夏天下雨的時候，雨滴打在積水上有時候會擊打出氣泡（bubble）來。氣泡剛產(chǎn)生時會四下游移，然后沒過多久就啵的一聲破裂了。這說明氣泡的產(chǎn)生和維持都是需要滿足某些條件的。干凈的水不容易產(chǎn)生氣泡。氣泡內(nèi)外的壓差 △p 同界面能 γ 和界面幾何之間的關(guān)系為 △p = γ（1/R₁+1/R₂），其中 R₁，R₂ 是液膜的主曲率半徑，γ 是液體的表面張力，又叫表面能。 對于球形氣泡 R₁=R₂=R ，R 是氣泡的半徑，氣泡的內(nèi)外壓差為 △p = 2γ/R 。常溫下純水的表面能高達(dá)72 mJ/m²，這幾乎是液體金屬以外的物質(zhì)能達(dá)到的最大值，因此半徑在毫米以下的水氣泡，其內(nèi)外壓差是大氣壓量級的。加入肥皂、酒精、草木灰一類的物質(zhì)能顯著降低水的表面能，有助于水泡的產(chǎn)生。吹泡泡大概是最簡單的游戲了：向清水里加入一些洗潔精，再找一根吸管，一件能給孩子帶來無窮樂趣的玩具就做好了?？粗驗榇蹬菖荻鴼g呼雀躍的孩子，成年人的心里想必也充滿了歡樂。

有些成年人在吹泡泡時，內(nèi)心充滿的除了歡樂還有深刻的數(shù)學(xué)和物理。 醉心于吹泡泡的大神有著名的物理學(xué)家開爾文爵士（Lord Kelvin，1824-1907），那可是熱力學(xué)的奠基人，熵概念的締造者。據(jù)說其侄女1887年到鄉(xiāng)下去看望他時，德高望重的老爵士就在忙著吹泡泡。很多泡泡聚在一起，形成泡沫（foam），見圖1。泡沫的整體構(gòu)型是表面能 （表面積）最小的構(gòu)型，這是一個我們堅信不疑的物理原理。不知是否是受泡沫的啟發(fā)，開爾文爵士猜測截角八面體堆積構(gòu)型的總表面積最小，這即是所謂的開爾文猜想。不過，1993年 Denis Weaire 和 Robert Phelan 找到了一種表面積更小的泡沫結(jié)構(gòu)，從而判定開爾文猜想不成立。這是來自觀察肥皂泡沫的一項重要的數(shù)學(xué)、物理研究。 

本篇要介紹的，是關(guān)于泡泡的普拉托定理的證明。這是一類看起來簡單、直覺上明白其是對的、但是卻非常難以證明的著名命題之一。

圖1.  泡泡（bubbles）的聚集體是泡沫（foam）

關(guān)于泡泡的普拉托定理

比利時物理學(xué)家普拉托（Joseph Plateau, 1801-1883）是一個醉心于視覺研究和吹泡泡的人（圖2）。普拉托是最早認(rèn)識到視覺暫留的人，其晚年失去了視覺，據(jù)說仍指導(dǎo)侄子吹泡泡繼續(xù)他的研究。他1873年出版的長達(dá)450頁的《僅置于分子力之下的液體之靜力學(xué)》一書是關(guān)于泡泡研究的經(jīng)典。作為一個科學(xué)家，面對泡-沫 （bubbles and foam）這種人所共知的存在，普拉托看出來了許多很不直觀的內(nèi)容。普拉托其人其事，特別適于用來闡述科學(xué)家（依人之本性而非職業(yè)而言）同非科學(xué)家之間的區(qū)別。

圖2. 比利時物理學(xué)家普拉托

關(guān)于泡泡，一個孤立的懸浮氣泡，不考慮空氣流動或者重力、溫度場對液體分布的影響，是球形的。如果許多泡泡漂浮在空中，很可能會發(fā)生兩個或多個氣泡相遇而合并（merge, coalesce） 的情形（圖3）。那么，兩個氣泡相遇其穩(wěn)定構(gòu)型是什么樣的呢？三個呢？或者籠統(tǒng)地說，氣泡團(tuán)簇 （bubble cluster）的構(gòu)型會是什么樣的呢？一般人很容易想到，若兩個氣泡是完全等同的，則它們相遇后的構(gòu)型必定是對稱的，因此它們的邊界必然是一個平面，兩個泡泡各自的形狀關(guān)于這個平面成鏡面對稱。然而，我們知道，一個球形氣泡其內(nèi)外壓差為 △p = 2γ/R。因為飄在空中的氣泡，其外部都是一個大氣壓，顯然氣泡越小，其內(nèi)部壓力越大。若一大一小兩個氣泡相遇，小的氣泡會擠壓大的氣泡，進(jìn)入大氣泡的內(nèi)部（可能許多人此時的反應(yīng)是：是嗎？ 我沒注意啊）以達(dá)到一個平衡的構(gòu)型 （圖4），為此氣泡內(nèi)的體積和壓力都要調(diào)整。

