解題教學(xué)要舍得花時間進行策略方法的感悟、總結(jié)以及系統(tǒng)化，如此才能真正促進解題能力的提升，贏得最終的勝利。就如你花時間學(xué)開汽車，開始階段還不如騎自行車快，但是熟練之后就可以上高速公路，這時與騎自行車就不是一個層級上的較量了。我們從策略層面思考問題可以居高臨下事半功倍，做到聞一知十一通百通，這才是真正的數(shù)學(xué)，真正的學(xué)習(xí)。

3.設(shè)參列式

題中存在較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系時，我們可以設(shè)出合適的參數(shù)，再用此含參數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)數(shù)量，以方便尋找新的關(guān)系和結(jié)論。

例5.正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上一點，CE=3，DF=2，∠FEC=2∠BAE，求正方形邊長.

題中條件“∠FEC=2∠BAE”直接看不出下一步結(jié)論，我們先設(shè)∠FEC=2∠BAE=2α，則∠BEA=90°－α，再得∠AEF=180°－(90°－α)－2α=90°－α，可得結(jié)論∠AEF=∠BEA，這個結(jié)論一旦出現(xiàn)，下面的思路就容易了，構(gòu)造翻折型全等，容易在ΔCEF中根據(jù)勾股定理求得正方形邊長。

例6.如圖，正方形ABCD邊長為2，E是正方形內(nèi)一點，CE=BC，EH⊥BC于H，點P是RtΔCEH內(nèi)心，則DP的最小值為        .

本題中P是動點，我們通常先考慮P點的運動軌跡，用“動中尋定，以靜動”的方法，動點的運動軌跡是由定值（定點、定長、定線、定角等）確定的，設(shè)∠PEC=α，∠PCE=β，則∠PHE+∠HCE=2α+2β=90°，α+β=45°，所以有定角∠CPE=135°，但ΔCPE是運動的，這時條件“CE=BC”就派上用場了，可得ΔCPE與ΔCPB全等，∠CPB=∠CPE=135°，產(chǎn)生了“定邊對定角”模型，可知P點運動軌跡是BC為弦的弧，順利轉(zhuǎn)化為基本問題：點到圓的最短路徑。

本題中利用參數(shù)α、β的關(guān)系求得定角∠CPB=∠CPE=135°是關(guān)鍵的一步，可見設(shè)參列式是尋找數(shù)量關(guān)系的一般策略。

4.完形構(gòu)造

模型化是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，數(shù)學(xué)問題都是通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決的，這里可分為三個層次：

（1）組形：當(dāng)題中已經(jīng)具備完整的模型，識別相關(guān)元素并組合構(gòu)造成特定數(shù)學(xué)模型。

例7.已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，BD⊥AB，M是射線BD上一點，CN⊥CM交AB于點N，求MN的最大值。

根據(jù)條件識別圖中具備ΔACN與ΔBCM相似，從而構(gòu)成“一轉(zhuǎn)成雙”模型，尋得另一對相似ΔMCN與ΔBCA。

由于線段MN兩個端點都是動點不易確定其最小值，可轉(zhuǎn)化為求CM的最小值，即為定點到定線模型，當(dāng)CM⊥BD時最小，此時CM=3，MN=6。

（2）補形：當(dāng)題中的模型殘缺不完整時，添加補充合適的元素構(gòu)造完整的數(shù)學(xué)模型。

例8.正方形ABCD邊長為4，E、F分別是AD、BC上的點，且AE=CF，作AP⊥EF于P，求DP的最小值。

看完本題，我們應(yīng)會感覺到已知圖形太單薄，一定是需要補充點什么，由AE=CF且AE∥CF我們想到“X形”全等模型，如下圖可得AO是定線。

再由∠APO=90°形成“定線對定角”模型，知P點軌跡是圓弧，問題即為“定點到定圓”的最短路徑問題，如下圖自然易求DP的最小值。

（3）變形：當(dāng)題中的條件孤立隱蔽無聯(lián)系時，把題中關(guān)鍵元素進行運動變換從而構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型。

例9.如圖，F(xiàn)是ΔABC的中點，以AB、AC為斜邊作RtΔABD和ΔACE，∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，求證：DF=EF.

