捆綁在我們生活中經(jīng)常見到，比如我們現(xiàn)在的很多支付方式，一些商家辦的會(huì)員卡積分，一些APP和手機(jī)綁定等等，數(shù)不勝數(shù)，在我們數(shù)學(xué)中捆綁也是常見的現(xiàn)象。

我們來看一道小學(xué)就學(xué)的計(jì)算題：（7-4）×5，有乘有減為什么先算減法？因?yàn)?和4捆綁了。

接下來看看捆綁在解題中的妙用。

1：

第一空比較簡單，我們不作研究，重點(diǎn)在第二空，你怎么看？找規(guī)律當(dāng)然是通法，計(jì)算量有些大。

接下來我們換一個(gè)角度思考。?AB₁C₁可看作?ABC關(guān)于點(diǎn)A作位似變換，下面將?ABC與內(nèi)接正方形捆綁，那么兩個(gè)正方形其實(shí)也是作位似變換，且相似比與三角形一致。三角形的相似比是底邊B₁C₁：BC，而正方形的相似比是邊長B₂C₂：B₁C₁，而這個(gè)比恰恰又是下一對(duì)三角形的底邊之比，換而言之，相鄰兩正方形的相似比為定值。接下來B_nC_n便能呼之欲出了。

小結(jié)：將三角形與其內(nèi)接正方形捆綁，找共性。

2：

這道題的解析也是不斷計(jì)算各個(gè)面積，找規(guī)律。其實(shí)容易發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)正方形的比值是定值。現(xiàn)在將陰影部分與正方形捆綁，那么陰影部分的相似比也是這個(gè)定值。等比數(shù)列已知首項(xiàng)和公比就能表示通項(xiàng)。

例1：

嘉興這幾年連續(xù)在填空壓軸位置放路徑問題，就如重慶喜歡正方形，天津喜歡作圖，哈爾濱喜歡圓壓軸，可惜今年嘉興中考放棄了這個(gè)堅(jiān)持。

第一題確定性分析：∠HBC定，∠BCH定，BC定，則?BCH定，BH可求。接下來解三角形即可。

本道題第二空的難點(diǎn)在于對(duì)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)路徑的判斷，這甚至讓很多老師無從下手，我還是看到許多老師最后借助幾何畫板……有一點(diǎn)很清楚，學(xué)生考試是不能用幾何畫板的。

網(wǎng)上還有一些解法，以構(gòu)造為主，或許講了學(xué)生能懂，再做還是困難重重的。

我的想法是怎樣思考比較自然？即使要用輔助線也是自然生成。我在群里發(fā)過一次解法，當(dāng)時(shí)也有老師問起怎么想到的，所以趁這個(gè)機(jī)會(huì)和大家一起交流。

首先確定性分析。這個(gè)意識(shí)老師和學(xué)生都要有，任何幾何動(dòng)態(tài)問題首先要進(jìn)

行確定性分析。點(diǎn)H是AB和DF的交點(diǎn)，AB定，DF動(dòng)。于是目光就要轉(zhuǎn)向DF，

顯然DF繞點(diǎn)G做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。那么它的運(yùn)動(dòng)有著怎樣的規(guī)律？

對(duì)于一條直線的定位一般有兩種方法：（1）兩點(diǎn)法；（2）點(diǎn)角法

這里用點(diǎn)角法很容易作出下面的圖形：

接下來將DF與圓G捆綁，則DF為弧MN上的動(dòng)切線。還有一個(gè)細(xì)節(jié)，考慮兩點(diǎn)法，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F’必定落在AB上，這是一個(gè)特殊位置應(yīng)當(dāng)關(guān)注。

再來看整張圖：

H是AB和DF的交點(diǎn)，DF為弧MN上的動(dòng)切線，

關(guān)鍵點(diǎn)1：初始狀態(tài)，DF與圓的切點(diǎn)為M，此時(shí)AB和DF的交點(diǎn)為H1

關(guān)鍵點(diǎn)2：DF繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，交點(diǎn)H向AB方向移動(dòng)，逐步達(dá)到圓與AB的交點(diǎn)H2

