題：如圖1，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是AC的中點，AE⊥BD交BC于E．

求證：∠ADB=∠CDE．

分析：從幾何的角度出發(fā)進行證明雖然有點難度，但也并非是無從下手．由已知，圖中有相等線段AB=AC，AD=DC，因此自然會想到構造三角形全等．注意到△ABD與△ACE，它們雖然不全等，但有AB=AC，∠DBA=∠CAE，因此，在△ACE基礎上構造與△ABD全等的三角形．

證明：過點C作CF⊥AC交AE延長線于點F（如圖2）．

因為∠BAC=90°，AE⊥BD，

所以∠ABD=∠CAF，

因為AB=AC，∠BAD=∠ACF，

所以△ABD≌△CAF，

所以AD=CF，∠ADB=∠F．

因為AD=CD，

所以CD=CF，

因為△ABC是等腰直角三角形，

所以∠DCE=45°，

所以∠FCE=90°-45°，

所以∠DCE=∠FCE，

又CE=CE，

所以△CDE≌△CFE，

所以∠CDE=∠F，

所以∠ADB=∠CDE．

如果考慮到△ABC是直角三角形，把它放進直角坐標系中，通過點的坐標容易溝通各邊之間的關系，再通過三角函數便可以達到證明∠ADB=∠CDE ．

證明：如圖3，以點A為原點O，直線AC、AB分別為x軸、y軸建立直角坐標系．

設AB=AC=2a，則點B(0，2a)，C(2a，0)，D(a，0)，

在Rt△ABD中，

tan∠ADB=AB/AD =2；

設直線BC的解析式為y=kx+2a，

把點C的坐標代入，得

0=2ak+2a，解得k=-1，

所以直線BC的解析式為y=-x+2a；

設直線BD的解析式為y=mx+2a，

把點D的坐標代入，得

0=am+2a，解得m=-2，

所以直線BD的解析式為y=-2x+2a；

因為直線AE與BD垂直，

所以直線AE的解析式為y=1/2·x.

聯(lián)立直線BC、AE的解析式：y=-x+2a和y=1/2·x，

解得x=4a/3，y=2a/3，

所以交點E的坐標為(4a/3，2a/3)，

作EF⊥x軸于點F．則

EF=2a/3，

DF=AF–AD=4a/3-a=a/3，

在Rt△DEF中，

tan∠EDF=EF/DF=2a/3÷a/3=2，

所以tan∠ADB=tan∠EDF，

所以∠ADB=∠CDE．

運用坐標證明幾何題思路清晰，方法簡便，但美中不足的是過程運算較繁雜．