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1 引言 2 有限元位移解的下限性 利用最小位能原理求得的位移近似解所對應的彈性變形能是精確解變形能的下限，即位移近似解在總體上偏小，模型偏于剛硬。利用最小余能原理得到的應力近似解所對應的彈性余能是精確解余能的上限，即應力近似解在總體上偏大，結(jié)構(gòu)的計算模型偏于柔軟。 我們常用的結(jié)構(gòu)單元大都是位移元，以位移為未知量，基于最小位能原理建立。位移元得到的位移解具有下限性質(zhì)，在給定的載荷之下，計算模型的變形比實際要小。當單元網(wǎng)格分割得越來越細時，位移數(shù)值解將由下方收斂于精確解，即得到真實解的下界。 需要注意的是，位移數(shù)值解并不是在每個點上都小于精確解，數(shù)值解只是總體上小于精確解，更準確的說法應該是外載荷在數(shù)值解上做的功小于在精確解上做的功，即 ?TP≤uTP （1） 上式中，?和u分別為位移數(shù)值解和精確解，P為外載荷。 位移解的下界性質(zhì)從物理上非常好理解。連續(xù)體具有無限多個自由度，可以有無數(shù)種復雜的變形模式。劃分單元后，位移場用有限個結(jié)點的位移和對應的形函數(shù)來表示，即用一些簡單變形模式來逼近實際變形，如圖1所示。這就意味著連續(xù)體的變形受到了約束和限制，即剛度較實際增加了。由剛度方程可知，在外力相同的情況下，所求得的位移近似解將在總體上偏小。 圖1 用特定的形函數(shù)逼近準確解 3 應力結(jié)果的精度 使用位移有限元法進行結(jié)構(gòu)分析時，未知的場函數(shù)是結(jié)構(gòu)位移。利用最小位能原理建立的求解方程是系統(tǒng)的平衡方程，求解方程得到的是各結(jié)點的位移，但實際工程問題往往更關注結(jié)構(gòu)應力分布。 位移有限元法求解應力的基本步驟如下：
ε=Lu=Bae σ=Dε=DBae （3） 例如對于平面問題， 應變矩陣B是對插值函數(shù)求導得到的矩陣，每求導一次，插值多項式的次數(shù)就降低一次。所以通過導數(shù)運算得到的應力解的精度較位移解降低了一階。例如線性單元的應力是近似均布的，二次單元的應力是近似線性分布的，其精度都比位移解低（雖然應力分布函數(shù)還包含了一些高次項，但這些高次項都是非完全項，并不能提高應力精度）。 有限元應力解的近似性表現(xiàn)在：
只有單元尺寸無限趨近于0時，即自由度數(shù)趨近無窮時，才能精確滿足平衡方程、力邊界條件和單元交界面上的應力連續(xù)性。在單元數(shù)量有限時，這些條件只能近似滿足，除非實際應力變化的階次等于或低于所用單元的應力分布函數(shù)階次。 4 應力解的震蕩性質(zhì) 位移有限元法從力學上解釋是求位移變分所引起的應變能為極小值的問題，從數(shù)學上解釋是求解應力近似解與精確解差值的加權最小二乘問題。 與位移結(jié)果不同，位移元的應力結(jié)果并沒有下限性質(zhì)。應力結(jié)果是精確應力在加權最小二乘意義上的近似解，應力近似解必然在精確解上下震蕩；并且在某些點上，近似解恰好等于精確解，即單元內(nèi)存在最佳應力點，如圖2所示。 圖2 有限元應力解的震蕩性質(zhì) 我們在有限元強度分析中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)在應力集中部位的應力解低于精確解，所以有人誤以為位移有限元法的應力解也有下限性質(zhì)。但真正原因是單元數(shù)目有限，且應力近似解的階次低，無法正確描述應力的劇烈變化。對于高應力梯度區(qū)域，有限元解通常給出的是一個比實際平滑的結(jié)果。