勾股定理是八年級數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是期末考試的必考點(diǎn)，本文就例題詳細(xì)講解合理添加輔助線、運(yùn)用勾股定理解決三角形動點(diǎn)最值問題的解題思路，希望能給大家的期末復(fù)習(xí)備考提供幫助。

例題

如圖，正三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點(diǎn)，P是BC邊上任意一點(diǎn)，PA+PM的最大值和最小值分別記作S和T，求S-T的值.

輔助線：以BC為邊作∠PBN=60°，使得BN=BM，連接PN，過N作ND⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)D。

根據(jù)全等三角形的判定定理和題目中的條件：兩組邊及其夾角分別相等的三角形為全等三角形，BN=BM，∠PBN=∠PBM，PB=PB，則△PBN≌△PBM。

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和結(jié)論：全等三角形的對應(yīng)邊相等，△PBN≌△PBM，則PN=PM。

根據(jù)結(jié)論：PN=PM，則PA+PM=PA+ PN。

（1）當(dāng)P、A、N在同一條直線上時，PA+ PN取到最小值T，T=AN

根據(jù)題目中的條件：正三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點(diǎn)，則BM=AB/2=1。

根據(jù)結(jié)論：BN=BM，BM=1，則BN=1。

根據(jù)正三角形的性質(zhì)和題目中的條件：正三角形的每個角為60°，△ABC為正三角形，則∠ABC=60°。

根據(jù)題目中的條件和結(jié)論：∠DBN+∠ABC+∠PBN=180°，∠PBN=60°，∠ABC=60°，則∠DBN=60°。

根據(jù)題目中的條件：ND⊥AB，則∠NDB=90°。

根據(jù)題目中條件和結(jié)論：∠NDB+∠DBN+∠BND=180°，∠DBN=60°，∠NDB=90°，則∠BND=30°。

根據(jù)含30度角直角三角形的性質(zhì)和結(jié)論：在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，∠NDB=90°，∠BND=30°，BN=1，則BD=BN/2=1/2。

根據(jù)勾股定理和結(jié)論：BN=BD+ND，BD=1/2， BN=1，則ND=√3/2。

根據(jù)題目中的條件和結(jié)論：AB=2，BD=1/2，AD= AB+ BD，則AD=5/2。

根據(jù)勾股定理和結(jié)論：AN=AD+ND，AD=5/2，ND=√3/2，AN=√7。

所以，PA+ PN的最小值為√7。

（2）當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時，PA+ PN取到最大值S，S=AC+CN

取BC的中點(diǎn)E，連接NE

根據(jù)題目中的條件：E為BC的中點(diǎn)，BC=2，則BE=BC/2=1。

根據(jù)結(jié)論：BE=1，BN=1，則△EBN為等腰三角形。

根據(jù)等邊三角形的判定定理和結(jié)論：一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形，△EBN為等腰三角形，∠PBN=60°，則△EBN為等邊三角形。

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和結(jié)論：等邊三角形的三邊相等，△EBN為等邊三角形，則EN=BE。

根據(jù)結(jié)論： EN=BE，BE=BC/2，則EN= BC/2。

根據(jù)直角三角形的判定和結(jié)論：一個三角形，如果這個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形，EN= BC/2，則△PBN為直角三角形，即∠PNB=90°。

根據(jù)勾股定理和結(jié)論：PB=BN+PN，PB=2，BN=1，則PN=√3。

根據(jù)結(jié)論：AP=2，PN=√3，則PA+ PN=2+√3。

所以， PA+ PN的最小值為2+√3。

根據(jù)結(jié)論：T=√7，S=2+√3，則S-T=4√3。

結(jié)語

運(yùn)用勾股定理計算三角形邊長的解題思路：

1、合理添加輔助線，構(gòu)造題目需要求解的線段所在的直角三角形；

2、利用特殊直角三角形的三邊關(guān)系及題目中的條件，得到構(gòu)造出來的直角三角形的邊長；

3、利用勾股定理進(jìn)行計算求解。