（2018年11月21日更新）

D-H)建模方法是由Denavit和Hartenberg 提出的一種建模方法，主要用在機器人運動學(xué)上，這種方法在每個連桿上建立一個坐標(biāo)系，通過齊次坐標(biāo)變換來實現(xiàn)兩個連桿上坐標(biāo)的變換，在多連桿串聯(lián)的系統(tǒng)中，多次使用齊次坐標(biāo)變換，就可以建立首末坐標(biāo)系的關(guān)系。學(xué)習(xí)DH建模的主要知識點如下：
1、會齊次坐標(biāo)變換（這是機器人運動學(xué)的基礎(chǔ)知識）
2、知道DH建模中α，a，d，θ這四個量對應(yīng)于連桿上的那些地方。
3、對于已知的連桿機構(gòu)，會列些DH參數(shù)表。
4、會列些最終坐標(biāo)變換的等式，建立機械臂末端與基座的坐標(biāo)關(guān)系。

DH建模分原版和修正版，修正版克服了原版建模中的一些問題，比較常用，本文介紹修正版DH建模方法

預(yù)備知識：
1、齊次坐標(biāo)系
齊次坐標(biāo)系的定義可以參閱百度百科，核心就是n維向量的n+1維表示方法，比如，平面的一個點：（2，3），齊次坐標(biāo)表示為（2w，3w，w），w為非零實數(shù)，同理，對于空間中某點的坐標(biāo)（x，y，z），齊次坐標(biāo)可表示為（xw，yw，zw，w），若令w取1，就是（x，y，z，1），這就是三維坐標(biāo)的齊次坐標(biāo)表示方法（不唯一）。
齊次坐標(biāo)表示在計算機圖學(xué)和機器人學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，優(yōu)點說出來都很難懂，但在機器人學(xué)領(lǐng)域，主要優(yōu)點就是將旋轉(zhuǎn)變換和平移變換統(tǒng)一成了4×4的矩陣運算，任何一種復(fù)合變換（旋轉(zhuǎn)與平移可以同時存在），都可以表示成一個4×4的齊次變換矩陣。

2、齊次坐標(biāo)變換矩陣
若不使用齊次坐標(biāo)表示法，對于三維空間下的平移，可以在原有坐標(biāo)的基礎(chǔ)上加一個向量這么表示：Pi=Pj+Pij，下圖中，若P點在j坐標(biāo)系坐標(biāo)為（1，1，1），i到j(luò)的平移向量為（0，15，0），則P點在i坐標(biāo)系下的表示為（1，16，1），應(yīng)該很好理解吧。

若要表示旋轉(zhuǎn)，稍微復(fù)雜點，由i系轉(zhuǎn)到j(luò)系，要考慮到軸與軸之間的多個夾角，最終得到一個旋轉(zhuǎn)姿態(tài)矩陣R，表達式里看著有好多夾角余弦，其實若只繞著某個軸轉(zhuǎn)，很多值都會變得簡潔。

上面說的是不使用齊次坐標(biāo)的情況，若使用齊次坐標(biāo)，就是將旋轉(zhuǎn)與平移組合在一起，構(gòu)建一個4*4的齊次變換矩陣，齊次變換矩陣長相如下所示：

仔細看一下，就是將上面說的R和P組合在了一起，右下角填了一個1，其余地方補0，這就是齊次變換矩陣。當(dāng)看到一個44的齊次變換矩陣時，你一眼就能知道左上角的33表示旋轉(zhuǎn)，右邊一列表示平移，下面一行是固定寫法，以后再說變換時，就不再把旋轉(zhuǎn)與平移割裂開了，這一個矩陣就表示綜合的變換。

上面是預(yù)備知識，下面才是D-H建模正題。

現(xiàn)在的機械臂很多都是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)與滑動環(huán)節(jié)的鏈?zhǔn)浇M合，假設(shè)你知道機械臂各個連桿的尺寸，但各個關(guān)節(jié)都在動，你如何確定末端的位置？DH建模要解決的根本問題就是建立機械臂末端與基座位姿位姿關(guān)系的問題。

