詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell，1831?1879），英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的奠基人之一。

導(dǎo)語(yǔ)

麥克斯韋為人熟知的主要原因是他對(duì)電磁學(xué)的貢獻(xiàn)，實(shí)際上，作為物理學(xué)家，麥克斯韋對(duì)系統(tǒng)控制的研究也持續(xù)多年，他對(duì)于控制器的早期探索深刻影響了維納等人對(duì)控制論研究。

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自《系統(tǒng)科學(xué)縱橫》2019年第6卷第1期

掌舵人：麥克斯韋

今年（2019年）11月5日是麥克斯韋逝世140周年紀(jì)念日。

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell），1831年6月13日出生于蘇格蘭愛(ài)丁堡。他是一位偉大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家，是經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)奠基人之一 。他最具代表性的貢獻(xiàn)是建立了“場(chǎng)論”，把電、磁、光三者統(tǒng)一為電磁場(chǎng)論，并建立了今天稱為麥克斯韋微分方程組的數(shù)學(xué)模型，還預(yù)言了電磁波的存在。

圖1麥克斯韋，偉大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家，是經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)奠基人之一 。

據(jù)說(shuō)，愛(ài)因斯坦的書(shū)房里掛著三個(gè)人的肖像：牛頓、法拉第和麥克斯韋。事實(shí)上，愛(ài)因斯坦在1931年紀(jì)念麥克斯韋100周年誕辰的文集中寫(xiě)道：“自從牛頓奠定理論物理學(xué)的基礎(chǔ)以來(lái)，物理學(xué)公理基礎(chǔ)最偉大的變革是由法拉第和麥克斯韋在電磁現(xiàn)象方面的工作所引起的?！彼u(píng)說(shuō)道：“這偉大的變革是同法拉第、麥克斯韋和赫茲的名字永遠(yuǎn)聯(lián)系在一起的。而這變革中的極大部分來(lái)自麥克斯韋。”這足以說(shuō)明麥克斯韋的超凡。在麥克斯韋的諸多科學(xué)貢獻(xiàn)中，我們特別感興趣的是他在控制理論、反饋設(shè)計(jì)和系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的創(chuàng)造性思維和新穎方法。

1948年，當(dāng)維納（Norbert Wiener，1894-1964）考慮為一個(gè)新領(lǐng)域定名時(shí)，他想起了麥克斯韋：“我們已經(jīng)決定了為整個(gè)控制和通信領(lǐng)域起一個(gè)名字，不管涉及到機(jī)器還是動(dòng)物，就叫做Cybernetics，它來(lái)自希臘文kubernetes，即掌舵人。在選擇這個(gè)詞的時(shí)候，我們應(yīng)當(dāng)追溯到克拉克·麥克斯韋1868年發(fā)表的第一篇論述反饋機(jī)制的重要論文，那是關(guān)于調(diào)速器（Governor）的，而這一名詞就是從kubernetes的拉丁文演繹出來(lái)的?！?/p>

維納提到的麥克斯韋的那篇論文，題目是“論調(diào)速器”（On Governors），發(fā)表在

Proceedings of the Royal Society，Vol. 16, pp. 270-283, 1868。文中指出：“一部帶調(diào)速器的機(jī)器通常在有擾動(dòng)的情況下仍然能以均勻的方式運(yùn)動(dòng)，其中擾動(dòng)是多種組成部分的運(yùn)動(dòng)的綜合。

