最近考試不斷，今天終于告一段落了。矩陣論我花了將近兩個禮拜復(fù)習(xí)，多少有點(diǎn)感悟，所以趕緊寫下來，不然估計(jì)到時候又還給老師了，也希望自己的見解對你們也有幫助??！

總的來說矩陣論就講了如下6個知識點(diǎn)：

（1）線性空間與線性變換

（2）范數(shù)理論及其應(yīng)用

（3）矩陣分析及其應(yīng)用

（4）矩陣分解

（5）特征值的估計(jì)

（6）廣義逆矩陣

1.線性空間與線性變換

1.1線性空間

1.2線性變換及其矩陣

這一節(jié)出現(xiàn)一個概念叫做線性變換，記為T，出現(xiàn)線性變換的原因就是對于一個向量我們希望通過某種變換將該向量轉(zhuǎn)變成我希望的目標(biāo)向量，換句話說線性變換就相當(dāng)于函數(shù)，自變量就相當(dāng)于我們已知的向量，因變量就是我們的目標(biāo)向量，這樣應(yīng)該好理解點(diǎn)。

然后數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)對于一個線性變化，其實(shí)可以通過與矩陣相乘來表示，即：

然而，這里我們又面臨一個問題，我們上式中的x其實(shí)不是表示一個向量，而是線性空間中的坐標(biāo)，1.1節(jié)我們可以知道線性空間的基不同會導(dǎo)致坐標(biāo)發(fā)生變化，最后導(dǎo)致而對于同一個線性變換在不同基下對應(yīng)的矩陣不同??！所以我們就想，假如我們知道基與基之間的關(guān)系，線性變換對應(yīng)的矩陣有什么關(guān)系？？

上面定理解決了上述疑問。

而后我們知道不同基下對應(yīng)的矩陣的關(guān)系為，所以我們就想我們能不能找到一組基，線性變換對應(yīng)的矩陣是一個對角陣，這樣不就好計(jì)算嗎？？這里就引出了相似對角化的問題，現(xiàn)在的問題就是怎樣找到矩陣P，將矩陣A變換到對角陣B，數(shù)學(xué)家找到一種工具，就是求特征值和特征向量。（大學(xué)學(xué)線性代數(shù)的時候就一直有一種疑問，為什么要求特征向量，有什么用？？當(dāng)時老師也沒講，學(xué)個矩陣論竟然解決了這個疑問）。

好，現(xiàn)在我們來講特征值和特征向量??！

看到這里你知道為什么要求特征值了吧，至于怎么求特征值和特征向量，我就不講了，這些都是最基礎(chǔ)的東西，我想講清楚的是為什么需要做這些事情。對于相似矩陣的一些性質(zhì)，我也不講了，如果都講的話估計(jì)我該出書了。但是有一個性質(zhì)我需要特別提出來，因?yàn)楹竺嬉玫?，具體形式如下：

接下來介紹的一個概念就是不變子空間，通俗的講就是如果一個向量x屬于一個子空間，如果經(jīng)過線性變換得到向量y仍然屬于這個子空間，那么就稱該空間為不變子空間。東西就是這么一個東西??！

最后是Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，因?yàn)椴⒉皇敲恳粋€矩陣A都能相似對角化的，能相似對角化的條件是矩陣A存在n個線性無關(guān)的特征向量，而并不是所有矩陣都滿足，所以我們退而求其次，使得矩陣B的形式如下：

通過下列推導(dǎo)過程可以很好的說明Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的求?。?/div>

1.3兩個特殊的線性空間

 前面我們介紹了線性空間的性質(zhì)，可以看出線性空間只能滿足向量的一些線性運(yùn)算，對于求取向量的模和方向根本無法表示，所以我們在線性空間的基礎(chǔ)上添加一下性質(zhì)，得到特殊的線性空間，在該空間中的向量運(yùn)算可以表示模和方向。我們稱該空間為歐式空間或內(nèi)積空間。

定義：

通過上述的定義，我們可以得到對于該空間中的任意倆個向量的內(nèi)積推導(dǎo)如下：

 由上可知，只要知道矩陣A和兩個向量x,y在基下的坐標(biāo)，就可以通過公式求內(nèi)積，

但是矩陣A在不同基下表示形式也不同，所以我們現(xiàn)在關(guān)鍵的問題是找到不同基下矩陣A之間的關(guān)系，

通過推導(dǎo)我們可以得到：

和第一節(jié)的想法類似，我們就在想如果矩陣A是單位矩陣就好了，計(jì)算多方便呀，所以我們就想能不能找到一組合適的基，對應(yīng)的度量矩陣就是單位陣。這就引出了單位正交化的概念，如果我們的基向量兩兩正交，且為單位向量，矩陣A不就是單位陣了嘛，那么怎么找到這樣的單位正交向量呢？？這就要通過Schmidt正交化方法來解決這個問題了。公式的具體推導(dǎo)過程如下：

  下面來介紹一下正交變換，忘掉書上那一大堆的定義，通俗的講正交變換就是將向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

，正交變換是線性變換所以也可以通過一個矩陣來表示，但是該矩陣具有特殊性，是一個正交

陣，即矩陣中向量都是單位正交矩陣，同時具有如下性質(zhì)：

   

然后介紹的是對稱變換，通俗講就是將向量基于另一個向量進(jìn)行鏡像，就像由入射光得到反射光一樣，當(dāng)然對稱變換也是線性變換，對應(yīng)的矩陣是實(shí)對稱矩陣，其性質(zhì)如下：

    

對于實(shí)對稱矩陣，其對應(yīng)的特征值為實(shí)數(shù)，特征向量兩兩正交。

最后是對酉空間的一個介紹，其實(shí)酉空間就是對于線性空間在虛數(shù)上的推廣，性質(zhì)都差不多，需要知道的只有兩點(diǎn)：

（1）正規(guī)矩陣

滿足條件，對于任意正規(guī)矩陣都可以進(jìn)行酉分解，具體形式如下：

（2）譜分解

因?yàn)閷τ谌我庹?guī)矩陣都可以分解成如下形式：

不知道你們從上面公式看出什么貓膩沒有？？一個矩陣可以用幾個矩陣相加來表示，

如果我們將p作為基矩陣，那么任意一個矩陣我們只要知道其系數(shù)，我們就可以通過

基矩陣將其表示出來，這對于圖像的傳輸就變得方便很多，我們只需要將系數(shù)傳輸?shù)?/span>

接收端，接收端利用基矩陣和系數(shù)將其重組，就可以得到對應(yīng)的圖像矩陣，傳輸?shù)男?/span>

率提升的不是一點(diǎn)點(diǎn)的問題，所以感覺數(shù)學(xué)還是很有用的。

后續(xù)