首先，需要知道DH建模里的一些基本概念，若對下述概念模棱兩可的話，后續(xù)建模的關(guān)系根本理不清，所以，請看圖一個一個認(rèn)識。

這張圖表示了任意兩個關(guān)節(jié)間的位姿關(guān)系，機械臂的外觀結(jié)構(gòu)可以多種多樣，但剖析本質(zhì)，都可以表示成這樣的一組相鄰關(guān)節(jié)。要想知道末端與基座間的位姿關(guān)系，需要先了解相鄰兩關(guān)節(jié)的關(guān)系。之后的分析，都建立在當(dāng)前的套路上。

請將當(dāng)前關(guān)節(jié)標(biāo)號定位i-1，下一個關(guān)節(jié)定位i。有些教程將當(dāng)前關(guān)節(jié)定位i，下一個是i+1，這樣后續(xù)的分析中角標(biāo)都會于此不一樣，請注意區(qū)分。
四個基本概念：
（1）連桿i-1的長度。是指圖中a（i-1）所示的距離。表示i-1關(guān)節(jié)的軸線與i關(guān)節(jié)的軸線的垂直距離。
（2）連桿i-1的扭角。是指圖中α（i-1）所示的角度?？臻g兩條直線即使不相交也存在夾角，那么，扭角α（i-1）就是關(guān)節(jié)i-1與關(guān)節(jié)i軸線的夾角。
（3） 連桿i 相對于連桿i-1的偏置di。下圖中的di就是偏置。我們來看i關(guān)節(jié)的軸線，它與前后兩個關(guān)節(jié)軸線各有一條公垂線（紅線，下一個關(guān)節(jié)雖沒畫出來），這兩條公垂線的距離就是連桿i相對連桿i-1的偏置。（請看清楚連桿i-1和連桿i的位置，藍字）。

（4） 關(guān)節(jié)角θi。連桿i相對于連桿i-1繞i軸的旋轉(zhuǎn)角度，圖中右下角的θi，其實就是上圖兩條紅色公垂線的夾角。

上述兩個圖應(yīng)該說清了兩個關(guān)節(jié)的一般位置關(guān)系，涉及的4個基本概念需要詳細看清，a（i-1） ，α（i-1） ，di ，θi 就是后續(xù)DH建模表的四個要素，每個角標(biāo)都要看清。

其次，需要知道各個坐標(biāo)系建立的原則。為每個關(guān)節(jié)建立一個與之對應(yīng)的坐標(biāo)系，才能計算它們之間的相互轉(zhuǎn)換，而各個坐標(biāo)系的建立都要遵守一定規(guī)則，才能用后面矩陣連乘的方法進行轉(zhuǎn)換。這里建立坐標(biāo)系，就是要確定7個要素，確定x，y，z所在軸線，x，y，z的方向，以及原點的位置，這幾個要素其實是有關(guān)聯(lián)的，比如，你總得用右手系來建立坐標(biāo)系吧，所以，已知其中幾條信息，有些信息就隨之確定了。

這里用標(biāo)號0表示與基座固連的坐標(biāo)系，用標(biāo)號n表示末端的坐標(biāo)系，i就是中間各個關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系標(biāo)號。

上圖簡單示意了一下各個坐標(biāo)與關(guān)節(jié)的標(biāo)號關(guān)系，但各坐標(biāo)的實際位置與姿態(tài)可沒有那么簡單，注意一下，標(biāo)號0就是指基座，有時它可能與第一個關(guān)節(jié)坐標(biāo)系相重合，但還是不能忽略它。

下面3個加粗標(biāo)題就是DH建模的主要規(guī)則：

先建立中間坐標(biāo)系{i}，后兩端坐標(biāo)系{0}、{n}

坐標(biāo)系{0}和{n}的規(guī)定
Z0軸沿關(guān)節(jié)軸1的方向，關(guān)節(jié)變
量1為零時， 坐標(biāo)系{0}與{1}重合
關(guān)節(jié)1是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)時， d0=0,
關(guān)節(jié)1是移動關(guān)節(jié)時， θ0=0
Zn軸沿關(guān)節(jié)軸n-1的方向，關(guān)節(jié)變
量n-1為零時， 坐標(biāo)系{n-1}與{n}重合
關(guān)節(jié)n-1是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)時， dn=0,
關(guān)節(jié)n-1是移動關(guān)節(jié)時， θn=0

