2019年5月12日是著名數(shù)學(xué)家吳文俊的誕辰100周年紀(jì)念日。1956年，吳文俊因?yàn)樵谕負(fù)鋵W(xué)上的成就，與華羅庚、錢學(xué)森獲得首屆國(guó)家自然科學(xué)一等獎(jiǎng)；在38歲時(shí)被評(píng)為學(xué)部委員，是當(dāng)時(shí)最年輕的學(xué)部委員之一；2017年5月7日，吳文俊去世，享年98歲。吳文俊不僅有松柏之壽，也同樣有著長(zhǎng)期而活躍的學(xué)術(shù)生涯。他長(zhǎng)期參與數(shù)學(xué)界的地外國(guó)際交往，1979年，他與關(guān)肇直等人共同籌建中國(guó)科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所；1986年他在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作關(guān)于中國(guó)數(shù)學(xué)史的報(bào)告，引起廣泛的興趣．形成了復(fù)興中國(guó)數(shù)學(xué)的新趨勢(shì)；他在1970年代末開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)機(jī)械化的全新領(lǐng)域，這方面的學(xué)術(shù)思想更多地由他在90年代創(chuàng)立的中科院數(shù)學(xué)機(jī)械化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室傳承。

吳文俊還是同樣也是中國(guó)人工智能歷史上一位里程碑式的開(kāi)拓者。他提出用計(jì)算機(jī)證明幾何定理的“吳方法”，被認(rèn)為是自動(dòng)推理領(lǐng)域的里程碑，他也因此獲得1997年的國(guó)際自動(dòng)推理最高獎(jiǎng)——埃爾布朗自動(dòng)推理杰出成就獎(jiǎng)。但吳文俊晚年曾自我評(píng)價(jià)，自己最得意的是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史的研究，“拓?fù)涞哪切┕ぷ鞑凰闶裁础?。由此可?jiàn)，吳文俊平生最得意的三件事，古代數(shù)學(xué)史的研究排在第一，拓?fù)鋵W(xué)排在第二，數(shù)學(xué)機(jī)械化證明恐怕只能屈居第三。借吳文俊誕辰100周年紀(jì)念日之際，在緬懷前輩的同時(shí)，讓我們一同回顧他在上述領(lǐng)域的創(chuàng)新研究中做出的巨大貢獻(xiàn)，解讀吳文俊與人工智能的淵源。

美國(guó)紐約州立大學(xué)石溪分校計(jì)算機(jī)系終身教授顧險(xiǎn)峰曾經(jīng)提到：“在我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的歷程中，所接觸的主要定理和理論框架都是由西方人所創(chuàng)立，極少見(jiàn)到中國(guó)數(shù)學(xué)家的名字，直到學(xué)習(xí)了吳先生關(guān)于中國(guó)古代數(shù)學(xué)的系統(tǒng)論述，才令我體會(huì)到中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的偉大和深邃?！鳖欕U(xiǎn)峰所描述的是西方學(xué)術(shù)界長(zhǎng)期以來(lái)對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)根深蒂固的偏見(jiàn)，而吳文俊對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)史的研究，正是對(duì)這種錯(cuò)誤觀點(diǎn)的修正。

吳文俊的研究從根本上澄清了，中國(guó)古代數(shù)學(xué)也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的源頭之一，除了希臘歐幾里得公理化的演繹推理體系，還有另一條與之平行的中國(guó)古代數(shù)學(xué)。但中西方認(rèn)識(shí)世界和進(jìn)行總結(jié)規(guī)律上的出發(fā)點(diǎn)并不一樣，與中國(guó)古人重視實(shí)際效果的“實(shí)用主義”不同，古希臘人從一開(kāi)始就力圖探索和總結(jié)世界的本元——如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派甚至認(rèn)為，整個(gè)世界的本體就是“數(shù)”，任何事物都都可以用數(shù)來(lái)描述。這就像今天有觀點(diǎn)認(rèn)為“萬(wàn)物都是圖靈機(jī)”，可以說(shuō)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就是當(dāng)年的圖靈學(xué)派。

出發(fā)點(diǎn)的不同也造就了中外數(shù)學(xué)的兩條不同的表述路線。以畢達(dá)哥拉斯定理也就是我們所熟悉的勾股定理為例，在歐氏幾何中將其抽象化表述為“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方”；而我們的祖先將之具體化為更容易記憶和應(yīng)用的“勾三股四弦五”（同樣的還有圓周率，西方用正多邊形無(wú)限逼近極限的方法計(jì)算，中國(guó)則略去過(guò)程直接套用22/7的“約率”和355/113的“密率”用于計(jì)算），這也是西方數(shù)學(xué)看起來(lái)嚴(yán)絲合縫，中國(guó)數(shù)學(xué)看起來(lái)并沒(méi)有形成一個(gè)嚴(yán)密的體系的原因。

