排象已經(jīng)得到了的數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系。第二次抽象的特點(diǎn)是符號(hào)化、形式化和公理化，這是從理性具體上升到理性一般的思維過程。

但是，我們必須看到，雖然第二次抽象使得數(shù)學(xué)更加嚴(yán)謹(jǐn)，但第一次抽象卻是更為本質(zhì)的，因?yàn)榈谝淮纬橄髣?chuàng)造出了新的概念、運(yùn)算法則和基本原理，而第二次抽象只是更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟忉屵@些創(chuàng)造。事實(shí)上，如果沒有第一次抽象作為鋪墊，我們將無(wú)法理解第二次抽象的真實(shí)含義，就像沒有歐幾里得幾何作為鋪墊，我們將無(wú)法理解希爾伯特所創(chuàng)造的幾何公理體系到底說了些什么。

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推理

按照人們的通常理解，主要有三種思維形式:形象思維、邏輯思維和辯證思維。數(shù)學(xué)主要依賴的是邏輯思維，具體體現(xiàn)就是邏輯推理。人們通過邏輯推理，理解數(shù)學(xué)研究對(duì)象之間的因果關(guān)系，并且用抽象的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)描述這種關(guān)系，形成數(shù)學(xué)的命題和運(yùn)算結(jié)果，促進(jìn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展。

隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深人，根據(jù)研究問題的不同，數(shù)學(xué)逐漸形成各個(gè)分支，甚至形成各種流派。即便如此，因?yàn)閿?shù)學(xué)研究問題的出發(fā)點(diǎn)是一致的， 邏輯推理規(guī)則也是一致的， 因此，至少現(xiàn)在的研究結(jié)果表明，數(shù)學(xué)在整體上具有一致性。也就是說，雖然數(shù)學(xué)各個(gè)分支所研究的問題似乎風(fēng)馬牛不相及，但數(shù)學(xué)各個(gè)分支得到的結(jié)果卻是相互協(xié)調(diào)的。為此，人們不能不為數(shù)學(xué)的這種整體一 致性感到驚嘆:數(shù)學(xué)似乎蘊(yùn)含著某種類似真理那樣的東西。

推理是對(duì)命題的判斷，是從一個(gè)命題判斷到另個(gè)命題判斷的思維過程。這里所說的命題，是可供判斷的陳述句，如果也用陳述句表述計(jì)算結(jié)果，那么，數(shù)學(xué)的所有結(jié)論都是命題。進(jìn)一步，所謂有邏輯的推理，是指所要判斷的命題之間具有某種傳遞性，更形象地說，就是有一條主線能把這些命題串聯(lián)起來(lái)。據(jù)此，“凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死”，這樣的推斷是有邏輯的;“蘇格拉底是人蘇格拉底有死，柏拉圖是人柏拉圖有死，所以凡人都有死”，這樣的推理也是有邏輯的;但是，“蘋果是酸的，酸的是一種味道，所以蘋果是一種味道”，這樣的推理是沒有邏輯的?；谏厦娴氖稣f，本質(zhì)上只有兩種形式的邏輯推理，一種是歸納推理，一種是演繹推理。

歸納推理

歸納推理是命題的適用范圍由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理，比如上述第二個(gè)推理。通過歸納推理得到的結(jié)論是或然成立的。

歸納推理包括不完全歸納法、類比法、簡(jiǎn)單枚舉法、數(shù)據(jù)分析等。人們借助歸納推理，從經(jīng)驗(yàn)過的東西出發(fā)推斷未曾經(jīng)驗(yàn)過的東西，因此，除去通過計(jì)算得到的結(jié)果之外，數(shù)學(xué)的結(jié)論都是通過歸納推理得到的。也就是說，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來(lái)的，而不是“證”出來(lái)的，雖然看出的數(shù)學(xué)結(jié)果不一定正確，但指引了數(shù)學(xué)研究的方向。

演繹推理

演繹推理是命題的適用范圍由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理， 比如上述第一個(gè)推理。 通過演繹推理得到的結(jié)論是必然成立的。