建系的原則
1）確定Z軸：找出關(guān)節(jié)軸線及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)向采用右手定則確定Z；
2）確定原點：如果兩相鄰軸線Zi與Zi+1不相交，則公垂線與軸線i的交
點為原點，注意平行時原點的選擇應(yīng)使偏置為零；如果相交則交點
為原點，注意:如果重合則原點應(yīng)使偏置為零；
3）確定X軸：兩軸線不相交時，X與公垂線重合，指向從i到i+1；
若兩軸線相交，則X是兩軸線所成平面的法線X= － ＋Zi × Zi+1 ；
注意:如果兩軸線重合，則X軸與軸線垂直且使其他連桿參數(shù)為零；
4）按右手定則確定Y ；
5）當(dāng)?shù)谝粋€關(guān)節(jié)變量為零時，規(guī)定{0}與{1}重合，對于
末端坐標(biāo)系{n}，原點與X任選，希望坐標(biāo)系{n}使桿參數(shù)盡量為零。

來結(jié)合具體的一個模型看看：

上圖示意了一個三自由度機械臂，要對其進行DH建模，就是要建立{0}{1}{2}{3}{4}個坐標(biāo)系，其中，1、2、3對應(yīng)三個關(guān)節(jié)，0號對應(yīng)基座，4號對應(yīng)末端，對好上述原則一條一條過。
（1）找z軸。
關(guān)節(jié)軸線就是，于是圖上紅線Z123就可以標(biāo)出來了，但指向先別著急定。
（2）定原點。
每個坐標(biāo)系都需要定原點，{0}和{4}先別管，先看{1}{2}{3}號坐標(biāo)系，因為中間的約束條件多，容易確定，這里看{2}號坐標(biāo)系：z2和z3軸線不向交，公垂線與z2的交點就是{2}號坐標(biāo)系的原點，是不是和“原則”里說的一樣？（此時一不小心x2的軸線也提前定下來了，就是沿著連桿2）

再來看{1}號的原點，z1和z2平行，此時，也是找公垂線，但公垂線與兩軸相交時位置不唯一，此時要求“偏置為0”，{2}號坐標(biāo)系原點都定了，為了使{1}{2}間偏置為零，{1}的原點也是確定的，就在關(guān)節(jié)中心上（此時x1軸線也提前定了下來）。

來看{3}號坐標(biāo)系的原點。之前只確定了{3}號Z軸的位置延旋轉(zhuǎn)軸，但原點可不要想當(dāng)然就在3號關(guān)節(jié)的中心，要按照“原則”來。z2與z3有一條唯一相交的公垂線x2（如圖），z3與z4軸線重合，有無數(shù)條相交的公垂線，要讓這兩邊的公垂線距離最短，即“偏置=0”，此時只能讓{3}號坐標(biāo)系的原點定在連桿拐角處，對比一下，這個原點并不在3號關(guān)節(jié)的中心（黃色關(guān)節(jié)）。

理一下，現(xiàn)在定下來的只是z1、z2、z3的軸線位置和原點位置。

來看{0}號坐標(biāo)系，我們使用坐標(biāo)系{0}和{n}的規(guī)定，z0沿著關(guān)節(jié)1的軸線方向，所以z0與z1軸線重合，{0}號系是固定在基座的，所以原點是確定的，就在第一個關(guān)節(jié)中心，又因為1號關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，所以要看關(guān)節(jié)變量d1是否為0，顯然，d1=0（因為關(guān)節(jié)1與基座本身就是重合的，x1和x0距離為0），所以，{0}坐標(biāo)系與{1}號坐標(biāo)系完全重合，只要1號系定了，0號系就能完全確定。

來看{4}號坐標(biāo)系，4號系是固定在末端的，所以原點定在末端（此時的末端就是關(guān)節(jié)3的中心），z4軸沿著關(guān)節(jié)3的旋轉(zhuǎn)軸向，此時可以發(fā)現(xiàn)，{4}號系和{3}號系存在一個偏置，因為{3}號系的原點和{4}號系的原點距離相差一段距離（圖中的d2），也就是說，只要{3}號系定了，{4}號系就是沿著z軸偏移d2。

