作者：曹則賢 (中國科學(xué)院物理研究所)

一般的數(shù)學(xué)教育內(nèi)容都會包含簡單的歐幾里得幾何學(xué)。那里面的幾何形狀，大體上都是一些多邊形，且是區(qū)分形狀和大小的。隨著人們對幾何認(rèn)識的深入，還發(fā)展出了更高深的學(xué)問，拓?fù)鋵W(xué)。拓?fù)鋵W(xué)，topology，關(guān)切幾何體的拓?fù)湫再|(zhì)，與大小、形狀無關(guān)而只和topos( 可理解為某種相對位置關(guān)系) 有關(guān)。幾何學(xué)的意義怎么強(qiáng)調(diào)都不為過，幾何是物理學(xué)的語言，甚至有物理學(xué)幾何化的說法。拓?fù)鋵W(xué)近年來深刻地影響了物理理論的發(fā)展，量子力學(xué)、相對論都納入了拓?fù)鋵W(xué)的語匯。學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)常被視為畏途。本文介紹關(guān)于只存在五種規(guī)則凸多面體的證明，讀者可從中找到一點(diǎn)從幾何學(xué)順利地過渡到拓?fù)鋵W(xué)的感覺。

在大自然中，液滴的外觀可能是光滑的曲面，小水珠幾乎是完美的球形，而晶體的外觀常常是由一些平的小面(facet)圍成的。比如，圖1 中的天然金剛石顆粒，外觀就明顯呈現(xiàn)多個規(guī)則的小面。這樣的幾何形狀叫多面體，它的特征包括頂點(diǎn)(vertex，0 維)、邊(棱，edge，1 維)和面(face，2 維)。如果多面體是凸的，即往外鼓的，則其頂點(diǎn)數(shù)V、邊數(shù)E 和面數(shù)F 要滿足一定關(guān)系，V－E F=2。此乃所謂的歐拉多面體公式。從前用32 塊皮子(20塊六邊形，12 塊五邊形)縫制的足球，就有60 個頂點(diǎn)和90 個邊，滿足V－E F=2。記χ=V－E F，稱為歐拉示性數(shù)(Euler characteristic)。筆者以為，對于多面體這個公式，引入體(3 維)數(shù)S，可寫為V－E F－S=1，注意公式里的幾何特征數(shù)目，隨著幾何特征的維度從0 開始逐步增加，其前面的 /－符號是交替變化的(這個符號的交替是其中學(xué)問的硬核，與其它學(xué)問分支有內(nèi)在的聯(lián)系)。這種寫法的好處是，可以輕松推廣到其它維度的情形而無需記憶不同的公式。比如二維情形，即對多邊形，有V－E F=1。當(dāng)然了，因?yàn)镕=1，它實(shí)際上是V－E=0，即多邊形的頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)相同，這是人所共知的事實(shí)。容易想到，對于四維情形，即對polytype，有V－E F－S P=1，其中P是四維空間體的數(shù)目。因?yàn)镻=1，相應(yīng)的歐拉公式應(yīng)為V－E F－S=0。歐拉公式的證明可見文后所列的文獻(xiàn)。本章則要利用歐拉公式證明一個有趣的觀察事實(shí)，即只存在五種規(guī)則多面體，或稱柏拉圖多變體。