這些組成部分大概可以分為四類：

（1）擾動(dòng)連續(xù)性地增長(zhǎng)；

（2）擾動(dòng)連續(xù)性地衰減；

（3）擾動(dòng)以幅度連續(xù)增長(zhǎng)的方式振蕩；

（4）擾動(dòng)以幅度連續(xù)減少的方式振蕩。

上面第一和第三種情況與運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性是不相容的；第二和第四種情況則與良好的調(diào)速器兼容。這一條件在數(shù)學(xué)上等價(jià)于某個(gè)方程所有實(shí)根和復(fù)根的實(shí)部均為負(fù)數(shù)?！痹谶@篇文章中，麥克斯韋采用了非線性系統(tǒng)的線性化處理，引入了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的概念，并給出了低階系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別條件。1876年，俄羅斯學(xué)者Ivan Alekseyevich Vyshnegradsky（1832-1895）獨(dú)立地給出了類似的穩(wěn)定性條件。麥克斯韋在上述論文中作了一點(diǎn)說(shuō)明：“我尚未能完全確定高于三階方程的條件，但希望這個(gè)研究題目會(huì)引起數(shù)學(xué)家們的注意。”這個(gè)高階多項(xiàng)式穩(wěn)定性問(wèn)題到1877年有了判別條件：勞斯（Edward John Routh, 1831-1907）參加名為“動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性”的科學(xué)競(jìng)賽，以題為“A Treatise on the Stability of a Given State of Motion”的論文贏得了由英國(guó)劍橋大學(xué)1848年設(shè)立、由該校數(shù)學(xué)學(xué)院頒發(fā)的亞當(dāng)斯獎(jiǎng)（Adams Prize），文中他給出了我們今天熟知的勞斯判據(jù)。此后，系統(tǒng)穩(wěn)定性研究獲得迅速發(fā)展。

熱衷研究系統(tǒng)控制的

物理學(xué)家

作為物理學(xué)家的麥克斯韋為什么熱衷于研究系統(tǒng)控制呢？盡管系統(tǒng)控制也屬于物理范疇，這事還得從調(diào)速器所伺服的蒸汽機(jī)談起。

世界上最早的蒸汽機(jī)雛形可以追溯到古希臘數(shù)學(xué)物理學(xué)家希羅（Hero of Alexandria）在公元一世紀(jì)發(fā)明的汽轉(zhuǎn)球（Aeolipile）。當(dāng)然，或許更早一點(diǎn)，維特魯威（Vitruvius）在《建筑十書(shū)》（De Architectura）中已提到一種帶小開(kāi)口的黃銅容器，注入水后再用火燒便會(huì)產(chǎn)生蒸汽，他稱之為“?olipyl?”。

無(wú)論如何，希羅的《氣體力學(xué)》（Pneumatics）詳細(xì)地描述了汽轉(zhuǎn)球的結(jié)構(gòu)和工作原理，它由一個(gè)空心球和一個(gè)裝有水的密封鍋?zhàn)右詢蓷l空心管連接在一起，當(dāng)在鍋底加熱使水沸騰時(shí)，鍋中的蒸汽就通過(guò)管子進(jìn)入球中，最后蒸汽會(huì)由球體的兩旁噴出從而推動(dòng)球體旋轉(zhuǎn)。（見(jiàn)圖2）

圖2 希羅的汽轉(zhuǎn)球

現(xiàn)代意義下的蒸汽機(jī)要等到17世紀(jì)才誕生。1679年，法國(guó)物理學(xué)家丹尼斯·帕潘（Denis Papin, 1647-1712）打造了第一臺(tái)蒸汽機(jī)的工作模型(Steam Digester)。之后，英國(guó)三位工程師，托馬斯·塞維利（Thomas Savery, 1650-1715）于1698年、托馬斯·紐科門（Thomas Newcomen，1663-1729）于1712年 和詹姆斯·瓦特 （James von Breda Watt，1736-1819）于1769年分別設(shè)計(jì)和改良出早期的工業(yè)蒸汽機(jī)。

