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繼續(xù)與數(shù)學(xué)有關(guān)的內(nèi)容。今天我們聊聊拓?fù)?。這個(gè)話題曾經(jīng)有很多朋友都跟我說過，十分想聽聽，到底啥叫拓?fù)洌@事確實(shí)是挺有意思，但是不太容易講。為啥不好講，有這么三方面的原因，一是，從大的方面來(lái)說拓?fù)溥@也算是幾何學(xué)范疇的話題，所以，咱們做為一檔純音頻的節(jié)目做幾何學(xué)的內(nèi)容很吃虧，不像回到2049，人家不只有音頻，在B站，微信上，還有視頻，還能露個(gè)臉，劉老板也是靠著自己的逆天的顏值吸引眾多審美風(fēng)格詭異的觀眾。

第二方面，雖然拓?fù)湟菜闶且环N幾何，但是，它與我們平時(shí)接觸的幾何學(xué)有著顯著的不同，完全顛覆我們的傳統(tǒng)認(rèn)知，在從小學(xué)到高中，以及大學(xué)中非數(shù)學(xué)專業(yè)，我們幾乎不會(huì)用拓?fù)涞乃枷雭?lái)看待問題，可以說，以于大多數(shù)人來(lái)說，拓?fù)溥@絕對(duì)是一個(gè)全新的學(xué)科。沒有什么基礎(chǔ)知識(shí)可以利用.

還有最重要的第三方面，為啥叫拓?fù)溥@事難講呢，因?yàn)椋也粫?huì)唄。不過，這沒關(guān)系，老子做了這么多期節(jié)目，還沒有哪一期是我真正明白的呢，雖然不會(huì)，但是我可以編呀,而且,我還有這么強(qiáng)大的文案組做為后盾.

拓?fù)溥@個(gè)詞，一聽你就知道,這是一個(gè)音譯，英文名叫Topology，最早是由高斯的學(xué)生李斯亭給起的名，想用來(lái)表示“位置的幾何”。這個(gè)詞的詞源前半部分是古希臘詞Topo，意思是“地方、方位”。后綴部分logy，也來(lái)自古希臘文，原意是“詞語(yǔ)的聚集”，很多表示學(xué)科的單詞都是以logy結(jié)尾的，生物學(xué)biology考古學(xué)archeology， 宇宙學(xué), cosmology.

19世紀(jì)60年代，日本開始明治維新，全盤西化，大量的翻譯了西方典籍，將Topology翻譯成【方位學(xué)】，我國(guó)很多近現(xiàn)代的科技類詞匯都是由日本引入了，Topology這個(gè)詞也是如此。當(dāng)初，我們也試著翻譯成“形勢(shì)幾何學(xué)”或者是“連續(xù)幾何學(xué)”，甚至是“一對(duì)一的連續(xù)變換群下的幾何學(xué)”，但是，顯然這幾種譯名都不大好理解，有點(diǎn)讓人摸不著頭腦，所以，最后就干脆翻譯成拓?fù)浒?，讓大家完全聽不懂算了?/span>

額外說幾句,雖然，對(duì)我們普通人來(lái)說，從字面上來(lái)看,完全無(wú)法理解拓?fù)涞暮x，感覺只是簡(jiǎn)單的音譯，但是，不得不說，這是一個(gè)音義兼顧，形神俱備的絕佳翻譯的典范。從發(fā)音上來(lái)說，Topology，諧音拓?fù)?。在語(yǔ)意上，“拓”者，乃是對(duì)土地之開發(fā)拓展也，“撲”者，乃全面覆蓋之意，這即包含了Topology原意上地志學(xué)，地理學(xué)的意思，也有位置幾何，連續(xù)幾何全面覆蓋的思想，這就是大師級(jí)別的翻譯。

我對(duì)于翻譯這事，有過一段專門時(shí)間的研究，嚴(yán)復(fù)先生曾提出過，翻譯工作，最基本的要求叫信達(dá)雅，“信”，就是譯文要準(zhǔn)確， ；“達(dá)”就是 譯文通順明白；“雅”就是指譯文時(shí)選用的詞語(yǔ)要得體，優(yōu)雅。咱看看，上世紀(jì)前半葉，那些博古通今，學(xué)貫中西的大家的翻譯，簡(jiǎn)直是拍案叫絕 ，neon霓虹 、（engine）引擎、（totem）圖騰，paracetamol撲熱息痛,幽默Humor，就連bandage，翻譯成繃帶，足以看出大師的智慧與通達(dá),音意俱佳,形神兼?zhèn)?。再看現(xiàn)在翻譯的這叫什么玩意， BP機(jī)，VCD、 DVD、mp3、SUV，就沒人把這些東西好好翻譯一下呢，整一堆字母，真是一點(diǎn)內(nèi)涵都沒有，說是知識(shí)爆炸，真不知道把知識(shí)都崩到哪里去了。

介紹完了拓?fù)溥@個(gè)詞，下面來(lái)說說拓?fù)鋵W(xué)究竟是研究啥的呢。

剛才說了，拓?fù)鋵W(xué)也屬于幾何學(xué)，但是，他并不是什么正經(jīng)的幾何學(xué)，我們從初中到高中，學(xué)校里邊學(xué)的知識(shí)，一提到幾何學(xué)，必然就是長(zhǎng)寬高，面積，周長(zhǎng)，體積，研究的是具體圖形的數(shù)值關(guān)系，但是，在拓?fù)鋵W(xué)的世界當(dāng)中，雖然，他也注重于幾何圖形的相對(duì)關(guān)系，但是，與研究對(duì)象具體的長(zhǎng)短、大小、面積、體積這些方面的性質(zhì)卻沒有一毛錢關(guān)系。