圖1 長成凸多面體的金剛石顆粒

如果一個凸多面體的小面是全等的規(guī)則多邊形，則稱為規(guī)則多面體。這樣的規(guī)則凸多面體只有五種，即正四面體(tetrahedron，小面為三角形)，正六面體(cube，立方體，小面為正方形)，正八面體(octahedron， 小面為三角形)， 正十二面體(dodecahedron，小面為五邊形) 和正二十面體(icosahedron，小面為三角形)，見圖2。柏拉圖時期人們就知道這五種規(guī)則多面體。在《蒂邁歐》一書中，柏拉圖猜測地上的四種元素風(fēng)、火、水和土以及天上的quintessence (即第五種存在)就分別對應(yīng)這五種形狀，因此這五種規(guī)則多面體又稱為柏拉圖多面體(Platonic solids)。具體地，正四面體對應(yīng)火，正六面體對應(yīng)土，正八面體對應(yīng)氣，正二十面體對應(yīng)水， 而正十二面體對應(yīng)quintessence 或者宇宙。整個天體為球體。后來，開普勒用它們構(gòu)造宇宙的模型(圖3)。柏拉圖和開普勒這類人之所以是智者，就在于他們模糊的認(rèn)識在后來被發(fā)現(xiàn)包含著最深刻的道理。這些多面體由球脫胎而來，數(shù)學(xué)上這些幾何體的對稱群是球?qū)ΨQ群SO(3)的子群，而物理上一個球形液滴冷卻后結(jié)晶，即發(fā)生對稱性破缺，留下了對稱性較低的固體顆粒。據(jù)信人類在四千年前就制作出這五種規(guī)則多面體了(圖4)。不過，遠(yuǎn)古人類為什么要用石頭制作正多(曲)面體，十分費(fèi)解。

圖2 五種柏拉圖多面體

圖3 開普勒用球和正多面體構(gòu)造的宇宙模型

古人雖然感覺到只有五種柏拉圖多面體，但卻沒有證明。關(guān)于這個問題，基于歐拉多面體公式，可以得出一個非常簡單的證明。注意觀察正多面體的邊，每一個邊都是由兩個頂點(diǎn)規(guī)定了的，且每一個邊又都是由兩個面所規(guī)定了的：“兩個頂點(diǎn)連一個邊，兩個面交于一個邊?！边@樣，假設(shè)正多面體的小面是p-邊形(p>2)，每個頂點(diǎn)連接著q 條邊(q>2)，則有pF=2E=qV。由歐拉公式V－E F=2，可聯(lián)立求解得

可以得出如下解：

p=3，q=3，對應(yīng)正四面體；

p=3，q=4，對應(yīng)正八面體；

p=3，q=5，對應(yīng)正二十面體；

p=4，q=3，對應(yīng)正六面體；p=5，q=3，對應(yīng)正十二面體。QED.

或者，將pF=2E=qV 帶入歐拉公式V－E F=2，得關(guān)系式2E/q- E 2E/p=2 ，進(jìn)一步地有1/q 1/p= 1/2 1/E> 12。因此，{p，q}的組合只有{3，3}，{3，4}，{3，5}，{4，3}，{5，3}這五種可能。

圖4 蘇格蘭出土的人類四千多年前用石頭制作的正多面體

關(guān)于只有五種凸多面體的證明，當(dāng)然還聯(lián)系著別的數(shù)學(xué)，比如代數(shù)方程的解，比如群論。從實(shí)用性的角度來看，關(guān)于多面體性質(zhì)的學(xué)問關(guān)系到對晶體學(xué)的理解，因此它是晶體學(xué)、固體物理進(jìn)而材料科學(xué)的幾何基礎(chǔ)。晶體結(jié)構(gòu)可看作是能充滿整個三維空間的某種多面體或者多種多面體之組合在空間中的排列。圖5 中的多面體，是由正八面體截去六個頂角得到的十四面體，也稱截角八面體。它是常見的晶體單胞。試試數(shù)一數(shù)它的頂角數(shù)和邊數(shù)是多少，看看是否滿足歐拉多面體公式？這個多面體是一種典型的Wigner—Seitz 單胞。開爾文爵士曾猜測這種多面體充滿空間， 是表面積之和最小的那種選擇，這被稱為開爾文猜想。類似地在二維情形，把平面充滿的多邊形，六角結(jié)構(gòu)(蜂窩、炭單層)是邊長之和最小的那種。開爾文猜想在2003年被證明是錯的。

再啰嗦一句，當(dāng)我們學(xué)習(xí)某個內(nèi)容發(fā)現(xiàn)其極其難以理解時，很可能是預(yù)備知識不夠。物理學(xué)是一條思想的河流，如果沿著其發(fā)展的脈絡(luò)探尋的話，會發(fā)現(xiàn)它雖然有些起伏跳躍，但不會有大峽谷式的罅隙。如果真有這樣的罅隙，那你的機(jī)會來了， remplir cette lacune，科學(xué)發(fā)展的一個模式就是填補(bǔ)空隙。

圖5 截角八面體排列起來充滿整個三維空間