如果結(jié)構(gòu)上某部位的應力突然上升，該部位的應力解將低于精確解，但如果某個部位應力突然下降，該處的應力解反而會高于精確解。 位移元的應力解沒有下限性質(zhì)從物理上也容易解釋，有限元相當于在結(jié)構(gòu)內(nèi)部增加了約束，即增加了整體剛度。在外載荷相同的情況下，剛度增加能導致位移數(shù)值解偏小，但解得的應力應該在總體上保持不變，否則就無法滿足平衡方程。 5 減縮積分和完全積分單元 完全積分是指當單元具有規(guī)則形狀時，所用的高斯積分點的數(shù)目足以對單元剛度矩陣中的多項式進行精確積分。 減縮積分是指對單元剛度陣進行積分時，所用的高斯積分點數(shù)低于精確積分的要求，一般是按照下式來確定高斯積分點數(shù)， n=p-m+1 （5） 式中，n為高斯積分點數(shù)，p是插值函數(shù)中完全多項式的方次，m是微分算子L中的導數(shù)階次（對于用于彈塑性力學分析的實體單元，m=1）。 按照式（5）確定積分點數(shù)的減縮積分單元比完全積分單元在每個方向上減少了一個積分點。 對于大部分商用有限元軟件，二維實體單元中的線性與二次四邊形單元有減縮積分形式，積分點數(shù)分別為1*1和2*2。三維實體單元中的線性和二次六面體單元有減縮積分形式，積分點數(shù)分別為1*1*1和2*2*2。三角形單元、四面體單元和楔形單元一般沒有減縮積分形式。 圖3 完全積分和減縮積分單元 因為降低了剛度矩陣的積分精度，減縮積分單元看似會影響結(jié)果的準確性。但實際計算表明，采用減縮積分往往可以取得比精確積分更好的精度，主要原因如下： 1）精確積分常常是由插值函數(shù)中非完全多項式的最高方次所要求，而決定有限元精度的，通常是完全多項式的方次。這些非完全的最高方次項往往不能提高精度，反而有負面影響。采用式（5）的減縮積分方案，積分精度恰好保證完全多項式方次要求，實質(zhì)是用一種新的插值函數(shù)代替原插值函數(shù)，從而改善單元精度。 2）在最小位能原理基礎上建立的位移有限元，計算模型具有較實際結(jié)構(gòu)偏大的整體剛度。選取減縮積分方案將使有限元模型的剛度有所降低，因此可能有助于提高精度。 3）減縮積分方案對于泛函中包含罰函數(shù)的情況也常常是必須的，以保證罰函數(shù)矩陣的奇異性。例如基于相對自由度的梁單元和板殼單元，采用完全積分會出現(xiàn)剪切鎖死問題，導致出現(xiàn)完全歪曲的結(jié)果，改用減縮積分方案就可以有效解決。 4) 減縮積分因為積分點數(shù)比全積分少很多，所以大幅減少了計算量，提高了計算效率。 實際工程應用中，完全積分單元容易出現(xiàn)剪切鎖死和體積鎖死等問題，即使劃分很細的網(wǎng)格，精度依然很差，所以一般不推薦使用。 通常應選擇各種減縮積分單元或者修正單元。線性減縮積分單元只有一個中心積分點，解決了鎖死問題，但存在沙漏問題，有些情況下表現(xiàn)的過于柔軟，好在已經(jīng)發(fā)展出多種有效的沙漏控制技術，只要網(wǎng)格比較細密，就能得到較精確的位移解。二次減縮積分單元則基本上沒有沙漏與鎖死問題，能夠提供很高的計算精度，對于通常的變形和強度分析是比較好的選擇。 6 等參單元的最佳應力點 如前述，應力近似解是應力精確解在加權最小二乘意義上的近似解。如果位移近似解是p次多項式，L是m階微分算子，則應力近似解是p-m階多項式。如果應力精確解是比近似解更高一階的多項式，即p-m+1階多項式，則在p-m+1階高斯點上，應力近似解和精確解是相等的，即近似解在這些積分點上具有比本身高一階的精度。這些高斯點稱為單元的最佳應力點，又稱優(yōu)化應力點或超收斂應力點。 圖4 單元最佳應力點 上面的討論是假定了單元雅各比行列式為常數(shù)，且每個單元內(nèi)的應力近似解變分獨立。所以以上結(jié)論僅對結(jié)點等間距分布的一維單元是嚴格的，對于二維和三維單元只能是近似的。