我給你舉一個(gè)例子，比如在26個(gè)字母當(dāng)中，從拓?fù)鋵W(xué)的角度來(lái)看，大寫字母，A,D,R,O,P，他們都是一樣的，因?yàn)?，把他們拉抻變形之后，都?huì)變成一個(gè)圈，大寫字母B和數(shù)字8，還有沒有眼鏡片眼鏡，它們都是一樣的，因?yàn)槔幼冃沃?，他們都包含兩個(gè)圈，而大寫字母，L,N,V,W,M這些都一樣，拉抻之后，都是一條線。也就是說,在拓?fù)涫澜缋?，你可以隨便的捏一捏，揉一揉、壓一壓、按一按，只不要捅出一個(gè)洞，那就沒有事，你就不用負(fù)責(zé)，因?yàn)?，?duì)于原圖形來(lái)說，他的性質(zhì)沒有任何改變。所以拓?fù)鋵W(xué)也被稱為橡皮泥幾何。就是說它研究物體在連續(xù)變形下不變的性質(zhì),所以,在拓?fù)涞氖澜缋?所有的多邊形和圓形在拓?fù)湟饬x下是一樣的，因?yàn)槎噙呅慰梢酝ㄟ^連續(xù)變形變成圓，

而線段和圓在拓?fù)湟饬x下就不一樣了，因?yàn)槿绻氚褕A變成線段,那就要把他切段才行,它就不連續(xù)了.也可以這樣理解,幾何的東西有某種“剛性”，很硬,而拓?fù)鋭t相對(duì)“軟”一點(diǎn)。

再比如，我們從拓?fù)鋵W(xué)的角度來(lái)看，可以把乒乓球，高爾夫球，足球，籃球看成是同樣的東西，因?yàn)樗麄兌际乔颍瑯?，在拓?fù)鋵W(xué)家的眼里，你向他借了一個(gè)金戒指，那么你還他一個(gè)呼拉圈，或者是救生圈，甚至還他一個(gè)煙斗，都行，因?yàn)樗麜?huì)覺得，這都是一個(gè)環(huán)，在拓?fù)鋵W(xué)上，他們都是等價(jià)的。

這種都是一個(gè)球，都是一個(gè)環(huán)的東西，用高逼格的說講就叫同胚，這個(gè)胚是胚胎的胚，也就是說，可以把這些東西看做是由同樣的原始東西發(fā)育而來(lái)，一個(gè)胚子出來(lái)的。

可以簡(jiǎn)單粗暴的理解，拓?fù)鋵W(xué)，就是研究洞， 當(dāng)然了，這么說顯得檔次有點(diǎn)LOW，所以，人家管這叫虧格，若曲面中最多可畫出n條閉合曲線同時(shí)不將曲面分開，則稱該曲面虧格為n，其實(shí)就是有N個(gè)洞。乒乓球的虧格就是零，沒有洞，鉆戒的虧格就是1，大奔的標(biāo)志虧格是3，蜂窩峰的虧格，那你就數(shù)他有幾個(gè)洞吧。

說到這，似乎，我們可以領(lǐng)略到一些拓?fù)鋵W(xué)要研究的重點(diǎn)所在，就是一個(gè)圖形或者是物體，他的形態(tài)可以做很多的改變，但是，一些性質(zhì)卻沒有變化，這就是他要研究的東西，但是，這玩意有什么實(shí)際作用呢。

哥尼斯堡七橋

在18世紀(jì)之初，哥尼斯堡的一個(gè)公園里，有七座橋把【普雷格爾】河中兩個(gè)島及島與河岸連接起來(lái)?？梢钥匆幌鹿?jié)目下方的圖片，市民們經(jīng)常沿著河岸和小島散步，于是很自然地就提出這么一個(gè)問題，說：有沒可能找到一條路線，能夠沿它行走，經(jīng)過全部7座橋卻又不會(huì)重復(fù)的進(jìn)入其中任何一座橋？就像我們現(xiàn)在旅游一樣，不想錯(cuò)過任何一個(gè)景點(diǎn)，還不想走重復(fù)的路，于是，很多人在嘗試各種各樣的走法，結(jié)果是誰(shuí)也沒能做到。

既然普通人不行， 哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生們就躍躍欲試，結(jié)果還是以失敗告終，所以，他們就寫信給當(dāng)時(shí)著名大數(shù)學(xué)家歐拉， 希望他能幫助解決這個(gè)問題。

歐拉看完信后，說，歐拉，這有何難，待老夫夫慢慢算來(lái)，既然兩個(gè)島和兩岸陸地是橋梁的連接地點(diǎn)，那就不妨把這四個(gè)地方縮小成四個(gè)點(diǎn)，并且把這七座橋表示成七條線。這樣，原來(lái)的七橋問題就變成了一個(gè)一筆畫圖的問題， 就是能否筆不離紙，不重復(fù)地一筆畫完整個(gè)圖形。現(xiàn)在許多小游戲里都是利用的這個(gè)原理。最后，歐拉不旦解決了這個(gè)問題，還總結(jié)出了這個(gè)圖畫問題的規(guī)律。給出了所有能夠一筆畫出來(lái)的圖形所應(yīng)具有的條件。