圖3. 單個氣泡（左圖） 與聚在一起的氣泡團(tuán)簇（右圖）

普拉托經(jīng)過多年研究，得到了關(guān)于氣泡及其合并構(gòu)型的許多重要結(jié)論，可總結(jié)為普拉托定理如下：

1. 氣泡由完整光滑的曲面（entire smooth surfaces）拼成；

2. 氣泡的每一片膜都是常平均曲率曲面 （mean curvature is everywhere constant on any point on the same piece of a film）；

3. 泡泡表面的邊界一定是由三表面兩兩相接構(gòu)成的三條曲線 （稱作普拉托邊界）， 其交角為120°，即夾角為 arccos(?1/2) = 120°；

4. 普拉托邊界之間相交一定是由四條邊界相交構(gòu)成一個點(diǎn)，四條邊界線兩兩之間的交角都相同，等于正四面體的中心同各頂點(diǎn)連線所成的角，即夾角為arccos(?1/3) = 109.47°。

這四條普拉托定理，除了第一條以外，都不是那么直觀，意思是不是尋常人通過觀察能總結(jié)出來的。普拉托定理第1、2兩條談?wù)摰氖菤馀?/span>（團(tuán)簇）的光滑部分，第3、4兩條談?wù)摰氖墙Y(jié)構(gòu)中存在的奇性（singularity）問題。普拉托定理的第3、4兩條的意思是泡泡有兩種相遇的模式，或者說氣泡團(tuán)簇的奇性有兩類：要么是三個表面沿一條曲線相遇；要么是六個表面相遇于一點(diǎn)。最重要的是，相遇處相鄰面之間的夾角是相等的，分別為120°或者為109.47°。至于證明，我們會發(fā)現(xiàn)，這要求很高深的學(xué)問，包括微分幾何和幾何測度論等即便是對數(shù)學(xué)專業(yè)的人也不算容易的學(xué)問。不過，泡泡多有趣啊，為了理解泡泡，為了幫助孩子理解泡泡，學(xué)點(diǎn)微分幾何不是摟草打兔子的事兒嗎？

圖4. 兩個全等氣泡合并時，其界面是平面，而大小不等的兩個氣泡合并時，其界面是個小氣泡突入大氣泡一方的球帽

普拉托定理的證明

普拉托定理證明的關(guān)鍵，是要證明有第3、4兩條給出的相遇模式，還要證明此構(gòu)型相對于變形是穩(wěn)定的，且在此構(gòu)型下面積最小?？梢韵胍?，這個問題的證明不能一蹴而就，它是一場智慧的接力。先看普拉托定理的第一條，氣泡由完整光滑的曲面構(gòu)成。對于一個自支持（free-standing）的氣泡，即懸浮在空中的、單個的氣泡，觀察告訴我們它是球形的 （圖1），此時結(jié)構(gòu)不存在奇性，應(yīng)該屬于最簡單的情形。然而，關(guān)于這個結(jié)論的證明，也有許多可訾議處。一般證明是純數(shù)學(xué)角度的，論證給定面積的曲面，球面包裹的體積最大。這個證明據(jù)信在亞里士多德的《論天》 （de caelo） 一書里就有。從物理的觀點(diǎn)來看，限定一個氣泡的條件（忽略重力、溫度等因素）是泡內(nèi)氣體的量（而非體積）和外部的環(huán)境氣壓。氣體的流動性使得氣壓各向同性，它注定了氣泡膜的構(gòu)型具有最大的對稱性，即球?qū)ΨQ性。壓力平衡的條件是硬性的，氣泡膜的厚度（這是物理問題）會適度調(diào)整來達(dá)到平衡條件，因此也就調(diào)節(jié)了氣泡內(nèi)的體積。以氣泡內(nèi)體積恒定的數(shù)學(xué)證明與物理現(xiàn)實是有出入的。 

普拉多問題證明的難點(diǎn)，是不容易做到 without a strong initial assumption on the smoothness and symmetry，即很難做到一開始不對構(gòu)型的光滑性與對稱性做一些強(qiáng)的假設(shè)。在數(shù)學(xué)上，可以把曲面理解為從平面區(qū)域（2D domain）向三維空間的映射，變分法是求極值（比如要求面積最?。?/span>的方法。但是這個方法有很多弊端，其最大的問題就是缺乏緊致性。如果預(yù)先假定肥皂泡是緊致曲面的話, 那么根據(jù)曲面微分幾何中的阿列克桑德羅夫定理，這曲面必定是一個標(biāo)準(zhǔn)球面。然而，氣泡團(tuán)簇構(gòu)型是一個含有奇性的結(jié)構(gòu)，比如兩氣泡相遇后造成的界線，此處曲面發(fā)生彎折?？梢韵胍姡P(guān)于氣泡問題證明的首要任務(wù)是分析奇性的結(jié)構(gòu)（structure of singularity），并予以分類。此問題已研究過一個多世紀(jì)，相關(guān)成果也非得自一篇論文。