其中瓦特的偉大貢獻(xiàn)是改進(jìn)了惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）的設(shè)計(jì)而制造出了更實(shí)用的離心調(diào)速器（Flyball governor，1788，見(jiàn)圖3），使蒸汽機(jī)的效率大大提高，從而得到迅速推廣。1807年，美國(guó)工程師羅伯特·富爾頓（Robert Fulton，1765-1815）成功地給遠(yuǎn)航輪船裝上了驅(qū)動(dòng)蒸汽機(jī)，不過(guò)那是后話。瓦特的離心調(diào)速器一直運(yùn)作得很好，那時(shí)英國(guó)約有75000個(gè)離心調(diào)速器在工業(yè)界使用。后來(lái)蒸汽機(jī)速度提高了，調(diào)速器頻繁地出現(xiàn)不穩(wěn)定狀況，以致不能工作甚至導(dǎo)致機(jī)器損毀，讓所有的工程師絞盡腦汁卻一籌莫展。

機(jī)械應(yīng)用研究在這種困難時(shí)刻通常都會(huì)求助于數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。麥克斯韋的參與適逢其時(shí)。也許是經(jīng)過(guò)多年的研究（我們不得而知），他發(fā)表了上述著名論文“論調(diào)速器”（On Governors），為瓦特離心調(diào)速器的改進(jìn)和使用提供了嚴(yán)格堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

表達(dá)比例和積分控制器基本思想的

數(shù)學(xué)物理學(xué)家

麥克斯韋那個(gè)時(shí)候還表達(dá)了今天我們熟知的比例和積分控制器的基本思想。

圖3 瓦特設(shè)計(jì)的 Flyball離心調(diào)速器

他在這篇文章中描述：“大多數(shù)調(diào)速器依賴于與轉(zhuǎn)軸相連的一塊機(jī)器部件的離心力。當(dāng)速度增加時(shí)，該離心力便增加，它或者增加在該部件表面的壓力，或者將該部件移離，從而起到剎掣或閥門的作用?！彼赋觯骸暗绻x心力作用在該部件,而不是直接作用在機(jī)器上，那么就可以有一個(gè)設(shè)計(jì)，只要運(yùn)動(dòng)速度高于某個(gè)正常值，就會(huì)不斷地增加阻力，而在速度低于該值時(shí)則反轉(zhuǎn)其作用，使得無(wú)論在驅(qū)動(dòng)或阻力方面發(fā)生任何變化（在機(jī)器的工作范圍內(nèi)），這個(gè)調(diào)速器都會(huì)將速度引導(dǎo)到同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)值?！蔽闹兴阎挥斜壤刂频恼{(diào)速器稱為Moderator，而把具有比例及積分控制的調(diào)速器稱為Genuine governor。

麥克斯韋的文章分析了三種調(diào)速器。

• 第一種，離心力部件與軸的距離保持不變，但它在摩擦表面上的壓力隨著速度的變化而變化。

• 第二種，離心力部件可以自由地離軸移動(dòng)，但它受到一種力的限制使得該力的強(qiáng)度隨離心部件的位置變化而變化，因此如果旋轉(zhuǎn)速度具有正常值，則離心力部件在每個(gè)位置都處于平衡狀態(tài)。

• 第三種，液體被泵出并被拋出旋轉(zhuǎn)杯的兩側(cè)。杯子通過(guò)螺釘和彈簧以其軸線連接。如果軸的旋轉(zhuǎn)在杯子之前，則杯子下降同時(shí)泵進(jìn)更多液體。如果這種調(diào)整可以做得完美，那么在適當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)力范圍內(nèi)，杯子就能保持正常旋轉(zhuǎn)速度不變。麥克斯韋接著指出，“在某些條件下，機(jī)器里突發(fā)的擾動(dòng)并不會(huì)經(jīng)過(guò)差速系統(tǒng)去影響調(diào)速器，或者反過(guò)來(lái)。當(dāng)這些條件都滿足時(shí)，其相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程不但簡(jiǎn)單，而且運(yùn)動(dòng)本身不會(huì)導(dǎo)致機(jī)器與調(diào)速器相互作用而產(chǎn)生的擾動(dòng)?！?/p>