但一般情況下我們?nèi)匀荒艿玫饺缦峦普摚?/p> 在等參元中，單元的p-m+1階高斯點上的應力和應變比其他部位具有更高的精度，因此稱p-m+1階高斯點是單元的最佳應力點。對比式（5）可知，單元的最佳應力點恰好是減縮積分方案的積分點。 很多文獻認為單元積分點就是最佳應力點，這個說法并不準確。前面關于最佳應力點的討論并未涉及單元積分方案，無論是減縮積分還是完全積分單元，最佳應力點都是p-m+1階高斯點。換句話說，對于減縮積分單元，最佳應力點與其積分點恰好一致，但對于完全積分單元，最佳應力點與其積分點并不一致。比如線性減縮積分四邊形單元，最佳應力點就是中心積分點，但對于線性完全積分四邊形單元，最佳應力點仍然是中心點，與2*2個單元積分點并不一致。 既然很多情況下，單元積分點并不是最佳應力點，為什么商用有限元軟件都是計算輸出積分點應力呢？主要原因是為了節(jié)省計算量和內(nèi)存需求。 根據(jù)式（3）可知，計算單元內(nèi)任意一點的應變或者應力，需要計算集成應變矩陣B。集成單元剛度陣時，軟件已經(jīng)將各積分點位置的B矩陣計算并存儲，求得各結(jié)點位移后，直接調(diào)用內(nèi)存中的B矩陣就能算得積分點應力。但對于非積分點位置，則需要重新計算和存儲該點的B矩陣。 所以商用有限元軟件為了減少計算和內(nèi)存消耗，都是只計算積分點應力，然后再外推到單元其它位置。 7 減縮積分和完全積分單元的應力精度 減縮積分單元只要進行了有效的沙漏控制，就能得到較高精度的位移解，但在它的應力結(jié)果通常不能令人滿意，主要表現(xiàn)為在應力集中區(qū)域減縮積分單元給出的應力值低于實際值。 所以有人認為減縮積分方案的位移解精度更高，而完全積分方案的應力解精度更高，其實這個觀點并不正確。 既然應力結(jié)果是對位移結(jié)果求導得到的，要想得到高精度的應力解，當然要先保證高精度的位移解。減縮積分單元的位移解精度較高，而且應力輸出的積分點恰好是單元最佳應力點，因此其應力精度總體上是高于完全積分單元的。 但減縮積分有一個缺點是應力輸出點（即積分點）較少，無法描述單元內(nèi)應力的劇烈變化，對于應力集中部位，會給出一個過分平滑的單元應力結(jié)果。尤其是線性減縮積分單元，只有一個中心應力輸出點，外推的結(jié)果只能是整個單元的應力為常值。如圖5所示。 圖5 線性減縮積分單元的應力結(jié)果 完全積分單元在每個方向都多了一個積分點，也就是每個方向多一個應力輸出點，所以在結(jié)點位移足夠精確的前提下，完全積分單元能夠?qū)Ω邞μ荻忍峁└玫拿枋觥?/p> 比較好的方案應該是對結(jié)構(gòu)整體上用實施沙漏控制的減縮積分單元離散，對于應力集中部位則局部采用完全積分單元。需要格外注意的是，完全積分單元只能用于不承受彎曲載荷的局部，并且要采用加密的網(wǎng)格，以保證位移解精度。局部采用完全積分單元的做法并不能真正提升應力解精度，但對于我們所關注的局部高應力結(jié)果有明顯改善。 對于三維實體結(jié)構(gòu)，高應力通常發(fā)生于結(jié)構(gòu)表面，表面應力是根據(jù)單元內(nèi)部積分點應力外推得到的。即使我們的結(jié)點位移是精確解，外推得到的表面應力的精度也不會很高。為克服這個缺點，可以在實體有限元模型表面覆蓋一層同種材料的膜單元（建議厚度取0.01毫米）。膜單元根據(jù)表面結(jié)點位移來直接計算表面應力，避免了由實體內(nèi)部積分點外推造成的誤差，所以表面應力的精度將有明顯改善。有些商用有限元軟件已經(jīng)提供了類似的表面應力計算方法，無需用戶自己建立表面膜元。 8 小結(jié)
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