（《周髀算經(jīng)》中對(duì)勾股定理的證明）

從《海島算經(jīng)》中證明的復(fù)原入手，吳文俊發(fā)現(xiàn)西算傳入以后，用西方數(shù)學(xué)中添加平行線或代數(shù)方法甚至三角函數(shù)來(lái)證明的思路是完全錯(cuò)誤的，并不符合中國(guó)古代幾何學(xué)的原意。他在許多方面提出了獨(dú)到的見(jiàn)解，這一發(fā)現(xiàn)在他在1975年到法國(guó)高等科學(xué)研究院訪問(wèn)時(shí)報(bào)告中有詳細(xì)提及。

在吳文俊看來(lái)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)的關(guān)鍵字是“術(shù)”，無(wú)論“大衍求一術(shù)”、“更相減損術(shù)”或者其他的“術(shù)”，都是以機(jī)械化的解答方式，來(lái)解決數(shù)學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題。它的方法是“機(jī)械”的，與西方數(shù)學(xué)“靈機(jī)一動(dòng)”的證明過(guò)程不一樣。而這也是中國(guó)古代將數(shù)學(xué)稱之為“算術(shù)”的原因——所謂算術(shù)，就是計(jì)算的“術(shù)”，這個(gè)“術(shù)”用今天的話來(lái)說(shuō)就是算法，換言之，中國(guó)古代數(shù)學(xué)，就是一部算法大全。

吳文俊在中國(guó)古代數(shù)學(xué)正本清源的分析，也豐富了近代數(shù)學(xué)體系的構(gòu)架，具有決定性的意義。如楊振寧所說(shuō)自己最重要的成就就是提高了中國(guó)人的自信，吳文俊在數(shù)學(xué)史上的研究也起到了類似的作用。這個(gè)時(shí)代最聰明的人，果然會(huì)有最多的共同語(yǔ)言。

吳文俊對(duì)數(shù)學(xué)的主要領(lǐng)域——拓?fù)鋵W(xué)做出了重大貢獻(xiàn)。他引進(jìn)的示性類和示嵌類被稱為“吳示性類”和“吳示嵌類”，他導(dǎo)出的示性類之間的關(guān)系式被稱為“吳公式”。他的工作是1950年代前后拓?fù)鋵W(xué)的重大突破之一，拓?fù)鋵W(xué)在這一時(shí)代也成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流學(xué)科，吳文俊正是當(dāng)年引發(fā)“拓?fù)涞卣稹钡闹匾宋镏弧?/p>

（吳文俊五十年代在中科院講課）

纖維叢及示性類理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本概念之一，在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域乃至數(shù)學(xué)物理有著廣泛的應(yīng)用。吳文俊在法國(guó)攻讀博士期間最早的工作之一就是對(duì)Whithey的叢乘積公式給出一個(gè)簡(jiǎn)短而圓滿的證明，全文發(fā)表在頂尖雜志Annals of Mathematics上，Whithey于是認(rèn)為，從此他的手稿可以不必保留了。對(duì)于同時(shí)代研究這一方向的科學(xué)家來(lái)說(shuō)，頗有當(dāng)年李白“眼前有景道不得，崔顥題詩(shī)在上頭”的感覺(jué)。

吳文俊在他的博士論文中定出了各種不同示性類之間的種種關(guān)系，并得出4維可定向微分流形上具有概復(fù)結(jié)構(gòu)的充分必要條件，并在此基礎(chǔ)上給出了“吳示性類”和“第一吳公式”。這一公式不僅使得此前幾乎無(wú)法計(jì)算的Stiefel-Whithey示性類變得極易計(jì)算，而且還解釋了Stiefel-Whithey示性類不僅是拓?fù)洳蛔兊?，而且還是同倫不變的。這一研究得到了大數(shù)學(xué)家Weil的青睞，但他告訴吳文俊，Grassmann流形上的Steenrod運(yùn)算還沒(méi)有算出。經(jīng)過(guò)在咖啡館里一個(gè)月的奮戰(zhàn)，吳文俊又給出了著名的第二吳公式。1956年Dold證明，這一公式給出了Stiefel-Whithey示性類之間所有可能的關(guān)系。這一工作被認(rèn)為是示性類研究的分水嶺，是對(duì)示性類的劃時(shí)代貢獻(xiàn)。