再來理一下，現(xiàn)在z0，z1，z2，z3，z4的軸線和原點位置都定了。

（3）現(xiàn)在安照建系的原則3來定x軸。

還是從{2}號系開始吧。z2與z3不重合，x軸沿著公垂線，由2指向3，所以x2很明確。

{1}號系也是一樣，z1與z2也不重合（平行），x軸沿著公垂線，由1指向2，所以x1也很明確。
{3}號系稍微不一樣，z3與z4重合，此時為了使其他連桿參數(shù)為0，兼顧{2}系和{3}系，x3與x2應(yīng)該重合且指向一致，若不一致，必然會引入夾角，這不是給自己找麻煩么。

理一下，此時x1，x2，x3的軸線與方向都確定了。

（4）下面該用右手定則確定y了。
有人可能會發(fā)現(xiàn)，嚴(yán)格來說，現(xiàn)在z軸的軸線確定了，可指向并沒有確定。其實這里只要按照一般習(xí)慣指定一個，其余的都會隨之確定。比如，我們從z2開始，圖畫成這樣，最好就把z2指向上吧（看著比較方便），那么，z1也就應(yīng)該上向上。再來看z3，最好讓z3指向機械臂的伸展方向（看著比較方便），因此z4的指向也確定了。此時用右手定則，y的指向是一定的，不會有歧義。

最終的坐標(biāo)系就和上圖所示的坐標(biāo)系相一致，每一步的確定都請參照建系的原則，其實中間有些環(huán)節(jié)熟練之后可以一步到位，有些中間坐標(biāo)系的位置你也可以不這樣建，比如上例{3}系{4}系其實也可以完全重合，只要你能搞清楚系與系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，但DH建模法肯定是一條比較規(guī)范的方法，可以保證你見得坐標(biāo)系別人能看懂，并且避免一些不易察覺的錯誤。

上述原則最好能記住，若記不住，建模時也得回頭反復(fù)校對，很有可能一個坐標(biāo)原點沒選對，或者某個軸方向指錯了，導(dǎo)致建立了一個錯誤的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系。

還沒完，上面只是畫了畫坐標(biāo)系，下面需要來填一張DH參數(shù)表。這是便于你后續(xù)運算用的。

這是與上例對應(yīng)的已經(jīng)填好的DH參數(shù)表，下面的目標(biāo)就是掌握如何構(gòu)造并填好這樣一張表。

表頭分5欄，這是固定寫法。需要確定之前的一些連桿參數(shù)，這些參數(shù)表征了各個坐標(biāo)系間的變換。

i從1到末端，這里末端坐標(biāo)系編號為4，所以i到4。

先填i=1這一行，i=1時，就是要去找出a0，α0，d1和θ1?；仡櫼幌?，a是指連桿長度，α是指扭角，d是指偏置，θ是指關(guān)節(jié)角。
0號基座坐標(biāo)系與1號坐標(biāo)系重合，所以a0=0，α0=0，d1=0，而關(guān)節(jié)1是可以轉(zhuǎn)動的，所以θ1是一個變量，初始轉(zhuǎn)交可以認(rèn)為是0度，所以直接寫θ1（0），表示這是一個變量，括號內(nèi)填初始狀態(tài)值。

當(dāng)i=2時，去找a1，α1，d2和θ2。a1是連桿1的長度，是圖中已知數(shù)據(jù)，α1是z1與z2的夾角，z1與z2平行，所以α1=0，d2是x1與x2的距離，x1與x2共線，所以d2=0，關(guān)節(jié)2是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，x1與x2的夾角是變量，初始夾角為0，所以記為θ2（0）。

當(dāng)i=3時，找a2，α2，d3和θ3。a2是連桿2的長度，已知。α2是z2與z3的夾角，注意是從{2}號系變到{3}號系，當(dāng)你用右手握住x2并將拇指指向與x2保持一致時，需要逆著握拳方向旋轉(zhuǎn){2}號坐標(biāo)系，才能使之與{3}號系重合，所以α2=-90°。d2=0，θ3是變量，不在重復(fù)。

