一、相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過(guò)點(diǎn)B作射線(xiàn)BB1∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線(xiàn)AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交射線(xiàn)BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值．

2.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）①當(dāng)t=2.5s時(shí)，求△CPQ的面積；

②求△CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式；

（2）在P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，求出t的值．

3.如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分∠CDB交邊BC于點(diǎn)E，EM⊥BD，垂足為M，EN⊥CD，垂足為N．

（1）當(dāng)AD＝CD時(shí)，求證：DE∥AC；

（2）探究：AD為何值時(shí)，△BME與△CNE相似？

4.如圖所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x．

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC？

（2）△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能說(shuō)明理由．

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜t＜6）。

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

二、構(gòu)造相似輔助線(xiàn)——雙垂直模型

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線(xiàn)段OA的夾角是45°，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式．

7.在△ABC中，AB=2√5，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn)，沿著直線(xiàn)MN折疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn)．求證：MC：NC=AP：PB．

三、構(gòu)造相似輔助線(xiàn)——A、X字型

11.如圖：△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，BC邊上的中線(xiàn)AE交CD于F。求證：AB/AC=CF/DF

四、相似類(lèi)定值問(wèn)題

16.如圖，在等邊△ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AC、AB于點(diǎn)E、F． 求證：1/CE+1/BF=3/AB．

五、相似之共線(xiàn)線(xiàn)段的比例問(wèn)題

21.已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是中線(xiàn)，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F．求證：BP²＝PE·PF ．

六、相似之等積式類(lèi)型綜合

29.如圖，BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高，過(guò)D作DG⊥BC于G，分別交CE及BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F、H。 求證：（1）DG²＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH

七、 相似基本模型應(yīng)用

30.△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上．（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，求證：△BEM∽△CNE；

（2）如圖2，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，于是，除（1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論．