因?yàn)?，在這個(gè)問題當(dāng)中，橋的長(zhǎng)短并不重要，島的大小也不重要，河的寬窄也不重要，重要的是，要考慮橋與島的相對(duì)位置關(guān)系。這就是拓?fù)鋵W(xué)要研究的重點(diǎn)所在。

我們現(xiàn)在也總用一個(gè)詞，叫拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，看起來(lái)很高深的樣子，特別是在網(wǎng)絡(luò)布局方面,用來(lái)描述網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)設(shè)備和通信介質(zhì)的分布情況。其實(shí)這和七橋問題一個(gè)道理，各種設(shè)備、數(shù)據(jù)終端就可以看成是七橋問題中的小島,中間的鏈路,包括物理鏈路邏輯鏈路都可以看成是橋，核心思想都是把一個(gè)實(shí)際問題抽象成一個(gè)簡(jiǎn)單的，更為根本的表示相對(duì)位置關(guān)系的圖型而已。

還有類似的布線問題， 就是在一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)能否布在平面上而不自相交叉，我想大家和機(jī)箱后邊都是一團(tuán)亂麻，各種電線，網(wǎng)線，音頻線，視頻線，數(shù)據(jù)線，亂七八糟的。當(dāng)然了，對(duì)于我們來(lái)說，這并不算什么大事，但是，這在電線布線的時(shí)候就是一個(gè)十分重要的問題了，怎么才能充分的利用空間，又不互相影響，還能節(jié)省材料，最主要的是同一層的連線不相交，這就涉及到復(fù)雜的算法，這里也涉及拓?fù)涞乃枷搿?/span>

太陽(yáng)系的示意圖

咱們上初中的時(shí)候，你也一定接觸過拓?fù)鋱D，就是電路圖，電阻，電池，開頭，燈泡的，然后，并連，串連，算電流電壓的，這就是拓?fù)鋱D，因?yàn)椋惝嫵鰜?lái)的這個(gè)圖只表示相對(duì)的位置關(guān)系，為了更加的直接，形象，但是并不代表實(shí)際比例的縮放。

再比如，我們看的太陽(yáng)系示意圖，中間是太陽(yáng)，然后是，水金地，火木土，天海冥，八大行星加上冥王星一字排開，我們從小到大的，看的這個(gè)示意圖都差不多，可是，我們一直都被偏了，這也并不是按照實(shí)際比例縮放的，這樣做只是為了讓你更容易理解行星與太陽(yáng)的相對(duì)位置而已，也就是說，這和我們看到的地圖不一樣，地圖是按照比例尺制成的，圖上5厘米，實(shí)際5公里，圖上10厘米，實(shí)際就10公里，地圖不僅表示了相對(duì)的位置關(guān)系，還表示了距離長(zhǎng)短的比例。但是，太陽(yáng)系的示意圖，只表示了他們的相對(duì)位置關(guān)系，并不代表實(shí)際距離。如果真的按照比例尺制成太陽(yáng)系模型的話，那么把地球畫成玻璃球這么大的話。那么，整個(gè)太陽(yáng)系差不多就有舊金山這么大了，當(dāng)然了，這里說的太陽(yáng)系，是很不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法，只是說從太陽(yáng)到海王星這么點(diǎn)區(qū)域，如果要是按照科依博帶，或者是按照太陽(yáng)引力作用范圍來(lái)計(jì)算的話，那么這個(gè)圖，根本就沒個(gè)畫了，如果想把太陽(yáng)系集中在一張紙上，那么地球根本就看不到了，所以，我們只能選擇用一種拓?fù)鋱D的方式來(lái)表達(dá)相對(duì)的位置關(guān)系。

還有我們平時(shí)乘坐的地鐵公交車的示意圖，就是各個(gè)站點(diǎn)的先后順序，哪個(gè)站點(diǎn)可以換乘其它的車，實(shí)際上，這也是用來(lái)表示相對(duì)位置，因?yàn)?，我們更關(guān)心的站點(diǎn)的相對(duì)關(guān)系。

在金庸的小說當(dāng)中，有很多的謎題一直在困擾著我們，比如說神雕俠侶中。楊過斷臂多年，他是怎么剪指甲的呢，梅超風(fēng)，修煉九陰白骨爪時(shí)，拉完屎是怎么擦屁股的呢，倚天屠龍記中，小昭帶了多年的腳鏈，他是怎么換內(nèi)褲的呢。

前兩個(gè)問題有很多奇葩的答案，我們可以有時(shí)間詳細(xì)說說，但是，從拓?fù)鋵W(xué)的角度來(lái)說，小昭換內(nèi)褲這個(gè)問題還真有強(qiáng)大的理論依據(jù)在背后支持，大家可以參考一下，節(jié)目下方的圖片，我這也是從網(wǎng)上下載來(lái)了，大家一看圖示就能明白了。這個(gè)操作的重點(diǎn)就是內(nèi)褲他是有彈性的，可以通過腳鏈與腳踝之間的縫隙，然后，經(jīng)過拉伸再繞過腳掌，這樣就進(jìn)行相對(duì)位置的變換，這就是拓?fù)鋵W(xué)的思想，