關(guān)鍵點(diǎn)3：DF繼續(xù)繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，交點(diǎn)H向BA方向移動(dòng)，終止?fàn)顟B(tài)，DF與圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)AB和DF的交點(diǎn)為H3，即H由H1（CD與AB的交點(diǎn)）到H2（⊙G與AB的交點(diǎn)）再到H3（點(diǎn)N處切線與AB的交點(diǎn)），大家看，H的路徑非常自然地“現(xiàn)行”了。接下來只需解三角形就能解決

回顧一下剛才的想法，捆綁是手段，而核心是圖形的確定性。

于特也說過“幾何構(gòu)造很美妙，幾何構(gòu)造傷不起”，學(xué)生不易掌握。上述所用的方法從確定性入手，思維過程比較自然，當(dāng)然關(guān)鍵還是在于教師平時(shí)課堂有沒有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行確定性分析，而不是某一道題目突然拋出。

上題可以稱為直線型來回路徑

第一空比較簡單，當(dāng)時(shí)的設(shè)計(jì)也是為第二空做鋪墊。手拉手模型易得?ABD~?ACE，則有∠BPC=30°

第一空更為重要的是帶來了點(diǎn)P的軌跡這一“戰(zhàn)利品”：以AC中點(diǎn)O為圓心3為半徑的圓。

第二空還是先確定性分析。點(diǎn)P如何產(chǎn)生？BD和CE的交點(diǎn)，但是這兩條線都在動(dòng)，怎么辦？

第一題帶來了春天，P亦可看作BD和圓O的交點(diǎn)，BD動(dòng)，圓O定，接下來研究BD。

B是定點(diǎn)，D是動(dòng)點(diǎn)，D怎么動(dòng)？D在以A為圓心AD為半徑的定圓上運(yùn)動(dòng)！于是將BD與圓A捆綁，BD是圓A的動(dòng)割線（或切線）

關(guān)鍵點(diǎn)1：P從A（起點(diǎn)）出發(fā)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

關(guān)鍵點(diǎn)2：當(dāng)BD與圓A相切（右）時(shí)，P達(dá)到第一個(gè)極端位置P₁

關(guān)鍵點(diǎn)3：P從P₁按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BD與圓A相切（左）時(shí)，P達(dá)到第二個(gè)極端位置P₂

關(guān)鍵點(diǎn)4：P從P₂按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，回到點(diǎn)A（終點(diǎn)）

計(jì)算就容易了，易得∠ABP₁=30°，L=4π.

本道題的命題意圖當(dāng)時(shí)也寫了一下，和大家分享：

本題以特殊三角形中位線為背景，似曾相識(shí)，由易到難，要求學(xué)生經(jīng)歷分析、猜想、探究、證明、計(jì)算等過程，對(duì)學(xué)生的幾何思維能力要求較高．題目融合圖形旋轉(zhuǎn)、直角三角形、中位線、相似三角形、圓、三角函數(shù)等初中幾何領(lǐng)域核心知識(shí)，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)、作圖探究、分析問題、簡化問題的能力。

下面再來一道2017浙江地區(qū)的壓軸解答題，這道題十分漂亮，大家先看看，今天解決的是第（3）小問：

下面來探討第（3）問的解法。這個(gè)問題首先會(huì)涉及兩處分類：（1）點(diǎn)P在CD，AD，AB三個(gè)位置；（2）M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M’可以落在x軸與y軸上。

情況一：當(dāng)P在CD上時(shí)，先定性分析：若M’落在y軸上，四邊形M’GMP必為正方形，PM=6，GM<6，這里用“邊”很容易判斷是不可能的。

而落在x軸上直觀判斷是可行的。如果可行點(diǎn)M如何定位？

接下來確定性分析。G是定點(diǎn)，P、M是動(dòng)點(diǎn)，那么M運(yùn)動(dòng)有何規(guī)律？

不難發(fā)現(xiàn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M’落在x軸上，它的軌跡是一條直線，于是將M’與x軸捆綁，翻折回來得到點(diǎn)M的軌跡必然也是直線。于特喜歡把它稱作“反手勾拳”。