演繹推理包括三段論、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、算法邏輯等。人們借助演繹推理，按照假設(shè)前提和規(guī)定的法則驗(yàn)證那些通過歸納推理得到的結(jié)論，這便是數(shù)學(xué)的“證明”。通過證明能夠驗(yàn)證結(jié)論的正確性，但不能使命題的內(nèi)涵得到擴(kuò)張。也就是說，演繹推理能保證論述的結(jié)論與論述的前提一樣可靠，但不能增添新的東西。

小結(jié)

數(shù)學(xué)之所以具有類似真理那樣的合理性，或者說，數(shù)學(xué)之所以具有嚴(yán)謹(jǐn)性，正是因?yàn)閿?shù)學(xué)的結(jié)論從產(chǎn)生到驗(yàn)證的整個(gè)過程，都嚴(yán)格地遵循了上述兩種形式的邏輯推理。但是，在我們現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)中，過分強(qiáng)調(diào)了演繹推理而忽略了歸納推理，過分強(qiáng)調(diào)了命題的證明而忽略了命題的提出以及對(duì)命題的直觀理解。我們不能不思考這樣的問題，無(wú)論是大學(xué)的數(shù)學(xué)教育，還是中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育，是不是都應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造出一些問題的情境，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)些對(duì)于他們而言是新的數(shù)學(xué)結(jié)論呢？

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模型

數(shù)學(xué)模型與人們通常所說的數(shù)學(xué)應(yīng)用是有所區(qū)別的:數(shù)學(xué)應(yīng)用涉及的范圍相當(dāng)寬泛，可以泛指應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問題的所有事情;數(shù)學(xué)模型更側(cè)重用數(shù)學(xué)創(chuàng)造出來(lái)的概念、原理和方法，描述現(xiàn)實(shí)世界中的那些規(guī)律性的東西。通俗地說，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)量、圖形有關(guān)的故事。數(shù)學(xué)模型使數(shù)學(xué)走出了自我封閉的世界，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。關(guān)于這一點(diǎn)，伽利略的經(jīng)驗(yàn)之談是最好的詮釋:

哲學(xué)被寫在展現(xiàn)于我們眼前的偉大之書上，這里我指的是宇宙。但是如果我們不首先學(xué)會(huì)用來(lái)書寫它的語(yǔ)言和符號(hào)，我們就無(wú)法理解它。這本書是以數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫的，它的符號(hào)就是三角形、圓和其他幾何圖形，沒有這些符號(hào)的幫助，我們簡(jiǎn)直無(wú)法理解它的片言只語(yǔ);沒有這些符號(hào)，我們只能在黑暗的迷宮中徒勞地摸索。

因此，數(shù)學(xué)模型的出發(fā)點(diǎn)往往不是數(shù)學(xué)，而是將要講述的現(xiàn)實(shí)世界中的那些故事;數(shù)學(xué)模型的研究手法也不是單向的，需要從數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)這兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)開始，這就像建筑橋梁一樣， 在建筑之前必須清楚要把橋梁建筑在哪里，要在此岸和彼岸同時(shí)設(shè)計(jì)橋墩的具體位置。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的大體流程是:從兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)開始，規(guī)劃研究路徑、確立描述用語(yǔ)、驗(yàn)證研究結(jié)果、解釋結(jié)果含義，從而得到與現(xiàn)實(shí)世界相容的、可以用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)表達(dá)。

在現(xiàn)實(shí)世界中，放之四海而皆準(zhǔn)的東西是不存在的，因此，一個(gè)數(shù)學(xué)模型必然有其適用范圍，這個(gè)適用范圍通常表現(xiàn)于模型的假設(shè)前提、模型的初始值以及對(duì)模型中參數(shù)的限制。在這個(gè)意義上，所有數(shù)學(xué)的形式，諸如函數(shù)、方程等，本身都不是數(shù)學(xué)模型，而是可以用來(lái)構(gòu)建模型的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