九連環(huán)

 咱們民間有很多益智的玩具，比如九連環(huán)，魔方，華容道，這比現(xiàn)在的各種手游好玩100倍，其實(shí)這都涉及深刻的數(shù)學(xué)原理在里邊，而九連環(huán)就與拓?fù)溆嘘P(guān)。即使你沒玩過，也一定看過，這就和小昭換內(nèi)褲的原理差不多，幾個(gè)環(huán)看上去套在一起，似乎不可能分開，但是只要你有信心，反復(fù)嘗試幾次，還是不會(huì)，那就是因?yàn)槟銢]掌握技巧,一旦有了拓?fù)涞乃枷耄劢缫幌伦泳痛蜷_了，當(dāng)然，九連環(huán)這并不是嚴(yán)格的拓?fù)鋵W(xué)問題，因?yàn)椋胚B環(huán)可以看作是一種沒有彈性的絕對(duì)的剛性結(jié)構(gòu)，這與拓?fù)鋵W(xué)有著本質(zhì)的區(qū)別，在拓?fù)鋵W(xué)家的眼里，九連環(huán)他本身就是分開的幾個(gè)環(huán)。

四色定理

拓?fù)鋵W(xué)中最為經(jīng)典的一次應(yīng)用應(yīng)該就是著名的“四色定理”的證明過程了，這個(gè)咱們之前的節(jié)目專門花了一期的時(shí)間說過，四色定理，這也曾經(jīng)的世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，與費(fèi)馬定理，哥德巴赫猜想齊名的，大概的故事就是，一位負(fù)責(zé)地圖著色的人員，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“ 每幅地圖只用四種顏色著色，就能使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色。就能夠區(qū)分開了”這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題折磨了無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家，人們反復(fù)嘗試，畫了各種各種的地圖，都是成立，但是又不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格的證明。進(jìn)入到了20世紀(jì)，電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)，演算速度迅速提高，再到后來(lái)人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家【阿佩爾】與【哈肯】利用兩臺(tái)計(jì)算機(jī)，花了1200個(gè)小時(shí)，作了100億個(gè)判斷，終于完成了四色定理的證明。

具體怎么證明的，這并不重要，重要的是一種思維方式的轉(zhuǎn)換，同樣也是利用了拓?fù)鋵W(xué)的思想。我們可以看一下世界地圖，每個(gè)國(guó)家都不是規(guī)則的幾何圖案，國(guó)與國(guó)之間的界線也沒有筆直的一條線，而且這還只是地球上有限的200多個(gè)國(guó)家，而四色問題提出的是針對(duì)于所有的地圖，任意狀態(tài)的國(guó)家，所以，這也就意味著有無(wú)數(shù)種的可能。雖然我們有計(jì)算機(jī)這個(gè)利器，但是在無(wú)窮面前，還是太弱小了。所以，這個(gè)問題的核心思想，還是把各種各樣的地圖通過拓?fù)涞乃枷?，也就不是不必在意?guó)家的形狀、面積的，周長(zhǎng)，只是關(guān)心國(guó)與國(guó)之間是否相鄰，兩個(gè)國(guó)家共同的邊界線是1米還是1千米，在四色問題上，是等價(jià)的，所以，這就直擊問題的核心，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，把國(guó)與國(guó)的相對(duì)位置，分為幾大類，把無(wú)窮多的可能性，變?yōu)橛邢薅鄠€(gè)，而一旦問題變成了有限，那么接下來(lái)的工作就交給計(jì)算機(jī)和時(shí)間就行了。

耳機(jī)線打結(jié)也是拓?fù)鋵W(xué)？

關(guān)于拓?fù)鋵W(xué)，有不少著名的理論，定理之類，大多數(shù)都會(huì)讓我們聽了之后感覺一臉蒙蔽，咱們挑幾個(gè)聽起來(lái)像是人話的，聊聊。

第一，毛球定理，就是永遠(yuǎn)不能理順椰子上的毛。

椰子這是南方很常見的水果，我們印象中椰子的外面有一層很厚很干燥的外殼，感覺這層外殼像是一塊整體的皮似的，實(shí)際上它是由無(wú)數(shù)的毛緊密地交織而成的。

問題是，如果將椰子的毛全都散開，那么椰子就會(huì)變成一個(gè)毛茸茸的球體。那么用什么方法能把這個(gè)球體上的毛全部梳理平整，不留下任何豎起來(lái)的毛，也不存在像人的頭發(fā)那樣的旋呢？答案是，從科學(xué)的角度來(lái)看，這是一件不可能完成的任務(wù)。

為什么說無(wú)法完全梳理平整球體表面上的毛呢。這個(gè)事，最早由【布勞威爾】證明，所謂的理順，就是所有的毛都順著一個(gè)方向倒下去，我們可以在大腦中，幻想出許多種，自己帥氣的發(fā)型，由tony老師流暢的設(shè)計(jì)你的頭發(fā)梳理的方向，想怎么梳就怎么梳，可以做出任意的造型，更別說是理順自己的毛了，但是，首先，你的腦袋并不是一個(gè)球體，因?yàn)椋旅孢B著你的大脖子呢，另外，我們平時(shí)說的理順和拓?fù)鋵W(xué)說的理順并不一樣，總之，【布勞威爾】證明了，在一個(gè)球體表面，不可能存在連續(xù)的單位向量場(chǎng)，也就是毛球定理。