麥克斯韋1868年的這篇論文第一次給出了明確的穩(wěn)定性數(shù)學(xué)條件，并指出如何去設(shè)計(jì)調(diào)速器以滿足這些條件。另外，盡管麥克斯韋的文章沒(méi)有用“反饋”（Feedback）二字，容易看出，他的文章自始至終貫穿著反饋的思想和方法。事實(shí)上，他研究的主題調(diào)速器就是一個(gè)典型的反饋控制器。

致力于研究天體的

數(shù)學(xué)物理學(xué)家

作為物理學(xué)家，麥克斯韋也致力于研究天體，系統(tǒng)特別是土星環(huán)（見(jiàn)圖4）的穩(wěn)定性。

圖4 土星環(huán)

伽利略是第一個(gè)通過(guò)望遠(yuǎn)鏡看到土星環(huán)的天文學(xué)家，而拉普拉斯則是第一個(gè)研究土星環(huán)穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)家。拉普拉斯的結(jié)論是，如果這些環(huán)是固態(tài)的話，它們一定是由大量的非常小的環(huán)組成，并且每個(gè)小環(huán)以特定的速度圍繞土星旋轉(zhuǎn)。

麥克斯韋假定土星環(huán)并不是固態(tài)的，由此研究了環(huán)上非剛性小塊橫截面上動(dòng)力擾動(dòng)的效果。他發(fā)現(xiàn)，為了保證環(huán)面的穩(wěn)定性，這環(huán)必須有足夠的不規(guī)則性。“我們可以更有把握地得出如下結(jié)論：如果這些環(huán)是固態(tài)和均勻的話，它們的運(yùn)動(dòng)就會(huì)是不穩(wěn)定的，因而它們就會(huì)被破壞；但它們并沒(méi)有被破壞，而且它們的運(yùn)動(dòng)很穩(wěn)定，故此它們要么是不均勻的、要么是非固態(tài)的。我并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)拉普拉斯或者近代數(shù)學(xué)家們對(duì)此有過(guò)任何研究?！彼赋觯骸霸诒疚闹形乙呀?jīng)證明了這種現(xiàn)象的確存在，但都是通過(guò)環(huán)的演變轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)條件?！?/p>

接下來(lái)，他描述了這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變換，然后考慮了如果穩(wěn)定性條件不滿足，土星環(huán)將如何破裂成無(wú)數(shù)小顆粒，變成“流星雨、土塵或者灰燼”，并且給出了為維持整體穩(wěn)定性土星環(huán)應(yīng)有的平均密度。

“力學(xué)理論分析的最后結(jié)果是”，他總結(jié)道，“唯一能夠存在的環(huán)是由無(wú)數(shù)互不連接的小顆粒組成，它們圍繞著土星按各自的不同距離以不同的速度運(yùn)行和演化?！?/p>

麥克斯韋以他的論文“On the Stability of the Motion of Saturn's Rings: An Essay”（后來(lái)以書(shū)出版，MacMillan and Co., 1859）贏得了1856年的亞當(dāng)斯獎(jiǎng)，奠定了他作為最偉大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家的崇高學(xué)術(shù)地位。

重視實(shí)證研究的

數(shù)學(xué)物理學(xué)家

作為理論物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的麥克斯韋也十分重視實(shí)證研究，常常親自動(dòng)手做各種實(shí)驗(yàn)。1874年，他在劍橋大學(xué)負(fù)責(zé)籌建了后來(lái)被譽(yù)為“諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者搖籃”的卡文迪什（Cavendish）實(shí)驗(yàn)室，并擔(dān)任實(shí)驗(yàn)室主任，直到1879年跟他母親一樣病逝于胃癌。天妒英才，只讓他享年48歲。圖5為英國(guó)愛(ài)丁堡的麥克斯韋雕像。

圖5 愛(ài)丁堡喬治街的麥克斯韋雕像

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