除此之外，吳文俊在其他示性類、微分流形和復(fù)合形的嵌入理論方面的研究也起到了承上啟下的作用。他對(duì)邦特里亞金示性類的研究證明了其拓?fù)洳蛔冃?，由此推出某些邦特里亞金類的組合(模p)的拓?fù)洳蛔冃裕凰€解決了1維復(fù)形在平面中的嵌入問(wèn)題，使著名的Karatowski不可嵌入定理成為特例，并將其應(yīng)用于印刷線路問(wèn)題，為圖論開(kāi)辟了新的方向，在微分流形的嵌入問(wèn)題上也給其留法時(shí)期的同門師弟A. Haefliger給出的微分嵌入定理以吉大啟發(fā)。吳文俊對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的各項(xiàng)研究已成為這一領(lǐng)域的經(jīng)典成果。

【 猶他壺模型，圖片來(lái)源：維基百科所有者：Dhatfield 】

“吳示性類”所揭示的方法此后被應(yīng)用于計(jì)算力學(xué)、CAD設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)視覺(jué)等領(lǐng)域，對(duì)于人工智能的發(fā)展也有著重要的作用。如在CAD設(shè)計(jì)中的網(wǎng)格生成問(wèn)題以及其他諸多組合幾何問(wèn)題本質(zhì)上與吳文俊發(fā)展的示嵌類、示痕類有著本質(zhì)的聯(lián)系，而計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中著名的“猶他茶壺模型”和計(jì)算機(jī)視覺(jué)中至關(guān)重要的的形狀分析問(wèn)題，吳文俊提出的數(shù)學(xué)機(jī)械化“吳方法”也提供了非?；镜乃惴ā?/p>數(shù)學(xué)機(jī)械化開(kāi)啟定理證明的新思路

相比起吳文俊自己最得意的中國(guó)古代數(shù)學(xué)史和拓?fù)鋵W(xué)的研究，數(shù)學(xué)機(jī)械化反而是吳文俊最為人們所熟知的研究成果。這一方面是因?yàn)閰俏目『笃诘难芯繑?shù)學(xué)機(jī)械化為重點(diǎn)，并組建了以機(jī)械化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，這方面的傳承由高小山、張景中、楊路等學(xué)者進(jìn)一步發(fā)揚(yáng)光大；另一方面，數(shù)學(xué)機(jī)械化的門檻也比拓?fù)鋵W(xué)等要來(lái)得低一些，搜狗創(chuàng)始人王小川就是在高中時(shí)用吳文俊的數(shù)學(xué)機(jī)械化方法實(shí)現(xiàn)了幾何定理自動(dòng)證明，這也使其開(kāi)始走上了人工智能的道路。

“數(shù)學(xué)機(jī)械化”一詞取自數(shù)理邏輯學(xué)家王浩的著作《數(shù)理邏輯總覽》中的“向機(jī)械化數(shù)學(xué)前進(jìn)”一節(jié)。1958年，美國(guó)洛克菲勒大學(xué)教授王浩設(shè)計(jì)的計(jì)算機(jī)程序在IBM 704型計(jì)算機(jī)上證明了羅素與懷特?！稊?shù)學(xué)原理》中220條有關(guān)命題邏輯的定理，稍后又?jǐn)U展到了400條，這一成就震動(dòng)了學(xué)術(shù)界，被譽(yù)為“一 擊落七蠅（Seven flies in one blow)”。王浩還因此于1983年獲得人工智能國(guó)際聯(lián)合會(huì)與美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)聯(lián)合頒發(fā)的里程碑獎(jiǎng)。70年代末當(dāng)王浩得知吳文俊進(jìn)行數(shù)學(xué)機(jī)械化的相關(guān)研究室曾給吳文俊寫信，建議吳文俊用已有的代數(shù)包，這大概是哥德?tīng)栂刀ɡ碜C明和塔爾斯基系定理證明為數(shù)不多的交流。