結(jié)合兩個(gè)實(shí)際的例子，估計(jì)你就能聽明白了。

在氣象學(xué)上，因?yàn)榈厍虮砻嫔闲纬傻娘L(fēng)，它的速度和方向都是連續(xù)性的，所以，根據(jù)毛球定理，地球上總會(huì)有一個(gè)沒有風(fēng)的地方。在這樣的零點(diǎn)附近，風(fēng)會(huì)分布成螺旋形，只能是上升或下降，但永遠(yuǎn)不會(huì)從水平吹入中心或從其中吹出，對(duì)應(yīng)的毛球定理，也就是至少有一根毛會(huì)豎起來(lái)，就是這個(gè)沒有風(fēng)的靜止點(diǎn)，可是設(shè)想一下，椰子上的毛都按照緯線的方向，由低緯到高緯地區(qū)，一圈一圈的有序排列，很整齊，但是，在兩極地區(qū)，確切的說，是極點(diǎn)的位置，總會(huì)有一顆豎起的毛，要么就只能像人的頭發(fā)那樣，出現(xiàn)旋的情況。一個(gè)旋橫,兩個(gè)旋愣,三個(gè)旋打架不要命,四個(gè)旋打架拿板凳!

  毛球定理還有一個(gè)意想不到的“應(yīng)用”，是在電子游戲里！很多人在玩第一人稱射擊游戲的時(shí)候，也就是使命召喚，CS這類的游戲時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：當(dāng)你上移鼠標(biāo)，讓你的角色抬頭看天，或者下移鼠標(biāo)，低頭看地的時(shí)候，不小心，一個(gè)手抖就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的角色瞬間轉(zhuǎn)了一百八十度；這就是相當(dāng)于毛球中的“旋”的位置。

為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況，這就是游戲引擎中面對(duì)的數(shù)學(xué)問題，理論你，鼠標(biāo)的活動(dòng)相當(dāng)于數(shù)據(jù)的輸入，這是一個(gè)連續(xù)的過程，畫面也是漸進(jìn)式的變化。但是，在你指天或者是指地的時(shí)候，這就是一個(gè)特殊的點(diǎn)，導(dǎo)致畫面不能平滑的切換，鼠標(biāo)極其微小的運(yùn)動(dòng)都會(huì)導(dǎo)致畫面大幅度的翻轉(zhuǎn)。

第二個(gè)定理叫博蘇克-烏拉姆定理，專業(yè)的定義就不說了，說了也白說。直接看幾個(gè)實(shí)際的例子就明白了，坐飛機(jī)出國(guó)旅行，如果是跨時(shí)區(qū)了，就要調(diào)整手機(jī)，手表的時(shí)間，如果是跨了國(guó)際日期變更線，就得調(diào)整日期了，加一天，或者是減一天。那么，在地球上，能不能設(shè)計(jì)出一種不需要國(guó)際日期變更線的時(shí)區(qū)體系呢，讓每個(gè)地方的時(shí)間都和附近的時(shí)間差一點(diǎn)，為什么轉(zhuǎn)了一圈之后，國(guó)際日期變更線兩邊緊挨著的地方要規(guī)定差一天呢，我們可以在笨理兒上理解這個(gè)問題，而，博蘇克-烏拉姆定理則是從數(shù)學(xué)專業(yè)的角度回答這個(gè)問題。國(guó)際日期變更線是不可或缺的。這是拓?fù)鋵W(xué)中博蘇克-烏拉姆定理在一維情況下得到的推論。

根據(jù)這個(gè)定理，我們可以得出結(jié)論，在任一時(shí)刻，地球的赤道上總存在溫度相等的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)然，這里有一個(gè)前提條件就是溫度是漸變的，這是一個(gè)純數(shù)學(xué)上的思考，與地理知識(shí)無(wú)關(guān)，為什么會(huì)這樣呢，有人可能會(huì)自行開始腦補(bǔ)了，假設(shè)在赤道上，有一個(gè)地方是20攝氏度，那么，沿著一個(gè)方向，溫度不斷的升高，21度，22度，23度，24度，一點(diǎn)點(diǎn)往上長(zhǎng)唄，可以長(zhǎng)到50度，60度，怎么可能存在兩個(gè)同樣溫度的地點(diǎn)呢。別忘了，地球是圓的，你從一個(gè)地方出發(fā)，最后還會(huì)轉(zhuǎn)回到這個(gè)起點(diǎn)，這個(gè)起點(diǎn)是20攝氏度，所以，無(wú)論是怎么變化，最終還是要回歸到20攝氏度，所以，不管剛開始是怎么增長(zhǎng)，最后保證有一個(gè)下降的過程。又因?yàn)闇囟仁菨u變的，所以在溫度值不斷變化的各個(gè)地點(diǎn)當(dāng)中，一定有一個(gè)“相交”的時(shí)刻，這兩個(gè)位置的溫度就相同了。

如果把博蘇克-烏拉姆定理上升到二維的尺度，還能得出一個(gè)推論，在地球上總存在對(duì)稱的兩點(diǎn)，它們的溫度和大氣壓的值正好都相同。道理與前面說的溫度一樣，只不過是上升到二維平面，我們可以把溫度值和大氣壓值所有可能的組合看成平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)來(lái)思考。

