如果用一句話概括解題的指導(dǎo)原則，那就是“條件用足，模型完備，問題必解?！鳖}中每個(gè)條件都要充分發(fā)揮其作用，通過構(gòu)造完備的模型就能把條件與問題進(jìn)行充分聯(lián)結(jié)。解題就是過河，條件是此岸，問題是彼岸，模型是連接此岸與彼岸的橋梁，而造橋的材料是在此岸尋找，橋的造法也要依據(jù)彼岸的特征?？蓜e小瞧了這個(gè)原則，有時(shí)做題往往想得太久想得太遠(yuǎn)，或受思維定勢(shì)的影響，以致于偏離了方向，忘記了該從哪里出發(fā)，向哪里前進(jìn)。

例1．如圖，等邊△ABC中，AB=6，D為BC的中點(diǎn)，E為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，DE=2，將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AF，則DF的最小值為      ．

不少學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)想到構(gòu)造下面的手拉手模型，卻發(fā)現(xiàn)無(wú)法解決問題，這是咋回事呢？

這是因?yàn)橐揽拷?jīng)驗(yàn)和感覺解題具有較大的盲目性，并不能看清問題的真面目。稍加分析我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里雖然有了手拉手全等模型，但它并沒有把條件充分利用，如DE的長(zhǎng)以及要求的線段CF并沒有出現(xiàn)在模型中，以致這兩個(gè)條件沒有得到有效利用，不符合“條件用足，模型完備”的原則，所以可以推斷這種構(gòu)造方法是解決不了問題的。

本題中有的條件信息其實(shí)是打醬油的，與問題沒有直接的關(guān)系，完全可以忽略，我們?nèi)サ鬊C兩點(diǎn)看，對(duì)原問題的存在毫無(wú)影響，于是我們知道，等邊三角形ABC只是作為背景條件用來(lái)確定AD的長(zhǎng)度，其它并無(wú)用處。

好吧，我們把圖形做個(gè)瘦身，會(huì)發(fā)現(xiàn)問題是如此簡(jiǎn)單明了！

很容易想到旋轉(zhuǎn)60度構(gòu)造雙等邊手拉手模型：

易得DF≥PD－PF=3√3－2，DF最小值為3√3－2。

這一原則的核心就是：找準(zhǔn)關(guān)鍵條件，緊抓所求問題，構(gòu)造模型以使其建立聯(lián)系。從這個(gè)角度思考，我們就能得到很多構(gòu)造方法，本題的關(guān)鍵圖形是等邊△ABC、AD=3√3、DE=2、求DF，等邊△ABC為我們提供了構(gòu)造模型的方式－旋轉(zhuǎn)60度，AD、DE、DF為我們提供了構(gòu)造模型的主體－把其中任意一條線段旋轉(zhuǎn)60度?？纯?，題目條件既告訴我們?cè)鯓硬僮?，又告訴了我們把誰(shuí)進(jìn)行操作，如下另有五種構(gòu)造方式：

我們還可以再換一種模型來(lái)解決，“E為動(dòng)點(diǎn)，DE=2”這個(gè)條件告訴我們什么？E點(diǎn)軌跡是以D為圓心2為半徑的圓，F(xiàn)點(diǎn)與E點(diǎn)是主從聯(lián)動(dòng)關(guān)系，所以F點(diǎn)軌跡是把圓D旋轉(zhuǎn)60度得到的圓P，這樣DF的最小值轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)D到圓P的最短路徑，如下圖。

例2.如圖，正方形網(wǎng)格中，格點(diǎn)線段AB、CD交于點(diǎn)M，則AM：AB=      .

本題圖中點(diǎn)M的位置由AB、CD共同確定，可以建立坐標(biāo)系，利用A、B點(diǎn)確定直線AB的函數(shù)表達(dá)式，利用C、D點(diǎn)確定直線CD的函數(shù)表達(dá)式，再求交點(diǎn)M的坐標(biāo)，M點(diǎn)橫坐標(biāo)與B點(diǎn)橫坐標(biāo)的比即為AM：AB的值。

也可以構(gòu)造與AB、CD及M點(diǎn)相關(guān)的相似形解決，如下圖：

利用圖中的兩對(duì)相似三角形很容易求得AM：AB的值。但此題作為考試題出現(xiàn)時(shí)，得分率較低，就是因?yàn)閷W(xué)生還沒有明確的從條件出發(fā)構(gòu)造相關(guān)模型的意識(shí)。

