高中數(shù)學(xué)：圓錐曲線不怕難！

炫葉楓雪 2019-05-17

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【考點梳理】

1．曲線與方程的定義

一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立如下的對應(yīng)關(guān)系：
那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。

2．求動點的軌跡方程的基本步驟

【考點突破】

考點一、直接法求軌跡方程

例1已知△ABC的頂點B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則頂點A的軌跡方程為________.
[答案] (1) A (2) (2，2)

[解析] 設(shè)A(x，y)，由題意可知Dx2，y2.
又∵|CD|＝3，∴x2－52＋y22＝9，即(x－10)2＋y2＝36，
由于A，B，C三點不共線，∴點A不能落在x軸上，即y≠0，
∴點A的軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0).

[類題通法]
直接法求軌跡方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性。

通常將步驟簡記為建系設(shè)點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性。

[對點訓(xùn)練]
在平面直角坐標系xOy中，點B與點A(－1，1)關(guān)于原點O對稱，P是動點且直線AP與BP的斜率之積等于－13，則動點P的軌跡方程為________________．
[答案] x2＋3y2＝4(x≠±1)

[解析]

因為點B與點A(－1，1)關(guān)于原點O對稱，
所以點B的坐標為(1，－1)．
設(shè)點P的坐標為(x，y)，
由題意得y－1x＋1·y＋1x－1＝－13，化簡得x2＋3y2＝4(x≠±1)，
故動點P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1)

考點二、相關(guān)點(代入)法求軌跡方程

例2設(shè)F(1,0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且MN―→＝2MP―→，PM―→⊥PF―→，當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程[解析] 設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵PM―→⊥PF―→，PM―→＝(x0，－y0)，PF―→＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，
∴x0＋y20＝0.
由MN―→＝2MP―→，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴x－x0＝－2x0，y＝2y0，即x0＝－x，y0＝12y，
∴－x＋y24＝0，即y2＝4x故所求的點N的軌跡方程是y2＝4x[類題通法]
代入法求軌跡方程的四個步驟
(1)設(shè)出所求動點坐標P(x，y)
(2)尋找所求動點P(x，y)與已知動點Q(x′，y′)的關(guān)系
(3)建立P，Q兩坐標間的關(guān)系，并表示出x′，y′
(4)將x′，y′代入已知曲線方程中化簡求解[對點訓(xùn)練]
如圖，已知P是橢圓x24＋y2＝1上一點，PM⊥x軸于點M.若PN―→＝λNM―→
(1)求N點的軌跡方程；
(2)當N點的軌跡為圓時，求λ的值

[解析] (1)設(shè)點P，點N的坐標分別為P(x1，y1)，N(x，y)，
則M的坐標為(x1，0)，且x＝x1，
∴PN―→＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，
NM―→＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，
由PN―→＝λNM―→得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．
∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.
∵P(x1，y1)在橢圓x24＋y2＝1上，
則x214＋y21＝1，
∴x24＋(1＋λ)2y2＝1，
故x24＋(1＋λ)2y2＝1即為所求的N點的軌跡方程(2)要使點N的軌跡為圓，則(1＋λ)2＝14，
解得λ＝－12或λ＝－32.
∴當λ＝－12或λ＝－32時，N點的軌跡是圓

考點三、定義法求軌跡方程

例3已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程

[解析]

由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；
圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.
設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.
因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2

由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為3的橢圓(左頂點除外)，其方程為 x24＋y23＝1(x≠－2)

【變式1】將本例的條件“動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動圓P與圓M、圓N都外切”，求圓心P的軌跡方程

[解析]

由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；
圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.
設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R，
因為圓P與圓M，N都外切，

所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，
即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2

所以點P的軌跡方程為y＝0(x<－2)

【變式2】把本例中圓M的方程換為：(x＋3)2＋y2＝1，圓N的方程換為：(x－3)2＋y2＝1，求圓心P的軌跡方程

[解析]

由已知條件可知圓M和N外離，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，
故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，
由雙曲線的定義知點P的軌跡是雙曲線的右支

其方程為x2－y28＝1(x>1)

【變式3】在本例中，若動圓P過圓N的圓心，并且與直線x＝－1相切，求圓心P的軌跡方程

[解析]

由于點P到定點N(1，0)和定直線x＝－1的距離相等，
所以根據(jù)拋物線的定義可知，

點P的軌跡是以N(1，0)為焦點，以x軸為對稱軸、開口向右的拋物線，

故其方程為y2＝4x

[類題通法]
應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動點的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標準方程，用待定系數(shù)法求解

[對點訓(xùn)練]
設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E
(1)證明|EA|＋|EB|為定值；
(2)求點E的軌跡方程，并求它的離心率

[解析]

(1)證明：因為|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圓A的標準方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4

(2)由圓A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)，
因此|AB|＝2，則|EA|＋|EB|＝4>|AB|
由橢圓定義，知點E的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓(不含與x軸的交點)
所以a＝2，c＝1，則b2＝a2－c3＝3
所以點E的軌跡方程為x24＋y23＝1(y≠0)
故曲線方程的離心率e＝ca＝12