分析：

       由前面的介紹，該題第一反應應該是建系，如果希望圓的方程簡單一點，可以以C為原點，如果希望向量AB、AD和AP寫起來簡單，可以以A為原點，這兩個建系方案差不多，我們以A為原點建系如下：

       所以向量AB為(1,0)，向量AD為(0,2)，向量AP為(λ,2μ).

       易得圓C的方程為：(x-1)²+(y-2)²=4/5.

       P為圓C上一點，設P(x,y)，則x=λ，y=2μ.

       欲求λ+μ的最大值，即求z=x+y/2的最大值.

       然后我們一般有三個方法來解決：

       方法一：

       類似線性規(guī)劃的做法，如下圖：

       當直線l:x+y/2-z=0與圓C相切時，z取到最值，由圓心C到直線l的距離為半徑，可得z=1或3，所以z的最大值為3.

       或者直接利用圓心到直線l的距離小于或等于半徑解出1≤z≤3.

       方法二：

       將直線l:x+y/2-z=0與圓C聯(lián)立，得到二次方程，由判別式不小于零，解得1≤z≤3.

       對這道題來說，這個方法太麻煩了.

       方法三：

       三角換元，或者說就是圓的參數方程：

       圓C上一點P(x,y)滿足x=1+2cosθ/√5，y=2+2sinθ/√5.

       所以x+y/2=2+2cosθ/√5+sinθ/√5=2+sin(θ+ψ)，

       其中(1,2)在角ψ的終邊上.

       所以x+y/2的最大值為3.

       那么這題還有好的想法嗎？

       我們學過如下結論：

       C為直線AB上一點，O為直線AB外一點，則有：

       如下圖：

       A'、B'、C'滿足：

       即直線A'B'和AB平行或重合.

       則有：

       即x'+y'=tx+ty=t.

       我們把與AB平行或重合的直線A'B'稱為等和線，對其上任意一點C'，向量OC'被基底OA和OB表示，系數和一定為定值.

       針對上題，如下圖：

       MN和BD平行且與圓C相切，A,B,M共線，A,D,N共線.

       點A到直線BD的距離與圓的半徑相等，所以向量AM等于3倍的向量AB，向量AN等于3倍的向量AD.

       所以P點為E點時，λ+μ取到最小值1；當P點為F點時，λ+μ取到最大值3；當P在直線BD和MN中間時，1<λ+μ<3.