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正方形與動(dòng)態(tài)問題(1)

——中考備考系列

【試題1】如圖（1），已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，GF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．

（1）證明與推斷：

?、偾笞C：四邊形CEGF是正方形；

?、谕茢啵篈G/BE＝______；

（2）探究與證明：

       將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°＜α＜45°)，如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展與運(yùn)用：

       正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)H．若AG＝6，GH＝2，則BC＝______．

【圖文解析】

（1）本小題屬基礎(chǔ)題，只做簡(jiǎn)要解析

①由“三直角”得矩形+'鄰邊相等”(由角平分線的性質(zhì)得GE＝GF)，可以證明四邊形CEGF是正方形.

②由EG∥AB可得CG/AG＝CE/BE，進(jìn)一步，得AG/BE＝CG/CE＝√2.

（2）這是一個(gè)典型的“旋轉(zhuǎn)相似“的基本圖形（相當(dāng)于共直角頂點(diǎn)的兩等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)），因AC/BC＝CG/CE＝√2：1，且∠ACG＝∠BCE＝90⁰－∠ACE，可得△ACG∽△BCE，如圖示：

    由相似三角形的性質(zhì)，即可得到AG/BE＝AC/BC＝√2：1.

【拓展延伸】

       將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度，線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系總保持：AG/BE＝√2：1.如下圖示（展示部分圖形）：

（3）原題展現(xiàn)：

       正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)H．若AG＝6，GH＝2√2，則BC＝______．

【圖文解析】

DF＝BE＝3√2

∠BFD＝∠BCD＝90⁰.

進(jìn)一步，得到：

【拓展延伸】

       正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)H．若AG＝6， BC＝3√5，則GH＝______．

答案：GH＝2√2.

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【試題2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12．點(diǎn)D在直線CB上，以CA，CD為邊作矩形ACDE，直線AB與直線CE，DE的交點(diǎn)分別為F，G．

（1）如圖，點(diǎn)D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形．

①若點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，求FG的長(zhǎng)．

②若DG＝GF，求BC的長(zhǎng)．

（2）已知BC＝9，是否存在點(diǎn)D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長(zhǎng)；若不存在，試說明理由．

【題干解讀】

由“在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12”說明此直角三角形尚未確定，是一個(gè)動(dòng)態(tài)直角三角形，由“點(diǎn)D在直線CB上”說明點(diǎn)D是一個(gè)直線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，而四邊形ACDE是個(gè)矩形，可得到多個(gè)直角和多對(duì)線段相等，而點(diǎn)F、G是直線與直線的交點(diǎn)，畫圖時(shí)要特別關(guān)注，否則圖形容易畫不出或畫錯(cuò)．由此看出：依據(jù)各個(gè)小題的條件畫出正確的圖形是解決本題的關(guān)鍵．

【圖文解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，四邊形是正方形時(shí)，如下圖示：

     由“正方形ACDE”可得到無數(shù)個(gè)完美的結(jié)論，如：就圖中因平行而得到的相似現(xiàn)成的就有多對(duì)：△AEF∽△BCF，△AGE∽△BGD∽△BAC，△ACF∽△GEF等.，由此得到的相關(guān)結(jié)論……

①當(dāng)G為DE的中點(diǎn)時(shí)，通過全等，不難得到：（如下圖示）：

   根據(jù)勾股定理，得AG=6√5，進(jìn)一步地，

有：FG/AF＝EG/AC＝1/2，所以FG＝1/3×AG＝2√5．

②當(dāng)DG＝GF時(shí)，由正方形的對(duì)稱性和三角形的內(nèi)外角的性質(zhì)，不難得到：

90⁰－α＝2α，解得α＝30⁰，如下圖示：

因此BC＝AC/tanα=12√3．

       （2）當(dāng)BC＝9時(shí)，△ABC可解，是確定的，且根據(jù)勾股定理，可得AB＝15，進(jìn)一步得到BC：AC：AB＝3：4：5，由“題干解讀”知：△BDG∽△BAC，從而BD：DG：BG＝3：4：5，可設(shè)BD＝3x，DG=4x，BG=5x．