定理：布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理

這個(gè)定理可以通過很實(shí)際的例子來(lái)理解。比如：拿兩張一樣的白紙，平鋪在桌子上，他們是完全重合的，如果把紙看成是一個(gè)一個(gè)連續(xù)的點(diǎn)組成的話，那么，這些點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，然后，我們把一張紙平鋪在桌面，而另外一張隨意揉成一個(gè)紙團(tuán)，注意但不能撕裂，再把紙團(tuán)放在第一張白紙之上，不超出第一張的邊界，這時(shí)，我們就可以說，這個(gè)紙團(tuán)上一定至少有一個(gè)點(diǎn)正好就在平鋪的這張紙的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的正上方。另外一種理解方式，就是把一張白紙平鋪在桌面上，再將它揉成一團(tuán)，注意也是不能撕裂，放在原來(lái)白紙所在的地方，那么只要它不超出原來(lái)白紙平鋪時(shí)的邊界，那么白紙上一定有一點(diǎn)在水平方向上沒有移動(dòng)過，還是原來(lái)平鋪的位置。為什么要反復(fù)強(qiáng)調(diào)不能撕碎，這就保證了這些點(diǎn)的連續(xù)性，假設(shè)可以把紙撕碎的話，那么，我們不用撕的太碎，只要撕成兩半，對(duì)調(diào)一下，放在原來(lái)的位置，那就沒有任何一個(gè)點(diǎn)與原來(lái)的位置是相同的了。

再說一個(gè)相對(duì)好理解的，把一張當(dāng)?shù)氐牡貓D平鋪在地上，則總能在地圖上找到一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)下面的 地上的點(diǎn)正好就是它在地圖上所表示的位置。

再比如，在一些商場(chǎng)中，在地面上有一張整個(gè)商場(chǎng)的地圖，那么你總能在地圖上精確的找到一個(gè)“你在這里”的標(biāo)記。

如果把布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理放在三維空間中，比我們用一個(gè)密封的鍋來(lái)燒水，那么總有一個(gè)水分子在煮開前的某一刻和煮開后的某一刻處于同樣的位置。假設(shè)有一杯咖啡，我們緩慢均勻地將它攪拌，然后令咖啡慢慢地靜止下來(lái)。我們可以斷言，至少有一個(gè)分子，它在攪動(dòng)前的位置和它在靜止后的位置重合。

研究有這些有啥用呢，催眠唄。

歐拉，黎曼和龐加萊吳文俊。

我們都知道，萊布尼茲是微積分的主要奠基人，當(dāng)時(shí)與牛頓打的是不可開交，萊布尼茲對(duì)抽象符號(hào)系統(tǒng)有著獨(dú)到的理解與特殊的偏好，所以，他創(chuàng)立的微積分符號(hào)系統(tǒng)，很快就把牛頓的符號(hào)系統(tǒng)給比下去了。同樣，對(duì)于試圖闡述幾何圖形的一些性質(zhì)，他也想用抽象的符號(hào)來(lái)表示。

1679年的時(shí)候，萊布尼茨發(fā)表《幾何特性》，提出了關(guān)于位置分析或者說是位置幾何學(xué)的全新理念，因?yàn)?，此時(shí)，笛卡爾的坐標(biāo)系正是大紅大紫，把數(shù)學(xué)與幾何聯(lián)系在了一起，但是，萊布尼茨發(fā)并不滿足于此，他覺得，有一些幾何性質(zhì)的東西，這是跟幾何體的具體大小無(wú)關(guān)的，自然地，也就不能通過坐標(biāo)系中予以體現(xiàn)，實(shí)際這就是拓?fù)涞乃枷?，他自己想的倒是挺好?/span>但是，這個(gè)理念有點(diǎn)太新了，太超前了，所以，同時(shí)代的人根本不知道他在說些什么，甚至也包括惠更斯這樣的大神，完全不知道他想表達(dá)什么。畢竟，萊布尼茲的這種思想要到300年后，才成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支流派，叫代數(shù)拓?fù)?/span>，這中間經(jīng)歷了歐拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比烏斯，克萊因，黎曼，龐卡萊等諸多大神的共同努力才最終確立的。

這么多的大神，咱就挑幾個(gè)有代表性的人物，比如有代表性的法器說一說。一個(gè)是莫比烏斯帶，一個(gè)是克萊因瓶

莫比烏斯，這是一位德國(guó)人，他在數(shù)學(xué)上有很多貢獻(xiàn)，但是，最出名的還是以他的名字命名的奇怪曲面：莫比烏斯帶，也有叫莫比烏斯環(huán)的，上學(xué)的時(shí)候，老師帶咱們做過實(shí)驗(yàn)，自己用紙，用脫水，做莫比烏斯環(huán)，然后從一面往上涂色，或者是沿中間剪開，可以看出他非常詭異的表現(xiàn)，它的重要特性就是，雖然在每個(gè)局部都可以說有正面和反面，但整體上去不能分隔成正面和反面。他只有一個(gè)面。