因?yàn)閿?shù)學(xué)模型具有數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)這兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)，因此，數(shù)學(xué)模型就不完全屬于數(shù)學(xué)。事實(shí)上，大多數(shù)應(yīng)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型的命名，都依賴于所描述的學(xué)科背景。比如，生物學(xué)中的種群增長(zhǎng)模型、基因復(fù)制模型等;醫(yī)藥學(xué)中的專家診斷模型、疾病靶向模型等;氣象學(xué)中的大氣環(huán)流模型、中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)模型等;地質(zhì)學(xué)中的板塊構(gòu)造模型、地下水模型等;經(jīng)濟(jì)學(xué)中的股票行生模型、組合投資模型等;管理學(xué)中投人產(chǎn)出快人力資源模型等;社會(huì)學(xué)中人口發(fā)展模型、信息傳播模型等。在物理子和化學(xué)中，各類數(shù)學(xué)模型更是不勝枚舉。

小結(jié)

數(shù)學(xué)模型描述的是現(xiàn)實(shí)世界的故事，因此，數(shù)學(xué)模型不僅研究的出發(fā)點(diǎn)不是數(shù)學(xué)本身，就連價(jià)值取向也不是數(shù)學(xué)本身，而是描述現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界的作用。針對(duì)每一個(gè)具體的學(xué)科， 強(qiáng)調(diào)的是描述那個(gè)學(xué)科規(guī)律性問題的作用，比如，那些獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)模型，人們關(guān)注的并不是模型的數(shù)學(xué)價(jià)值，而關(guān)注的是模型是否能夠很好地描述經(jīng)濟(jì)學(xué)中的某些規(guī)律。

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總結(jié)

人們普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有三個(gè)顯著特征:一般性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性。事實(shí)上，這三個(gè)顯著特征的形成，依賴于數(shù)學(xué)的基本思想。

抽象出來(lái)的東西必然要脫離具體的表象，因此數(shù)學(xué)是一般的，特別是經(jīng)過了第二次抽象，數(shù)學(xué)的表達(dá)實(shí)現(xiàn)了符號(hào)化，走向了一般化的極致;數(shù)學(xué)的推理是有邏輯的，通過歸納推理預(yù)測(cè)結(jié)論、通過演繹推理驗(yàn)證結(jié)論，因此數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模貏e是近代數(shù)學(xué)的證明過程實(shí)現(xiàn)了公理體系下的形式化，使得數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)走向極致;模型思想的本質(zhì)是站在現(xiàn)實(shí)的立場(chǎng)上，思考現(xiàn)實(shí)世界中規(guī)律性的問題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事，用現(xiàn)實(shí)的效果評(píng)價(jià)模型的功效，這樣的應(yīng)用是與現(xiàn)實(shí)世界融合的，因此，數(shù)學(xué)的應(yīng)用是廣泛的。

毋庸置疑，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是極為重要的，嚴(yán)謹(jǐn)性也是人們對(duì)數(shù)學(xué)的一種普遍認(rèn)識(shí)。 在現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教育中，人們認(rèn)真地遵循著這個(gè)原則?？墒?，數(shù)學(xué)為什么需要嚴(yán)謹(jǐn)性呢?嚴(yán)謹(jǐn)性對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是什么呢?關(guān)于這個(gè)問題，阿蒂亞有一段精彩的描述:

現(xiàn)在你可能會(huì)問:什么是嚴(yán)格性?一些人把“嚴(yán)格”定義'rigormortis' (僵化)， 相信伴隨純粹數(shù)學(xué)而來(lái)的，是對(duì)那些知道如何得到正確答案的人的活動(dòng)的抑制。我想，我們必須再次記住數(shù)學(xué)是人類的一種活動(dòng)。我們的目標(biāo)不僅是要發(fā)現(xiàn)些什么，而且要把信息傳下去?！瓏?yán)格的數(shù)學(xué)論證的作用正在于使得本來(lái)是主觀的、極度依賴個(gè)人直覺的事物，變得具有客觀性并能夠加以傳遞。我完全不想拒絕直覺帶來(lái)的好處，只是強(qiáng)調(diào)為了能向他人傳播，所獲得的發(fā)現(xiàn)最終應(yīng)以如下方式表述:清晰明確，毫不含糊，能被并無(wú)開創(chuàng)者那種洞察力的人所理解。......一旦你進(jìn)入研究的下一階段，對(duì)已得到的結(jié)構(gòu)開始提出更復(fù)雜、更精細(xì)的問題時(shí)，對(duì)最初的基礎(chǔ)性工作的深入理解就會(huì)變得越來(lái)越重要。所以，正是你所從事的研究本身，需要嚴(yán)格的論證，如果缺乏牢固的基礎(chǔ)，你修建的整座建筑將岌岌可危。

