【題頭】

若一個系統(tǒng)不受外力或者所受外力之和為零時，該系統(tǒng)的動量守恒。若整個系統(tǒng)所受的外力之和不為零，而在某一個方向上所受外力之和為零，雖然該系統(tǒng)動量不守恒，但是在此方向上動量守恒。

【問題】

如圖所示，在光滑的水平桿上套著一個質(zhì)量為m的滑環(huán)，滑環(huán)上通過一根不可伸縮的輕繩懸吊著質(zhì)量為M的物體(可視為質(zhì)點)，繩長為l. 將滑環(huán)固定時，給物塊一個水平?jīng)_量，物塊擺起后剛好碰到水平桿，若滑環(huán)不固定，仍給物塊以同樣的水平?jīng)_量，求物塊擺起的最大高度。

【解析】

當滑環(huán)固定時，選取物塊為研究對象，物塊在上擺的過程中，只有重力做功，所以物塊的機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律可求得物塊的初速度v₀。

即：                                                                   (1)

當滑環(huán)不固定時，在物塊上擺的過程中，滑環(huán)也會在光滑的水平桿上水平滑動，這時繩子上的力也將對小物塊做功，單獨分析小滑塊，情況已變得復(fù)雜。若分析滑環(huán)和物塊兩個物體組成的系統(tǒng)，由于水平桿光滑，所以整個系統(tǒng)在水平方向上不受外力，而豎直方向上由于小滑塊在上擺過程中有豎直方向上的動量，所以系統(tǒng)在豎直方向上合外力不為零，即系統(tǒng)只在水平方向上動量守恒。同時整個系統(tǒng)除了物塊重力做功以外，無其他力做功，所以系統(tