高中數(shù)學(xué)必修 5 知識點(diǎn)

第一章：解三角形

一、正弦定理和余弦定理

二、解三角形

處理三角形問題，必須結(jié)合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四類基本可解型，特別要多角度（幾何作圖，三角函數(shù)定義，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解'邊邊角'型問題可能有兩解、一解、無解的三種情況，根據(jù)已知條件判斷解的情況，并能正確求解

1、三角形中的邊角關(guān)系

（1）三角形內(nèi)角和等于 180°；

（2）三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；

（3）三角形中大邊對大角，小邊對小角；

（4）正弦定理中,a=2R·sinA, b=2R·sinB, c=2R·sinC，其中 R 是△ ABC 外接圓半徑.

2、利用正、余弦定理及三角形面積公式等解任意三角形

（1）已知兩角及一邊，求其它邊角，常選用正弦定理.

（2）已知兩邊及其中一邊的對角，求另一邊的對角，常選用正弦定理.

（3）已知三邊，求三個(gè)角，常選用余弦定理.

（4）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角，常選用余弦定理.

（5）已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個(gè)角，常選用正弦定理.

3、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

常用方法是：①化邊為角；②化角為邊.

4、三角形中的三角變換

三、解三角形的應(yīng)用

1.坡角和坡度：坡面與水平面的銳二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平寬度 l 的比叫做坡度，用 i 表示，根據(jù)定義可知：坡度是坡角的正切，即 tani .

2.俯角和仰角：

如圖所示，在同一鉛垂面內(nèi)，在目標(biāo)視線與水平線所成的夾角中，目標(biāo)視線在水平視線的上方時(shí)叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線的下方時(shí)叫做俯角.

3. 方位角

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如 B點(diǎn)的方位角為α .

注：仰角、俯角、方位角的區(qū)別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的。

4. 方向角：相對于某一正方向的水平角.

第二章：數(shù)列

一、數(shù)列的概念

1、數(shù)列的概念：

一般地，按一定次序排列成一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的一般形式

數(shù)列可看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集 （或它的子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大取值時(shí)，該函數(shù)對應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列.

2、數(shù)列的分類：

按數(shù)列中項(xiàng)的多數(shù)分為：

（1） 有窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為有限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)有限；

（2） 無窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為無限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)無限.

3、通項(xiàng)公式：

4、數(shù)列的函數(shù)特征：

一般地，一個(gè)數(shù)列{an} ，如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞增數(shù)列;

如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞減數(shù)列;

如果數(shù)列{an} 的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫做常數(shù)列.

5、遞推公式：

某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式來表示，叫做遞推公式．

二、等差數(shù)列

1、等差數(shù)列的概念：

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列久叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.

2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

3、等差中項(xiàng)：

4、等差數(shù)列的性質(zhì)：

5、等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn ：

6、等差數(shù)列前 n 和的性質(zhì)：

7、等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn 的最值問題：

設(shè)等差數(shù)列{an} 的首項(xiàng)為 a1, 公差為d ，則

三、等比數(shù)列

1、等比數(shù)列的概念：

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)不為零的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 q 表示（ q≠0? ）.

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：

設(shè)等比數(shù)列{an} 的首項(xiàng)為 a1 ，公比為q ，則通項(xiàng)公式為：

3、等比中項(xiàng)：

4、等比數(shù)列的性質(zhì)：

5、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和：

6、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和性質(zhì)：

四、遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法總結(jié)

1、遞推數(shù)列的概念：

一般地，把數(shù)列的若干連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系叫做遞推關(guān)系，把表達(dá)遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式，而把由遞推公式和初始條件給出的數(shù)列叫做遞推數(shù)列.

2、兩個(gè)恒等式：

3、遞推數(shù)列的類型以及求通項(xiàng)方法總結(jié)：

五、數(shù)列常用求和方法

1.公式法

直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平方和公式，立方和公式等公式求解.

2.分組求和法

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減.

3.裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前 n項(xiàng)和就變成了首尾少數(shù)項(xiàng)之和.

4.錯位相減法

5、常用公式：

六、數(shù)列的應(yīng)用

1、零存整取模型：

銀行有一種叫作零存整取的儲蓄業(yè)務(wù),即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利.

注：單利的計(jì)算是僅在原本金上計(jì)算利息,對本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息.其公式為:利息=本金×利率×存期.以符號 p 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,s 代表本金和利息和(即本利和),則有 s=p(1+nr).

零存整取是等差數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用.

2、定期自動轉(zhuǎn)存模型：

銀行有一種儲蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動轉(zhuǎn)存.例如,儲戶某日存入一筆 1 年期定期存款,1 年后,如果儲戶不取出本利和.則銀行自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù),第 2 年的本金就是第 1 年的本利和.

注：復(fù)利是把上期末的本利和作為下一期的本金,在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的.復(fù)利的計(jì)算公式是:s=p(1+r)n.

定期自動轉(zhuǎn)存（復(fù)利）是等比數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用.

3、分期付款模型：

分期付款要求每次付款金額相同外,各次付款的時(shí)間間隔也相同.分期付款總額要大于一次性付款總額,二者的差額與分多少次付款有關(guān),且付款的次數(shù)越少,差額越大.分期付款是等比數(shù)列的模型.

采用分期付款的方法，購買售價(jià)為 a 元的商品（或貸款 a 元），，每期付款數(shù)相同，購買后 1 個(gè)月（或1 年）付款一次，如此下去，到第 n 次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）為 b，按復(fù)利計(jì)算，那么每期付款 x 元滿足下列關(guān)系：

設(shè)第 n 次還款后，本利欠款數(shù)為 an ，則

第三章：不等式

一、不等式的解法

1、不等式的同解原理：

原理 1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得不等式與原不等式是同解不等式；

原理 2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)或同一個(gè)大于零的整式，所得不等式與原不等式是同解不等式；

原理 3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)或同一個(gè)小于零的整式，并把不等式改變方向后所得不等式與原不等式是同解不等式。

2、一元二次不等式的解法：

一元二次不等式的解集的端點(diǎn)值是對應(yīng)二次方程的根，是對應(yīng)二次函數(shù)的圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

注意：

3、一元高次不等式的解法：

解高次不等式的基本思路是通過因式分解，將它轉(zhuǎn)化成一次或二次因式的乘積的形式，然后利用數(shù)軸標(biāo)根法或列表法解之。

數(shù)軸標(biāo)根法原則：（1）'右、上'（2）'奇過，偶不過'

4、分式不等式的解法：

（1）若能判定分母（子）的符號，則可直接化為整式不等式。

（2）若不能判定分母（子）的符號，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化：

5、指數(shù)、對數(shù)不等式的解法：

6、含絕對值不等式的解法：

對于含有多個(gè)絕對值的不等式，利用絕對值的意義，脫去絕對值符號。

二、基本不等式

4、常用不等式：

三、簡單的線性規(guī)劃問題

1、二元一次不等式表示平面區(qū)域:

2、線性規(guī)劃:

求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題

3、線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：

（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量 x、y；

（2）找出線性約束條件；

（3）確定線性目標(biāo)函數(shù) z=f（x，y）；

（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；

（5）利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系 f（x，y）=t（t 為參數(shù)）；

（6）觀察圖形，找到直線 f（x，y）=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案

附：必修5思維導(dǎo)圖