正如前面討論的那樣，數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，依賴的并不是一般性，也不是嚴(yán)謹(jǐn)性，而依賴的是主觀的個(gè)人直覺。只是為了便于他人的理解、便于交流、便于研究的深人，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性才變得異常重要。因此，在數(shù)學(xué)教育的過程中，應(yīng)當(dāng)注重嚴(yán)謹(jǐn)性。但是，我們也應(yīng)當(dāng)看到，因?yàn)閲?yán)謹(jǐn)性的功能不在于發(fā)現(xiàn)知識(shí)，而在于解釋知識(shí)，因此嚴(yán)謹(jǐn)性僅僅是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)特征，而不是數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)。那么，在數(shù)學(xué)教育中，比嚴(yán)謹(jǐn)性更為重要的是什么呢?

二、在數(shù)學(xué)教育中體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想

任何一件事情，一旦走到了極致就會(huì)出現(xiàn)異化，這便是孔子所說的“過猶不及”。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性也是如此。在數(shù)學(xué)教育的過程中，如果過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)的概念就會(huì)被表示成為一堆符號(hào)，數(shù)學(xué)的推理就會(huì)被表現(xiàn)為一種形式，正如羅素在《西方哲學(xué)史》中所說的那樣：

我應(yīng)當(dāng)同意柏拉圖的說法，純粹數(shù)學(xué)并不是從知覺得來(lái)的。純粹數(shù)學(xué)包含都是類似“人是人”這樣的同義反復(fù)，只不過是更為復(fù)雜罷了。要知道， 判斷一個(gè)數(shù)學(xué)命題是否正確，我們并不需要研究世界，而只需要研究符號(hào)的意義;而符號(hào)，當(dāng)我們省略了定義之后，只不過是“或者”“不是”“一切”和“某些”之類的話語(yǔ)，并不指向現(xiàn)實(shí)世界中的任何事物。

羅素是哲學(xué)家，是數(shù)學(xué)邏輯主義學(xué)派的代表。在羅米的眼中，數(shù)學(xué)的命題或者數(shù)學(xué)的結(jié)論，就是用一些表示關(guān)系的邏輯術(shù)語(yǔ)把表示概念的名詞連接在起。如果不顧及概念的實(shí)際含義，那么，數(shù)學(xué)最終就如羅素評(píng)述的那樣:

數(shù)學(xué)的真理，正如柏拉圖所說，與知覺無(wú)關(guān)，這是一種非常奇特的真理，僅僅涉及符號(hào)。

羅素把數(shù)學(xué)的邏輯推到了極致，因此，不能也不應(yīng)當(dāng)用羅素的觀點(diǎn)實(shí)施數(shù)學(xué)教育。雖然在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，結(jié)論的最終表述僅僅涉及符號(hào)和邏輯術(shù)語(yǔ)，平淡乏味，但在事實(shí)上，大多數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)論的內(nèi)涵是豐富多彩的，結(jié)論的形成過程是生機(jī)勃勃的。比如，在數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的研究中，最具創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)工具微積分的產(chǎn)生與發(fā)展;在圖形與圖形關(guān)系的研究中，最具想象力的數(shù)學(xué)表達(dá)黎曼幾何的產(chǎn)生與發(fā)展。所以，在數(shù)學(xué)教育的過程中，不能過分沉迷于符號(hào)和邏輯術(shù)語(yǔ)，過分拘泥于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。完全基于符號(hào)化、形式化和公理化的數(shù)學(xué)教學(xué)，必然會(huì)掩蓋數(shù)學(xué)命題的本質(zhì)，淡化數(shù)學(xué)思維的活力，進(jìn)而忘卻了人的原本直覺。一個(gè)好的數(shù)學(xué)教育，不能讓學(xué)生僅僅在形式上記住數(shù)學(xué)概念、在邏輯上理解數(shù)學(xué)道理、在技巧上會(huì)解數(shù)學(xué)習(xí)題。關(guān)于這一點(diǎn)，柯朗在《什么是數(shù)學(xué)》的序言中有過明確評(píng)述:

今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入了嚴(yán)重的危機(jī)之中，而且遺感的是，數(shù)學(xué)工作者要對(duì)此負(fù)一定的責(zé)任。數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟變成空洞的解題訓(xùn)練。這種訓(xùn)練雖然可以提高形式推導(dǎo)的能力，但不能導(dǎo)致真正的理解與深入的獨(dú)立的思考。在這里，柯朗強(qiáng)調(diào)了真正的理解與深人的獨(dú)立思考。事實(shí)上，過分沉迷于符號(hào)和邏輯術(shù)語(yǔ)，不僅妨礙了真正的理解與深人的獨(dú)立思考，也不可能獲取真正的知識(shí)，正如愛因斯坦所說:

純粹的邏輯思維不能給我們?nèi)魏侮P(guān)于經(jīng)驗(yàn)世界的知識(shí);一切關(guān)于實(shí)在的知識(shí)，都是從經(jīng)驗(yàn)開始，又終結(jié)于經(jīng)驗(yàn)。用純粹邏輯方法得到的所有命題，對(duì)于實(shí)在來(lái)說是完全空洞的。由于伽利略看到了這一點(diǎn)，尤其是由于他向科學(xué)界諄諄不倦地教導(dǎo)這一點(diǎn)，他才成為近代物理學(xué)之父，事實(shí)上，也成為整個(gè)近代科學(xué)之父。

那么，什么樣的數(shù)學(xué)教育才有利于真正理解、有利于獨(dú)立思考、有利于獲取真正的知識(shí)呢?這就是突出數(shù)學(xué)基本思想的數(shù)學(xué)教育，其理由至少體現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)部和數(shù)學(xué)外部?jī)蓚€(gè)方面。

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體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育內(nèi)部

數(shù)學(xué)教育不應(yīng)當(dāng)讓教師和學(xué)生都沉迷于符號(hào)的世界:概念靠記憶，計(jì)算靠程式，證明靠形式。為了改變這種現(xiàn)狀，一個(gè)好的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師需要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)出合適的教字情境，讓學(xué)生在情境中理解數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算法則，感悟數(shù)學(xué)命題的構(gòu)建過程，感悟問題的本原和數(shù)學(xué)表達(dá)的意義。為了說明這一點(diǎn)，下面引用一段愛因斯坦的話，這段話來(lái)源于1921年1月27日他在普魯土科學(xué)院所作的報(bào)告，那是在相對(duì)論剛被提出不久的時(shí)候：

數(shù)學(xué)既然是一種同經(jīng)驗(yàn)無(wú)關(guān)的人類思維的產(chǎn)物，它怎么能夠這樣美妙地適合實(shí)在客體呢?那么，是不是不要經(jīng)驗(yàn)而只靠思維，人類的理性就能夠推測(cè)到實(shí)在事物的性質(zhì)呢?

照我的見解，問題的答案扼要說來(lái)是:只要數(shù)學(xué)的命題是涉及實(shí)在的，它們就是不可靠的:只要它們是可靠的，它們就不涉及實(shí)在。我覺得，只有通過那個(gè)在數(shù)學(xué)中叫作“公理學(xué)”的趨向，這種情況的完全明晰性才成為公共財(cái)產(chǎn)。公理學(xué)所取得的進(jìn)步，在于把邏輯形式同它的客觀的、或者直覺的內(nèi)容截然劃分開來(lái);依照公理，只有邏輯形式才構(gòu)成數(shù)學(xué)的題材，而不涉及直覺的、或者別的與邏輯形式有關(guān)的內(nèi)容。