據(jù)說是，有一次﹐莫比烏斯在海濱度假。到了晚上﹐蒼蠅太多﹐睡不著覺。他就把黏蒼蠅的紙扭轉(zhuǎn)半圈﹐然后把兩端粘到一起﹐形成一個(gè)紙環(huán)。再把紙環(huán)掛在床頭上。他臨時(shí)制作的捕捉蒼蠅的紙帶很管用﹐睡的挺香。早晨醒來(lái)﹐他的目光落在那個(gè)紙環(huán)上﹐驚訝地發(fā)現(xiàn)這條紙只有一個(gè)面﹐只有一條棱。著名的莫比烏斯帶就誕生了，你就當(dāng)真的聽。

要說這玩意有啥實(shí)際用途嗎，可以做成戒指唄，代表一心一意，無(wú)窮無(wú)盡的愛，你仔細(xì)看循環(huán)標(biāo)志也是利用的莫比烏斯帶的想法，表示循環(huán)再造再利用。最實(shí)際的應(yīng)用，要算是傳送帶了，你下次再有機(jī)會(huì)看到傳送帶的話，一定好好看一看，居然是做成了莫比烏斯環(huán)的形狀，有啥好處呢，這樣就可以分?jǐn)偰p，不至于只磨損一個(gè)面，延長(zhǎng)使用壽命。

與莫比烏斯帶類似的就是克萊因瓶，沒有內(nèi)外之分，雖然他叫瓶子，但是不能裝水，當(dāng)然了，也可以說，他能裝下無(wú)窮無(wú)盡的水，也能把天裝下去，感覺這有點(diǎn)像西游記里的橋段，不知道當(dāng)初克萊因是不是受到吳承恩的啟發(fā)，克萊因瓶，這是一個(gè)在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來(lái)的曲面，而我們是生活在三維空間中的人，所以，我們?cè)诰W(wǎng)上看到的圖上，都是一種折衷的無(wú)奈的表現(xiàn)手法，只能是將就點(diǎn)，把它表現(xiàn)得似乎是自己和自己相交一樣。實(shí)際上，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來(lái)的，并不穿過瓶壁。我知道，我這樣說，你也理解不了，當(dāng)然了，我自己也不理解。就這么回事吧。

　龐加萊猜想

其實(shí)說到拓?fù)鋵W(xué)，最應(yīng)該講的是龐加萊猜想，應(yīng)該花一期的時(shí)間來(lái)講都行，等我們團(tuán)他招聘到數(shù)學(xué)方面的專家的，龐加萊猜想，這也是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的七個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題，后來(lái)被佩雷爾曼證明了。

龐加萊這個(gè)人，過多的介紹就不說了，直接說點(diǎn)與今天內(nèi)容有關(guān)的，龐加萊意識(shí)到，描述一個(gè)幾何體抽象性質(zhì)的關(guān)鍵在于這個(gè)幾何體本身有沒有邊界，以及它是不是其它幾何體的邊界，這就開始有點(diǎn)不像人話了，比如，一個(gè)圓盤和一個(gè)球面為什么不同，就是因?yàn)閳A盤有邊界而球面沒有邊界；球面為什么跟輪胎面不同，因?yàn)榍蛎嫔系娜魏我粋€(gè)圈都是球面某一部分的邊界，比如一條緯線就是一個(gè)邊界，而輪胎面上有的圈并不是輪胎面任何一部分的邊界。稍微解釋一下，這個(gè)邊界，可以理解為孫悟空用他的棒子在地上畫了一個(gè)圈，如果是在一個(gè)球面上，那么，你隨便在哪畫一個(gè)圈，不管多大，多小，里邊的人都出不去，外邊人的也進(jìn)不來(lái)，而在一個(gè)輪胎面，有些情況，是里邊的人出不去，外邊人的進(jìn)不來(lái)，而一些圈，雖然他也是圈，但是起不到保護(hù)保護(hù)唐僧的作用，這個(gè)很難形容，但是，我相信你一想就能想出來(lái)。

沿著這個(gè)思路思考，龐加萊就想到了，任何一個(gè)單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個(gè)三維的球面。這就是龐加萊猜想。這個(gè)定理，我是不打算給您各位講明白了，因?yàn)?，這里邊每一個(gè)詞我都不懂。什么單連通，什么三維流形，什么三維的球面。這里邊都有著嚴(yán)格的數(shù)學(xué)上的定義。反正，我在網(wǎng)上查了一下，大概的意思，就是說，可以想象一個(gè)我們居住的房間。這個(gè)房子沒有窗戶、沒有門，房間里有一個(gè)氣球，氣球不斷的膨脹，假設(shè)氣球非常結(jié)實(shí)，氣球的“皮”是無(wú)限薄，而且不能被吹破。膨脹到最后會(huì)怎么樣呢？ 龐加萊猜想就說了，氣球吹到最后，一定是氣球表面和整個(gè)球形房子的墻壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。換句話說，我們把一個(gè)等同球形房間大小的氣球，可以慢慢收縮成一個(gè)“點(diǎn)”。行了，就當(dāng)你聽懂了。龐加萊猜想有一個(gè)神奇地方，就是其它高維部分的證明比低維度部分的證明反而要簡(jiǎn)單。早在1961年，斯梅爾就證明了龐加萊猜想的五維空間和五維以上都是成立的。

