當(dāng)題目中出現(xiàn)證明線段不等時，輔助線的引用技巧例題1 如圖已知，AD為△ABC的中線且∠1＝∠2，∠3＝∠4， 求證：BE＋CF＞EF。 解題方法： 當(dāng)遇到題目中給出角分線這樣已知條件時，通常情況下的解題方法是在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而將問題解決。 證明： 在DE上截取DN＝DB，連接NE、NF， 則DN＝DC， 在△BDE和△NDE中， DN＝DB， ∠1＝∠2， ED＝ED， △BDE≌△NDE， BE＝NE， 同理可證：CF＝NF， 在△EFN中，EN＋FN＞EF， 所以BE＋CF＞EF。 例題2 如圖已知，AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4， 求證：BE＋CF＞EF。 解題方法; 當(dāng)題目中的已知條件給出有以線段中點為端點的線段時，通常的解題方法是：加倍延長這條線段，通過構(gòu)造全等三角形進(jìn)行求解。 證明： 延長ED到M，使得DM＝DE，連結(jié)CM、FM， △BDE和△CDM中， BD＝CD， ∠1＝∠5, ED＝MD， 所以△BDE≌△CDM， 所以CM＝BE。 有因為∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， 所以∠3＋∠2＝90°， 即∠EDF＝90°， 所以∠FDM＝∠EDF＝90°， △EDF和△MDF中， ED＝DF， 所以△EDF≌△MDF， 所以EF＝MF， 因為在△CMF中，CF＋CM＞MF， BE＋CF＞EF。 例題3 如圖已知，AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。 解題方法： 當(dāng)題目中的已知條件給出有中線時，通常加倍延長中線這條線段，來構(gòu)造全等三角形進(jìn)而解題。 證明： 延長AD至E，使得DE＝AD，連接BE， 因為AD為ABC中線， 所以BD＝CD， 在△ACD和△EBD中 ， BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED， 所以△ACD≌△EBD， 因為△ABE中有AB＋BE＞AE， 所以AB＋AC＞2AD。 例題4 如圖已知，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點， 求證：AB－AC＞PB－PC。 解題方法： 遇到這種類型的題目時，我們通常采用截長補短法，作輔助線來進(jìn)行解題。 截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段； 補短法：延長較短線段和較長線段相等； 這兩種方法統(tǒng)稱為截長補短法。 這種方法主要適用于題目已知或者求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時，使用這種方法。 ①a＞b ②a±b＝c ③a±b＝c±d 證明： ⑴截長法： 在AB上截取AN＝AC，連接PN， 在△APN和△APC中， N＝AC，∠1＝∠2，AP＝AP 所以△APN≌△APC， 所以PC＝PN 因為△BPN中有PB－PC＜BN， 所以PB－PC＜AB－AC。 ⑵補短法 延長AC至M，使AM＝AB，連接PM， 在△ABP和△AMP中， AB＝AM，∠1＝∠2，AP＝AP， 所以△ABP≌△AMP，所以PB＝PM， 又因為在△PCM中有CM＞PM－PC， 所以AB－AC＞PB－PC。 練習(xí)： 1.已知，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點O。求證：AC＝AE＋CD。 2.已知如圖，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BC＝AB＋CD。 |
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