另一方面也是確定無(wú)疑的，一般來(lái)說，數(shù)學(xué)，特別是幾何學(xué)，它之所以存在，是由于需要了解實(shí)在客體行為的某些方面。......而僅有公理學(xué)的幾何概念體系，顯然不能對(duì)實(shí)在客體的行為作出任何斷言。為了能夠作出這種斷言，幾何學(xué)必須去掉單純的邏輯形式的特征，應(yīng)當(dāng)把經(jīng)驗(yàn)的實(shí)在客體同公理學(xué)的幾何概念的空架子對(duì)應(yīng)起來(lái)。

由此可見，雖然為了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，現(xiàn)代數(shù)學(xué)逐漸走向了符號(hào)化、形式化和公理化，但數(shù)學(xué)的教學(xué)過程卻應(yīng)當(dāng)反其道而行之:雖然概念的表達(dá)是符號(hào)的，但對(duì)概念的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)是有具體背景的;雖然證明的過程是形式的，但對(duì)證明的理解應(yīng)當(dāng)是直觀的;雖然邏輯的基礎(chǔ)是基于公理的，但思維的過程應(yīng)當(dāng)是歸納的。為此，在數(shù)學(xué)教育的過程中，把握數(shù)學(xué)基本思想是極為重要的，因?yàn)闊o(wú)論是情境的創(chuàng)設(shè)，還是問題的提出、思維的引導(dǎo)，都應(yīng)當(dāng)源于數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這個(gè)本質(zhì)就是數(shù)學(xué)基本思想。

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體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育外部

基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育必須重視這樣-一個(gè)基本事實(shí)，就是學(xué)生中的大多數(shù)，將來(lái)所從事的工作很可能不需要研究數(shù)學(xué)，因此，這些學(xué)生從事工作后，會(huì)把辛辛苦苦記住的那些數(shù)學(xué)概念、證明方法以及解題技能逐漸忘掉。這個(gè)現(xiàn)實(shí)，給基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育提出了一個(gè)非常本質(zhì)的問題:是否應(yīng)當(dāng)在知識(shí)和技能的基礎(chǔ)上，還能讓學(xué)生感悟一些東西、 積累一些經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生終生受益呢?正是為了這個(gè)目的，我在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 年版)解讀》的緒論中寫道:

與教學(xué)大綱相比，課程標(biāo)準(zhǔn)更加重視學(xué)生能力的培養(yǎng)和素養(yǎng)的提高?！稑?biāo)準(zhǔn)(2011 年版)》的培養(yǎng)目標(biāo)在原有“雙基”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步明確提出了“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的要求，這樣就把“雙基”擴(kuò)展為“四基”。希望學(xué)生在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了獲得必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能之外，還能感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)的積累是一種隱性的東西，但恰恰就是這種隱性的東西在很大程度上影響人的思想方法，因此，對(duì)學(xué)生，特別是對(duì)那些未來(lái)不從事數(shù)學(xué)工作的學(xué)生的重要性是不言而喻的，這是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，也是“育人為本”教育理念在數(shù)學(xué)學(xué)科的具體體現(xiàn)。

顯然，思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)的積累僅僅依賴教師的講授是不行的，更主要的是依賴學(xué)生親自參與其中的數(shù)學(xué)活動(dòng)，依賴學(xué)生的獨(dú)立思考，這是一種過程的教育。

依據(jù)上面的說法，對(duì)于數(shù)學(xué)教育，“過程教育”所說的“過程”不是數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程，也不是數(shù)學(xué)家所描述的數(shù)學(xué)思維過程，而見學(xué)生自己理解數(shù)學(xué)的思維過程。一個(gè)人會(huì)想問題，不是學(xué)習(xí)的結(jié)果，而是經(jīng)驗(yàn)的積累，是學(xué)生在獨(dú)立思考的過程中逐漸形成的思維習(xí)慣。因此在基礎(chǔ)教育階段，一個(gè)好的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)更多地傾向于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣，像我們?cè)谇懊嬲劦竭^的那樣:會(huì)在錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中把握本質(zhì)，進(jìn)而抽象能力強(qiáng);會(huì)在雜亂無(wú)章的事物中理清頭緒，進(jìn)而推理能力強(qiáng);會(huì)在千頭萬(wàn)緒的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而建模能力強(qiáng)。這些，恰恰是數(shù)學(xué)基本思想的核心。

傳播數(shù)學(xué)，普及大眾