題中DF、EF所在的圖形沒有現(xiàn)成的模型，無法產(chǎn)生聯(lián)系，因而需要用變換的方式進行構(gòu)造。題中有豐富的相等關(guān)系，可以猜測判斷應(yīng)該構(gòu)造的模型是全等三角形。我們從中點條件看，常用的變換方式有：以線段端點為中心1：2縮放或以中點為中心旋轉(zhuǎn)180度，分別可構(gòu)造“A”形相似或“X”形全等。

①分別以點B、C為中心把ΔBDF和ΔCEF以1：2放大，構(gòu)造“A形”相似（即倍長BD、CE）：

同時出現(xiàn)“手拉手”模型：

②分別以點B、C為中心把ΔABC以2：1縮小，構(gòu)造“A形”相似（即取AB、AC中點）：

同時出現(xiàn)“斜邊中線”和“SAS全等”：

③以點F為中心把ΔBDF旋轉(zhuǎn)180度，構(gòu)造“X形”全等（即倍長DF）：

同時出現(xiàn)“一轉(zhuǎn)成雙”型相似和“斜邊中線”：

根據(jù)此圖還可推得∠EDF=∠BAD=∠CAE，∠DFE=2∠ABD=2∠ACE。

下圖是以點F為中心把ΔCEF旋轉(zhuǎn)180度，構(gòu)造“X形”全等（即倍長EF）：

④以點F為中心分別把ΔADF、ΔAEF以1：2放大，構(gòu)造“A形”相似（即倍長DF），同時出現(xiàn)“X形”全等和“SAS”全等：

完形構(gòu)造是解決數(shù)學(xué)題的通用策略，思考問題時要把題目條件與數(shù)學(xué)知識與模型相聯(lián)系，根據(jù)需要補充輔助元素構(gòu)造完整的數(shù)學(xué)模型，問題便可得以解決。

1.歸納應(yīng)用：從簡單情形入手，歸納一般規(guī)律以解決復(fù)雜情況，多用于解決數(shù)、式、圖的排列與計算問題。

例10.古希臘數(shù)學(xué)家把1，3，6，10，15，21，……叫做三角形數(shù)，第100個三角形數(shù)為    ，2016是第     個三角形數(shù)。

相鄰數(shù)據(jù)的差是等差數(shù)列，符合二階等差數(shù)列特征：（1）1=1；（2）3=1+2；（3）6=1+2+3 ；（4）10=1+2+3+4；……（n）1+2+3+……+n=n(n+1)/2，利用此關(guān)系式得第100個數(shù)為5050；2016是第63個數(shù)。

例11.求下列式子的結(jié)果：

原式數(shù)據(jù)太多，而且數(shù)的排列具有規(guī)律性，我們先從簡單情形進行計算歸納規(guī)律：

從而得出它的結(jié)果是三角形數(shù)，第n個式子的結(jié)果為n(n+1)/2，n=100時得結(jié)果為5050.

2.軌跡定位：問題中出現(xiàn)未知點或動點時，先確定該點的所在軌跡，再轉(zhuǎn)化為與軌跡圖形相關(guān)的問題加以解決。

例11.四邊形ABCD中，BC=6，AB=AD，∠BAD=60°，∠BDC=45°，求AC的最大值。

圖中有“BC=6，∠BDC=45°”，符合“定線對定角”模型，可判斷D點在以BC為弦所含圓周角為45°的圓弧上：

D點是主動點，A點是從動點，A點由點D繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60度所得，由“主從聯(lián)動”模型，可得點A的軌跡為弧BDC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60度所得的等弧，圓心同樣為點O繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60度而得的點E：

這樣CA的最大值轉(zhuǎn)化為“定點到定圓”的最大路徑問題，即為CE+AE的值。

換一種角度，把ΔABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度至ΔDBP，得DP=AC，同樣可轉(zhuǎn)化為定點P到定圓O的最大路徑問題?；蛑苯釉?span>ΔDOP中三邊滿足DP≤DO+OP，即可求得DP的最大值。

例12.已知拋物線y=-0.5x2+3x+8與x軸分別交于點A、B，D（3，0），E（0，5），拋物線上有一點P（異于B點）滿足ΔPDE的面積與ΔBDE相等，求P點坐標(biāo)。

由ΔPDE的面積與ΔBDE相等可知P點到DE的距離與B點到DE的距離相等，可確定P點所在直線是兩條到DE的距離為定長的平行線，利用直線與拋物線相交可求得P點坐標(biāo)。

如圖，由OM：OD=OB：OE可得OM=10/3，DN=DM=25/3，可求兩條直線解析式分別為y=-5/3x-10/3、y=-5/3x+40/3，再由解析式即可得P點坐標(biāo)。