在中考試題里，有一類求線段的比值，或求線段長度的題目，在模擬復(fù)習(xí)期間，許多同學(xué)們感到非常困感，找不到方法，為此有必要講解一下此類題的常見解法，助力同學(xué)們中考時輕松破解此類題目。

【題目呈現(xiàn)】

?1.如圖，PA是⊙O的切線，A是切點，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB于點E，且PA=PB.

(1)求證:PB是⊙O的切線;

(2)若∠APC=3∠BPC，求PE/CE的值.

【分析】(1)較易，可連接OP，OB，如圖:

證△OAP≌△OBP，得∠OBP=∠OAP=90°，從而得證.也可，利用OA=OB，PA=PB，推得∠OBP=∠OAP=90°，得證.

(2)同學(xué)們看見∠APC=3∠BPC這一條件感到困惑，與求PE/CE的值沒有辦法聯(lián)系，求比值問題一般與相似進行聯(lián)系，而條件中又沒有給出一個比值，用相似等量代換的方法又行不通，感覺'山重水復(fù)疑無路'，這時，我們不妨回歸條件，仔細(xì)分析題目，尋找問題的突破口，看第(1)問的結(jié)論，能否得到某些有用的信息等，需要深入聯(lián)想，聯(lián)想書中的有關(guān)定理，聯(lián)想平時記憶的相關(guān)數(shù)學(xué)模型，這一過程正是同學(xué)們的薄弱環(huán)節(jié)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難點，數(shù)學(xué)難，難就難在這兒，這一過程突破了，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也就不會太難了。我們平時要強化這一過程的訓(xùn)練，讓思考成為一種習(xí)慣，提高駕馭數(shù)學(xué)知識的能力。就本題而言，PA，PB都是⊙O的切線，P為⊙O外一點，想到切線長定理，則∠APO=∠BPO，與條件∠APC=3∠BPC聯(lián)系在一起，得出∠BPC=∠OPC，同時知道OP⊥AB，設(shè)F為垂足，由于AB為⊙O的直徑，連接CB，則∠ABC=90°，∴OP∥BC，可知△PEF∽△CEB，從而PE/CE=PF/BC，如圖:

接下來只須求PF/BC即可，這時又遇到了問題，但我們心中明白，這樣思考十有八九思考方向是正確的，那么PF與BC又如何聯(lián)系數(shù)量關(guān)系呢？一鼓作氣，趁興追擊，由上面的分析知BC=BP，F(xiàn)是AB的中點，OF是三角形ABC的中位線，BC=2OF，BP=2OF，在Rt△OBP中，直角邊BP與OF有了關(guān)系，我們想到了射影定理的模型，可知BP2=OP×PF，為了更簡單化一些，設(shè)OF=t，則BC=BP=2t，則(2t)2=PF(t+PF)，解得PF=(一1十√17)t/2(取正值)，這樣通過設(shè)參數(shù)t，列方程，成功地表示出線段PF，∴PE/CE=PF/BC=(√17一1)/4.【設(shè)參，一方面為了簡單，減輕大腦的負(fù)單，另一方面，為表示相關(guān)的線段】.

2.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC于點H，連接DE交線段OA于點F.

(1)求證:DH是圓O的切線;

(2)若A為EH的中點，求EF/FD的值;

(3)若EA=EF=1，求圓O的半徑.

【分析】(1)較易，連接OD，AD，如圖.

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又AB=AC，∴D為BC的中點，則OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，且OD=AC/2，∴∠ODH=∠CHD=90°，∴DH是⊙O的切線.

(2)在⊙O中，∠E=∠B，又∠B=∠C，∴∠E=∠C，又DH⊥EC，∴EH=CH，∵A為EH的中點，可設(shè)EA=a，則AH=a，CH=2a，則AC=3a，由(1)知OD∥AC，OD=AC/2=3a/2，∴△FAE∽△FOD，∴EF/FD=EA/OD=a/(3a/2)=2/3.

(3)∵EA=EF=1，∴∠EFA=∠EAF，又∠EFA=∠BFD，∴∠BFD=∠EAF，而∠EAF=∠BDF，∴∠BFD=∠BDF，∴BF=BD，由(1)分析知ED=DC，∴BF=BD=ED=DC，∵OD∥AC，∴∠EAF=∠FOD，∵∠BFD=∠EAF，∴∠FOD=∠BFD，∴OD=FD，設(shè)⊙O半徑為r，則OD=FD=r，BD=BF=DC=DE=FD+EF=r+1，而BF=OB+OF=r+OF，∴OF=1，我們注意到△FOD∽△FDB，∴FD2=OF×BF，即r2=1×(1+r)，解得r=(1+√5)/2，(負(fù)值舍去)，∴⊙O的半徑為(1+√5)/2.

第二題相比第一題簡單一些，但第(3)問求出OF=1，用半徑r表示BF是關(guān)鍵的一環(huán).

【總結(jié)】通過上邊的兩例看出，在進行線段求值的計算中，離不開列方程(可以用相似，三角函數(shù)，勾股定理，面積法等列出)，但設(shè)參，表示相關(guān)線段是最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，望同學(xué)們用心體會。