產(chǎn)生這個悖論的關(guān)鍵是，人們在認同阿喀琉斯的無限追逐過程同時，卻忽略了事情的另一方面：當(dāng)這個追逐過程次數(shù)趨向無限時，每一過程所用時間卻在趨向無限小，也就是零。無限個有限值相加，不論它多小，只要大于零，它的和當(dāng)然就是無窮大。但是，無限個零相加卻還是零，所以，無限個趨于零的數(shù)相加，它的結(jié)果需要計算，并不是人們直覺中的“無窮大”。

　　問題出在哪里呢？人們在說“無限次”的時候，下意識地假設(shè)了每一次追逐的用時總會有一個數(shù)，即使它很小，也會大于零。而沒有意識到，這樣的假設(shè)必與“無限次”是矛盾的，它們不可能同時成立。這里有語言的錯覺，也有數(shù)學(xué)的錯覺。或許這正是芝諾悖論的巧妙吧。

　　寫這篇文字的時候，筆者特地到網(wǎng)上搜了一下，看見在一個知識問答網(wǎng)站中，居然有很多人以為芝諾悖論到現(xiàn)在仍未解決，其中還包括一位知名學(xué)者。他寫過一篇文章，為人們普及了芝諾悖論的知識，但他的看法卻是錯的，特別是他的文章中，有一處要人注意的“這是接近”。筆者在這里反倒要特別強調(diào)：注意，這不是接近！0.999……不是接近1，而是準確等于1，如果你說是接近，那恰恰說明對“極限”的概念還不太懂。很多仍迷惑于芝諾悖論的人，其實多因為此。至于有些人喜歡往時空連續(xù)性上扯，那是取消問題，而不是解決問題。我們非固執(zhí)于此，等于堅持認定世界上沒有真正的圓，那有意義嗎？

　　再說一個故事，或許能將問題看得更清楚一些。傳聞有一位朋友問數(shù)學(xué)家馮·諾依曼：一對年輕男女相對而行，有一條小狗和他們倆關(guān)系都很好，在他們相對而行的時候，它從一個人身邊跑向另一人，然后再往回跑，這樣一直反復(fù)，問這狗在兩人相遇時，總共會跑多遠？諾依曼想了幾秒鐘，給出了答案。那人馬上說，你真是聰明，其實只要算出兩人走的時間，再乘上狗的速度就行了。而諾伊曼卻非常不配合，他說：“我計算的就是狗跑的距離，這是一個無窮級數(shù)！”這兩種計算方式的結(jié)果當(dāng)然是相同的。誰若是在這里強調(diào)時空連續(xù)性，或者那條狗的脖子的柔韌性問題，顯然也是不恰當(dāng)?shù)摹?/p>

　　芝諾之后的古希臘天才數(shù)學(xué)家歐多克索斯，利用與芝諾悖論相同的歸謬法證明了圓面積與它的半徑的平方成正比，這被認為是微積分思想的起源，而微積分計算正是眾多現(xiàn)代科技文明——飛機、鐵路、橋梁、電力等，之所以成為可能的基礎(chǔ)。

　　（本欄長期征集“日知錄”三字篆刻，投稿郵箱：rizhilu999@163.com）