所幸的是，一個真正科學(xué)的問題不會只有一個側(cè)面，它可能會以不同的面目遭遇不同的科學(xué)家。1964年，Aladar Heppes 證明了球面上測地線以120°夾角相交（這和普拉托定理的第3、4條有關(guān)）的構(gòu)型只有10種 （圖5）可能性。接著，女?dāng)?shù)學(xué)家泰勒（Jean E. Taylor， 1944-） 證明了前三種以外的構(gòu)型面對變形都是不穩(wěn)定的，而前三種對應(yīng)的就是光滑表面和普拉托定理的第3、4條涉及的奇性種類（types of singularity）。泰勒1976年順著切錐（tangent cone）、關(guān)于等周不等式到奇性結(jié)構(gòu)的路子，構(gòu)造了一個對普拉多問題的證明。如大家可能已經(jīng)感知的，這個證明是冗長的、且是有些限定的。這個證明利用了 rectifiable current （可求長的流），測度等幾何測度論的概念。大致說來，這要用到幾何測度論的學(xué)問，可分為三部分：切錐分析， 一個微分形式的等周問題不等式的證明，然后從此不等式得到微分結(jié)構(gòu)。其中第一部分證明三維空間中面積最小的錐是Y （半圓盤及其繞直徑為軸轉(zhuǎn)120°和240°之構(gòu)型的交集）， 以及 T（  ，其中C是對中心在原點(diǎn)、頂角包括點(diǎn)（3, 0, 0）和  之正四面體之一側(cè)所張的中心錐）。 從這里大家應(yīng)能看到普拉托定理的影子了。

有興趣的讀者請參閱文后所給的專業(yè)文獻(xiàn)。捧起一本專業(yè)文獻(xiàn)，是你走上專業(yè)道路的第一步！ 

圖5.  10種球面上以120°相交的測地線構(gòu)型 

多余的話

泡泡問題展示了一個非常簡單的原理，即物理意義上的表面能最小或者數(shù)學(xué)意義上的面積最小，然而問題卻未必那么簡單。從物理的角度來看，哪怕完全不考慮重力、溫度等因素的影響，泡泡問題的外部約束也是外部壓力恒定，而非數(shù)學(xué)證明擅長的給定邊界的最小曲面問題。對于單個泡泡來說，其構(gòu)型為球形，此時對稱性最大。對稱性最大意味著某些物理量取極值。筆者2018年才想到并堅信了這一點(diǎn) （比如筆者堅信金剛石的極大楊氏模量就與其化學(xué)的和電子結(jié)構(gòu)的對稱性有關(guān)）。以筆者有限的見識，從此角度出發(fā)做物理的范式，似乎未見過。

泡泡問題的復(fù)雜性源于幾何構(gòu)型變化的本質(zhì)。肥皂泡沫這種結(jié)構(gòu)是那種幾乎處處規(guī)則（regular almost everywhere）的結(jié)構(gòu)。那規(guī)則的曲面部分可看作是從二維圓盤到三維空間的一個光滑的映射好了，但是，那些不規(guī)則的地方，比如兩個泡泡的（一維）界線處，就需要特別的描述，比如引入特殊的測度。關(guān)于泡泡團(tuán)簇構(gòu)型的證明，難就難在這里。為此，數(shù)學(xué)家不得不準(zhǔn)備一門全新的學(xué)問。證明一個問題，可能首先需要在別的層次、用別樣的眼光看這個問題。

在閱讀關(guān)于泡泡問題的數(shù)學(xué)書時，備受煎熬的筆者忽然想到，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家應(yīng)該是典型的一類不能好好說話的人吧，不知道優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的配偶是否也必須是不能好好說話的那類人？筆者腦中靈光一閃，發(fā)明了一個關(guān)于數(shù)學(xué)家的定理: “任何配偶集合非空的數(shù)學(xué)家都不是合格的數(shù)學(xué)家，除非其配偶自身是合格的數(shù)學(xué)家?！?或者換個更強(qiáng)一點(diǎn)的表述，“若任何配偶集合非空的數(shù)學(xué)家是一個合格的數(shù)學(xué)家，則其配偶自身必然是合格的數(shù)學(xué)家?！?五分鐘后筆者看到了女?dāng)?shù)學(xué)家泰勒同其第二任丈夫、數(shù)學(xué)家兼導(dǎo)師Almgren的結(jié)婚照。泰勒女士1976年證明普拉托定理的論文就是基于Almgren的理論的。世界太神奇了，筆者提出數(shù)學(xué)家定理5分鐘后就發(fā)現(xiàn)了證據(jù)。順便提一句，泰勒女士本科是學(xué)化學(xué)的，碩士導(dǎo)師是幾何大家陳省身先生。

本篇可以和《物理學(xué)咬文嚼字》088 Bubble & Foam （泡與沫）對照閱讀。

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