下面我們來探討如何定位這條直線

很顯然點(diǎn)M所在的直線是把x軸作關(guān)于PG的軸對(duì)稱變換得到，但是PG的定位有一定的難度，況且問題本身就是要求P的坐標(biāo)，憑直覺不是明智之舉。那怎么辦？

乾坤大挪移。思維轉(zhuǎn)化。

點(diǎn)P不定，但點(diǎn)G是定點(diǎn)。于是我們不妨將直線看作是由x軸繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2∠OGP的度數(shù)得到。把軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)，其效果是等價(jià)的。而我們只需要解決∠OGP的度數(shù)便能順利對(duì)直線定位。

所以我們就研究其中一個(gè)圖形即可：

下面介紹幾種方法：

情況二：當(dāng)P在AD上時(shí)，k_PG=k_AD=－2，四邊形M’GMP不可能為正方形，故M’不可能落在y軸上。之前的情況用邊來判斷是否為正方形，這里用的是角，比較方便，而上一種情況用邊來判斷，題目很美妙。

繼續(xù)分析，當(dāng)P在GA上時(shí)顯然M’不可能落在x軸上，而當(dāng)P在DG上時(shí)有可能使M’落在x軸上．

接下來的思考方式仍與之前一樣，仍然可以確定性分析，即用旋轉(zhuǎn)來代替軸對(duì)稱。這種情況的數(shù)據(jù)也很有意思，tan∠M'PG=tan∠MPG=1/2.熟悉12345的話直接口算了。

前面提到的四種方法都可以用，相對(duì)來說對(duì)角互補(bǔ)比較易算。

情況三：當(dāng)P在AB上時(shí)，顯然M’不可能落在x軸上，有可能使M’落在y軸上．易得四邊形M’GMP是正方形，此時(shí)P（2，－4)

下面是最后一道題：

我們著重研究第（3）題，這一小題當(dāng)時(shí)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)里的答案非常簡化，以致于這道題的得分率是比較高的。在很多學(xué)生都能做對(duì)的情況下，我有兩個(gè)疑惑：

（1）當(dāng)E在直線AC上移動(dòng)時(shí)，BE：EF的比值是否改變？

（2）對(duì)稱點(diǎn)E’的個(gè)數(shù)為何只有一個(gè)？

學(xué)生雖然做對(duì)了，但是這兩個(gè)疑惑，尤其是第二個(gè)，學(xué)生真的明白？

下面由我的一位學(xué)生來回答這兩個(gè)問題，當(dāng)時(shí)我在課堂點(diǎn)出了疑惑，學(xué)生當(dāng)場解決（這位學(xué)生二?？剂藵M分，被嘉興最頂尖的高中提前錄取），下面我把學(xué)生的解釋還原。

解答一：當(dāng)E在直線AC上移動(dòng)時(shí)，BE：EF的比值是否改變？

解答二：對(duì)稱點(diǎn)E’的個(gè)數(shù)為何只有一個(gè)？

將E’與對(duì)稱軸捆綁，點(diǎn)E是由點(diǎn)E’繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)正切值為24/7的角度（∠MBN）得到，將對(duì)稱軸繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)正切值為24/7的角度得到直線

，則點(diǎn)E必在直線L上．而點(diǎn)E又在直線AC上，故點(diǎn)E唯一確定．

這里的24/7是這么得到的（矩形大法）：

這兩個(gè)半倍角組合很美妙：

命題老師看到這個(gè)數(shù)據(jù)一定會(huì)有所聯(lián)想

最后這個(gè)問題的解決并不難。只需構(gòu)造K型圖即可。

但是答案背后隱藏的東西卻值得深思。

這種類型的翻折問題近幾年似乎比較流行，2018年深圳的壓軸解答題也考了類似的問題，最后兩問都可以用捆綁解決，如果再配合12345、矩形大法、增量巧設(shè)這些絕招就可以“一路順風(fēng)”了。有興趣的老師可以去做做。