當(dāng)i=4時，{3}系到{4}系只存在一個偏置，圖中已知的d2。

這樣，DH參數(shù)表就填完了，關(guān)鍵就是正確找出a，α，d，θ這四個參數(shù)在每次相鄰坐標(biāo)系變換是的值。

到此完成了一大半。

但不要忘了，最終我們是要找出首末坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，而不是僅僅畫個表。

下面的內(nèi)容涉及到機器人的位姿描述與坐標(biāo)變換，這里只展示了結(jié)論，其實每一個式子都有推導(dǎo)。
從{0}系到{4}系的齊次變換矩陣記為,它表示{4}號坐標(biāo)系相對于{0}號坐標(biāo)系的位姿，
表示{0}到{4}的矩陣變換可以分解為每一步的矩陣連乘。根據(jù)DH參數(shù)表，可以方便的寫出每一步的齊次變換矩陣(見文章結(jié)尾處11月21日補充內(nèi)容)，DH參數(shù)表的每一行對應(yīng)一個齊次變換矩陣。如下圖：

根據(jù)之前預(yù)備知識里所講到的，因為每次機器人關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)都是某個單一軸在轉(zhuǎn)動，所以很多夾角余弦值都是特殊值（0或1）。這些矩陣帶入表達式，就能得到T04，其中有些值是未知的，這些值就是要求解的關(guān)節(jié)變量，求出關(guān)節(jié)變量，也就可以實現(xiàn)機械臂的控制了。

--------------2018年11月6日更新內(nèi)容----------------------

我們用matlab機器人工具箱繪制該機械臂。
首先，按照4行DH參數(shù)表繪制，此時相當(dāng)于有4個關(guān)節(jié)，但最后一個關(guān)節(jié)角不能旋轉(zhuǎn)，假設(shè)連桿長度偏置都為20

L1=RevoluteMDH('a',0,'d',0,'alpha',0);
L2=RevoluteMDH('a',20,'d',0,'alpha',0);
L3=RevoluteMDH('a',20,'d',0,'alpha',-pi/2);
L4=RevoluteMDH('a',0,'d',20,'alpha',0);
bot = SerialLink([L1 L2 L3 L4 ], 'name', 'csdn');
bot.plot([0 0 0 0]);

繪制出的機械臂如下圖：

圖中顯示了4個關(guān)節(jié)（紅色圓柱體），但請注意，第四個不能轉(zhuǎn)，因為三關(guān)節(jié)電機是前一個圓柱體，4關(guān)節(jié)相對于3關(guān)節(jié)只是偏置。

若將3號坐標(biāo)系和4號坐標(biāo)系合并，我們也使用機器人工具箱畫一下。

L1=RevoluteMDH('a',0,'d',0,'alpha',0);
L2=RevoluteMDH('a',20,'d',0,'alpha',0);
L3=RevoluteMDH('a',20,'d',20,'alpha',-pi/2);
bot = SerialLink([L1 L2 L3] , 'name', 'csdn');
bot.plot([0 0 0 ]);

沒辦法，竟然畫成了這樣。但仔細想一想上下兩個圖應(yīng)該是一樣的。
首先，機器人工具箱畫不出彎的連桿，所以第二幅圖中，要想表達一個彎的連桿，機器人工具箱采用了它自己的畫法，可以看連桿的投影，已經(jīng)拐彎了。
其次看末端坐標(biāo)系，上下兩圖的末端坐標(biāo)系方位是一樣的，這就表明在關(guān)節(jié)角[0 0 0]的輸入下，3行DH參數(shù)表和4行DH參數(shù)表所得到的機械臂正解是一致的，你可以多試幾個輸入再次看看，因此，這兩幅圖的描述的是同一個機械臂，建3個坐標(biāo)系與建4個坐標(biāo)系是等價的。

3行DH參數(shù)模型，輸入[0 pi/2 0]

4行DH參數(shù)模型，輸入[0 pi/2 0 0]

--------------2018年11月21日更新內(nèi)容----------------------

關(guān)于如何寫出T（i-1->i）的變換矩陣。
兩種方法，第一種方法比較麻煩，就是通過本文開頭的預(yù)備知識中，找到兩個坐標(biāo)變換之間各個坐標(biāo)軸之間的夾角余弦。

第二種方法才是正常的方法:DH建模法已經(jīng)給出了

T（i-1->i）的變換通式，
變換通式中包含了DH參數(shù)，將每行DH參數(shù)帶入就能求出每一步T(i-1->i)的具體表達式。