       另一方面，由于D是在直線CB上的動(dòng)點(diǎn)，因此要根據(jù)點(diǎn)D的位置進(jìn)行討論：

①當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，此時(shí)只有一種DG＝FG可能，如下圖：

進(jìn)一步地，有：

即x²－6x＋5＝0，

解得x₁＝1，x₂＝5（舍去）

當(dāng)x=5時(shí)，9-3x<0，不舍題意，

所以腰長(zhǎng)GD為＝4x＝4．

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且直線AB，CE的交點(diǎn)中AE上方時(shí)，此時(shí)只有GF＝DG，如下圖示：

類似上述解法：

即x²－6x＋5＝0，

解得x₁＝1（舍去），x₂＝5

當(dāng)x=1時(shí)，3x-9<0，不合題意，

所以腰長(zhǎng)GD為＝4x＝20．

③當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且直線AB，EC的交點(diǎn)中BD下方時(shí)，此時(shí)只有DF＝DG，

接下來的解法，與上述類似，也是通過相似（或三角函數(shù)的定義）．

【反思】本題解答過程中的圖形復(fù)雜，需要梳理好線段間的關(guān)系，整個(gè)解題過程，用的就是相似或三角函數(shù)，特別要注意在動(dòng)態(tài)變化過程中，△BGD與△ABC永相似，因此三邊的比保持不變，事實(shí)上所以的相關(guān)圖形在變化過程中，均保持同樣的相似或比值相等關(guān)系，其中第三、四問所用到的輔助線也是最常見的（構(gòu)造母子Rt△或等腰三角形“三線合一”）．

【試題3】已知正方形ABCD，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn).

（1）如圖1，點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn)，且∠AGB＝90°，延長(zhǎng)AG，BG分別與邊BC，CD 交于點(diǎn)E，F(xiàn).

 ①求證：BE＝CF；

 ②求證：BE^2＝BC·CE.

（2）如圖2，在邊BC上取一點(diǎn)E，滿足BE^2＝BC·CE，連接AE交CM于點(diǎn)G，連接BG延長(zhǎng)交 CD于點(diǎn)F，求tan∠CBF的值.

圖文解析：

（1）①如下圖示，通過△ABE≌△BCF（ASA）不難證得BE＝CF.

②如下圖示：可證得：BE＝CF＝CG，△CEG∽△CGB（AA），得到CG：CE＝BC：CG，從而CG^2＝BC×CE.又因BE＝CF＝CG，所以BE^2＝BC·CE（得證）.

（2）法一：添加如下圖所示的輔助線.

      由CD∥AB得△CNE∽△BAE，得到CN：AB＝CE：BE，所以CN×BE＝AB×CE＝BC×CE.又BE^2＝BC·CE（已知），所以CN×BE＝BE^2，得CN＝BE.

       另一方面：

       如下圖示，由CD∥AB得△CNG∽△MAG，得到CN：AM＝CG：GM.

反思：解法中的 “CN＝CF”的證法思路是通過兩個(gè)三角形相似，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和比例的性質(zhì)得到，是很易被忽略或遺忘的一種解法。

反思：解法中用到了“設(shè)元”——方程思想，這也是在幾何計(jì)算中常用的方法，尤其在相似或三角函數(shù)的運(yùn)用中，經(jīng)常通過比例和（或線段間“和差倍分”）關(guān)系設(shè)元。

【試題4】如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)，且不與點(diǎn)A和點(diǎn)D重合,連結(jié)CE,過點(diǎn)C作CF⊥CE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,EF交BC于點(diǎn)G.

（1）求證：△CDE≌△CBF；

（2）當(dāng)DE=1/2時(shí)，求CG的長(zhǎng)；

（3）連結(jié)AG，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形CEAG能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)DE的長(zhǎng)；若不能，說明理由.

(3)若四邊形CEAG為平行四邊形，則有：

       得到∠BFG=45°，又∠EFC=45°，所以∠BFC=∠BFG+∠EFC=90°.此時(shí)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合，點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，與題目不符.所以點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形CEAG不能為平行四邊形.