雖然“數(shù)學(xué)機(jī)械化”一詞由王浩提出，吳文俊利用中國(guó)古代數(shù)學(xué)“機(jī)械化”的方法才更好地體現(xiàn)出了“機(jī)械化”的含義。吳文俊曾用中小學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程來(lái)解釋數(shù)學(xué)機(jī)械化的原理，小學(xué)時(shí)的加減乘除運(yùn)算都是按照一定的法則機(jī)械進(jìn)行，但像“雞兔同籠”之類的問(wèn)題則需要運(yùn)用巧思；到了中學(xué)學(xué)習(xí)到線性聯(lián)立方程組時(shí)，又可以像四則運(yùn)算一樣按照法則機(jī)械地解答這一類問(wèn)題；但此時(shí)的幾何證明又想小學(xué)時(shí)候的四則難題一樣需要巧思，所以說(shuō)這是一個(gè)隨著知識(shí)的增長(zhǎng)螺旋上升的過(guò)程。在此過(guò)程中，吳文俊的數(shù)學(xué)機(jī)械化的思路，正是將原來(lái)非機(jī)械化而極為困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題變成機(jī)械化的課解決的問(wèn)題。所以吳文俊說(shuō)自己從中國(guó)古代數(shù)學(xué)研究思路中找到了靈感，這一方面固然有老一輩科學(xué)家對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)的捍衛(wèi)的成分在內(nèi)，但對(duì)于吳文俊這樣一通則百通的高人這里也不完全是一句空話。

吳文俊幾何定理自動(dòng)證明的“吳方法”被稱為自動(dòng)推理領(lǐng)域的先驅(qū)性工作，他也因此于1997年獲得“Herbrand自動(dòng)推理杰出成就獎(jiǎng)”。他的哲學(xué)思想是典型的數(shù)學(xué)家思路，這和王浩等基于邏輯推理做定理證明的邏輯學(xué)家不盡相同，他所看重的中國(guó)古代機(jī)械化數(shù)學(xué)與歐幾里得幾何相反，在幾何學(xué)上根本不考慮定理的證明與發(fā)明，而是著重各種問(wèn)題特別是幾何問(wèn)題的解決并由此提煉成原理法則，進(jìn)而解決其它更難的問(wèn)題。這種問(wèn)題的解決，往往自然導(dǎo)致方程的求解。這實(shí)際上也是之前提到的中國(guó)與西方哲學(xué)思想的不同導(dǎo)致的差異，前者重實(shí)效應(yīng)用，后者重邏輯推理。如果再投射到今日的人工智能，這就好比今日的人工智能之爭(zhēng)，偏理性主義的“符號(hào)主義”和偏經(jīng)驗(yàn)主義的“連接主義”的差別，雖則出發(fā)點(diǎn)不同，實(shí)際上都是人工智能體系的一部分。從吳文俊所做的數(shù)學(xué)機(jī)械化研究雖然更多的是從數(shù)學(xué)的角度，但這也給人工智能以新的啟發(fā)；中國(guó)人工智能學(xué)會(huì)將智能科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域最高獎(jiǎng)項(xiàng)定名為“吳文俊獎(jiǎng)”，不僅僅是因?yàn)閰俏目≡诙ɡ碜C明這個(gè)人工智能的早期方向達(dá)到了新的高度，更是因?yàn)槠浔澈蟮恼軐W(xué)思想對(duì)人工智能研究者的啟發(fā)。

小結(jié)

吳文俊是中國(guó)近代數(shù)學(xué)研究的集大成者。在他的研究中融合了中國(guó)與西方、古代與現(xiàn)代、理性主義與經(jīng)驗(yàn)主義的諸多元素，在西方近代數(shù)學(xué)尤其是拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展中起到里程碑式的作用，同時(shí)又能從中國(guó)古代機(jī)械化方法中找到解決問(wèn)題的新思路；他在數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的思想有明顯的經(jīng)驗(yàn)主義特征，但卻又是強(qiáng)調(diào)理性邏輯推理的“符號(hào)主義”研究的一個(gè)高點(diǎn)；在中國(guó)人工智能研究的歷史上，他也給與后來(lái)人以觀念和方法上的啟示。在我們編寫的《中國(guó)人工智能簡(jiǎn)史》一書(shū)中吳文俊有著重要的篇幅，同時(shí)在書(shū)中，我們也將講述更多關(guān)于“理性主義”和“經(jīng)驗(yàn)主義”這兩大流派對(duì)中國(guó)人工智能研究的影響，感興趣的讀者歡迎點(diǎn)擊文末閱讀原文查看 中國(guó)人工智能簡(jiǎn)史 討論小組。

參考資料：

【1】高小山等：《吳文俊與中國(guó)數(shù)學(xué)》；

【2】顧險(xiǎn)峰：吳文俊先生的思想對(duì)我學(xué)術(shù)研究的影響；

【3】胡作玄：吳文俊（中科院數(shù)學(xué)機(jī)械化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室官方網(wǎng)站）

【4】林開(kāi)亮：中國(guó)古代數(shù)學(xué)沒(méi)有定理，它是如何運(yùn)作與發(fā)展的？

【5】吳文?。簲?shù)學(xué)機(jī)械化——回顧與展望

【6】尼克，《人工智能簡(jiǎn)史》