1．定變分析

題中哪些是常量哪些是變量？常量如何求？變量滿足什么關(guān)系式？哪些是定點(diǎn)哪些是動(dòng)點(diǎn)？定點(diǎn)如何確定？動(dòng)點(diǎn)能確定運(yùn)動(dòng)軌跡嗎？圖形的形狀確定嗎？圖形的大小確定嗎？數(shù)量或圖形之間的依存關(guān)系是什么？

定變分析幫助我們判斷哪些量是可求的，哪些量是不可確定的，從而明確解題的下一步思路．

例3.以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作兩個(gè)直角三角形，分別為ΔAOB、ΔCOD，其中∠B＝30°，BO=2√3，E是OD上一點(diǎn)且OE=1，P是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)ΔAOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，PN的最大值為         ，最小值為        .

結(jié)合問題觀察推理，ΔCOD的形狀大小與本題要求的問題有關(guān)系嗎？顯然并沒有半毛錢關(guān)系，可以直接忽略不看，因?yàn)镻E的長(zhǎng)度只和其中的OE有關(guān)。再看ΔAOB已知兩角一邊，它的形狀大小都確定，又P點(diǎn)是AB上動(dòng)點(diǎn)，所以P點(diǎn)軌跡首先是線段AB。ΔAOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，AB是動(dòng)線段，它的運(yùn)動(dòng)軌跡也是可以確定的，顯然它旋轉(zhuǎn)一周形成的軌跡是圓環(huán)，如下圖：

注意內(nèi)圓半徑是O到AB的距離，即AB邊上的高，因ΔAOB大小確定，高OH亦可確定。

現(xiàn)在我們把那個(gè)捉摸不定的動(dòng)點(diǎn)P確定下來(lái)，P點(diǎn)可以看成是圓環(huán)內(nèi)（包含邊界）的任意一點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為E到圓環(huán)的最大最小距離，變成一個(gè)非常簡(jiǎn)單的求點(diǎn)到圓最值的基本問題：

顯然OP最大為：大圓半徑+OE=2√3+1，最小為：小圓半徑－OE=√3－1。

本題還有更簡(jiǎn)潔的思考策略，ΔAOB相對(duì)于OE旋轉(zhuǎn)了一周，若ΔAOB不動(dòng)，把線段OE旋轉(zhuǎn)一周，它們之間的關(guān)系是相同的。這里E點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心1為半徑的圓，轉(zhuǎn)化為線段到圓的路徑最值問題：

從更宏觀的角度看，這里E點(diǎn)的位置和P點(diǎn)的位置都是不確定的，但它們的軌跡是確定的，又可以看成圓到圓的路徑最值問題：

以上解法的本質(zhì)是通過尋找軌跡把不確定的點(diǎn)限定在一定范圍，并以確定的圖形把它呈現(xiàn)出來(lái)，從而轉(zhuǎn)化為已知的常用模型來(lái)解決，這體現(xiàn)了定與變的相對(duì)轉(zhuǎn)化：變量可以由確定的關(guān)系式來(lái)限定，動(dòng)點(diǎn)可以由確定的圖形來(lái)限定，定值和定點(diǎn)都可以由特定的模型而求解。

2．方程解析

笛卡爾說過，一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,一切數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,而一切代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為解方程！建立方程式求未知量的值是解決數(shù)學(xué)問題的通用策略，在坐標(biāo)系中求未知點(diǎn)坐標(biāo)也常常利用函數(shù)簡(jiǎn)析式建立方程求解．確定n個(gè)未知數(shù)的值需建立n個(gè)方程式；確定兩個(gè)圖像的公共點(diǎn)需求出兩個(gè)圖像的函數(shù)解析式．

例4．如圖， ΔABC的內(nèi)切圓與各邊相切于點(diǎn)D、E、F，∠A=60°，BD=m，CD=n，用m、n表示ΔABC的面積.

首先根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知圖中線段的相等關(guān)系：

這樣各邊中僅有AE（AF）是未知量，但我們?cè)儆蓷l件∠A=60°可以建立方程求得未知量與m、n的關(guān)系，最后便可以用m、n表示面積。用什么模型建立關(guān)系呢？這里有特殊角度，而且需要求面積，我們自然可以想到構(gòu)造相關(guān)直角三角形：

我們還可以用內(nèi)切圓半徑與三角形面積關(guān)系建立方程：