典型題

【題目】

（2018·遵義）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2 5/3x c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2）和點(diǎn)D（4，﹣2）．點(diǎn)E是直線y=﹣1/3x 2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）如圖②，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

【答案】

解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函數(shù)解析式得：16a 20/3 c=-2，c=2，

解得：a=-2/3，c=2，即二次函數(shù)解析式為y=﹣2/3x2 5/3x 2，

聯(lián)立一次函數(shù)解析式得：y=-1/3 x 2，y=-2/3 x2 5/3 x 2，

消去y得：﹣1/3x 2=﹣2/3x2 5/3x 2，

解得：x=0或x=3，則E（3，1）；

（2）如圖①，過(guò)M作MH∥y軸，交CE于點(diǎn)H，

設(shè)M（m，﹣2/3m2 5/3m 2），則H（m，﹣1/3m 2），

∴MH=（﹣2/3m2 5/3m 2）﹣（﹣1/3m 2）=﹣2/3m2 2m，

S四邊形COEM=S△OCE S△CME=1/2×2×3 1/2MH·3=﹣m2 3m 3，

當(dāng)m=﹣b/a=3/2時(shí)，S最大=21/4，此時(shí)M坐標(biāo)為（3/2，3）；

（3）連接BF，如圖②所示，

當(dāng)﹣2/3x2 5/3x 20=0時(shí)，x1=(5 √73)/4，x2=(5-√73)/4，

∴OA=(√73-5)/4，OB=(√73 5)/4，

∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，

∴△AOC∽△FOB，

∴OA/OF=OC/OB，即((√73-5)/4)/OF=2/((√73 5)/4)，

解得：OF=3/2，

則F坐標(biāo)為（0，﹣3/2）．

【總結(jié)】

題（2）求四邊形OCME面積的最大值，本質(zhì)求三角形CME的面積最大，本題方法多樣，可以參考此前的文章。與今年白銀市的壓軸題類似。

2018年白銀市中考數(shù)學(xué)壓軸題分析

二次函數(shù)圖象中的面積問(wèn)題

坐標(biāo)系中三角形面積公式

題（3）利用圓周角定理可以得到三角形相似，本質(zhì)上就是課本刪除的“相交弦定理”。

當(dāng)然，假設(shè)圓心為N，本題根據(jù)圓心到A，B，C的距離相等，可以確定圓心N的縱坐標(biāo)，因?yàn)閳A心到C，F(xiàn)的距離相等，易得點(diǎn)F的坐標(biāo)。

還可以根據(jù)高中圓的方程，利用與y軸的交點(diǎn)x=0求出。

相對(duì)而言相交弦定理是最簡(jiǎn)潔的做法。

本題與2018年廣州中考數(shù)學(xué)壓軸題類似。

【舉一反三】

（2018·廣州）已知拋物線y=x2 mx﹣2m﹣4（m＞0）．

（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）設(shè)該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，A，B，C三點(diǎn)都在⊙P上．

①試判斷：不論m取任何正數(shù)，⊙P是否經(jīng)過(guò)y軸上某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由；

②若點(diǎn)C關(guān)于直線x=﹣m/2的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)D（0，1），連接BE，BD，DE，△BDE的周長(zhǎng)記為l，⊙P的半徑記為r，求l/r的值．