阿基里斯不能追上烏龜，這和常理相違背。如何解釋這一悖論呢？

　　有人用無(wú)窮數(shù)列求和的方法解釋，并試圖證明阿基里斯可以追上烏龜。推導(dǎo)過(guò)程看似正確，卻犯了兩個(gè)錯(cuò)誤：一是在推導(dǎo)過(guò)程中假設(shè)了結(jié)論（阿基里斯可以追上烏龜）成立，以結(jié)論作為條件推導(dǎo)結(jié)論，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤；二是假設(shè)時(shí)間是可以無(wú)限分割的，而事實(shí)上在物理世界中不存在可以無(wú)限分割的事物，時(shí)間也不可以無(wú)限分割，這種無(wú)限分割的思想僅存在于數(shù)學(xué)理論中。所以，用無(wú)窮數(shù)列求和的方法不能解釋阿基里斯追龜悖論。

　　阿基里斯追龜悖論，錯(cuò)就錯(cuò)在將時(shí)間無(wú)限分割，在將時(shí)間無(wú)限分割的情況下，阿基里斯當(dāng)然追不上烏龜，此時(shí)時(shí)間停滯，世界靜止了。但在現(xiàn)實(shí)世界中，時(shí)間是不可以無(wú)限分割的，世界也不是靜止的。人們將物理世界中的時(shí)間進(jìn)行劃分，將時(shí)間單位劃分為時(shí)、分、秒、毫秒、微秒……但不存在無(wú)限小的時(shí)間單位。

　　芝諾提出的二分法悖論和飛矢不動(dòng)悖論，同樣是犯了將物理世界中的時(shí)間概念無(wú)限分割的錯(cuò)誤。在17世紀(jì)、18世紀(jì)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)期間，阿基里斯的追龜悖論、二分法悖論和飛矢不動(dòng)悖論一起成為質(zhì)疑微積分理論中無(wú)窮小的有力論點(diǎn)。

　　雖然芝諾悖論在第二次數(shù)學(xué)危機(jī)期間被廣泛討論，但第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的原因是無(wú)窮小存在的合理性問(wèn)題。后來(lái)經(jīng)過(guò)波里扎諾、阿貝爾、柯西和戴德金等數(shù)學(xué)家的努力，逐步建立起實(shí)數(shù)體系，完善了極限理論，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)得以解決。

　　（本欄長(zhǎng)期征集“日知錄”三字篆刻，投稿郵箱：rizhilu999@163.com）