拓?fù)鋵W(xué)上有這樣一個(gè)段子，博士生導(dǎo)師都要給學(xué)生制定一個(gè)研究的課題，拓?fù)鋵W(xué)的博士生導(dǎo)師非常好當(dāng)，因?yàn)椋梢?，讓今年的學(xué)生研究一個(gè)命題在三維下是成立的，明年讓下一屆學(xué)生證明在四維成立，這樣就可以帶無(wú)窮多個(gè)研究生了，根本不用像咱們做節(jié)目似的，天天還是考慮選題的事，但是，后來(lái)斯梅爾出來(lái)，直接證明了龐加萊猜想在五維以上都成立，因此，他也獲得了菲爾茨獎(jiǎng)。

拓?fù)鋵W(xué)到底是什么時(shí)候出現(xiàn)的，已經(jīng)無(wú)法考證確切的時(shí)間，有說是萊布尼茨的思想已經(jīng)是拓?fù)鋵W(xué)的萌芽，也有的說，歐拉的七橋問題是拓?fù)鋵W(xué)的先聲，這些都不重要了，總之，拓?fù)鋵W(xué)這是由一代一代又?jǐn)?shù)學(xué)家不斷完善而形成，發(fā)展的學(xué)科，比起其它數(shù)學(xué)分支，他絕對(duì)是一個(gè)晚輩了，直到，上世紀(jì)下半葉開始，他才有了更加蓬勃的發(fā)展，據(jù)統(tǒng)計(jì)有十余位獲得菲爾茲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家都是與拓?fù)鋵W(xué)有關(guān)，這里邊就包括前一陣子號(hào)稱證明黎曼猜想的阿蒂亞，還有一位大神級(jí)人物，叫愛德華·威滕，當(dāng)然，在這些獲獎(jiǎng)人當(dāng)中，許多都是玩跨界的，特別是關(guān)于拓?fù)鋵W(xué)，從它誕生的那一天起，就不只是局限于數(shù)學(xué)當(dāng)中。比如說愛德華·威滕，你可能沒聽過這個(gè)名字，但是一定聽過M理論，雖然不知道是啥，但是不名覺厲，這個(gè)M理論就是威滕提出來(lái)的。

2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)解讀

2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予三位在美國(guó)高校從事研究工作的科學(xué)家，分別是[戴維·索利斯]、[鄧肯·霍爾丹]和[邁克爾·科斯特利茨]，以表彰他們?cè)谖镔|(zhì)的拓?fù)湎嘧兎矫娴睦碚摪l(fā)現(xiàn)。

從此就打開了一扇通向未知世界的大門，在那里，物質(zhì)有著與我們的世界完全不同的奇異狀態(tài)。

啥叫拓?fù)湎嘧兡兀瑢?duì)于什么是拓?fù)?，我們已?jīng)心里有點(diǎn)B數(shù)了，何為相變？就是物質(zhì)從一種相轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N相的過程。通常認(rèn)為，物質(zhì)分為固態(tài)、液態(tài)、氣態(tài)，甚至什么等離子態(tài)之類了，你就別跟我較真了，相變就是我們常見的固體冰融化成液體的水，液體的水又可以變成水蒸氣，這就是相變，宏觀上，我們所看到的相變，實(shí)際是分子在微觀層面上作出改變的結(jié)果。這中間的區(qū)別主要是因?yàn)榉肿娱g距的改變。

而在一些極端的條件下，比如極高的溫度或者極低的溫度，也會(huì)出現(xiàn)很多更為奇異的狀態(tài)。比如說給磁鐵加熱，溫度到了一個(gè)臨界點(diǎn)以后，磁性就會(huì)完全消失了，雖然你從外表看，還是那塊吸鐵石，但它在磁性上已經(jīng)發(fā)生了改變，這也是一種相變。同樣的，還有一些材料在溫度變化的時(shí)候，會(huì)從不導(dǎo)電變?yōu)閷?dǎo)電，或者在極低溫下電阻就消失了。這也是相變。

好了，明白了拓?fù)?，明顯了相變，那么把二者結(jié)合起來(lái)。當(dāng)外界條件發(fā)生變化的時(shí)候，一組原子的排列，有些情況是從幾何學(xué)角度來(lái)看，發(fā)生了變化，但是它們?nèi)匀皇峭負(fù)涞葍r(jià)的，可以想象把原來(lái)這一堆原子是圍成一圈，而現(xiàn)在變成了三角形。還有一些情況，連拓?fù)涠疾坏葍r(jià)了，原來(lái)是圍成一圈，現(xiàn)在是變成了一條線，或者是變成兩個(gè)圈了，這個(gè)時(shí)候就發(fā)生了拓?fù)湎嘧儯锚?jiǎng)的這幫人，當(dāng)時(shí)的研究是，在薄層的物質(zhì)上有很多的“旋”，低溫的時(shí)候是兩個(gè)兩個(gè)成對(duì)出現(xiàn)，溫度一升高，一下子全都分開成一個(gè)個(gè)的了。此時(shí)，他的很多性質(zhì)也就發(fā)生了變化。

這次，諾貝爾獎(jiǎng)讓我們?cè)俅胃惺艿搅藬?shù)學(xué)的重要性，也看到了數(shù)學(xué)與物理的聯(lián)姻，微積分是牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)，黎曼幾何是廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)，微分幾何是弦論的基礎(chǔ)，量子力學(xué)也是離不開什么復(fù)變函數(shù)，偏微分方程，而拓?fù)鋵W(xué)的繁花，也讓它在物理學(xué)結(jié)出了豐碩的果實(shí)，但是，這僅僅是一個(gè)開始。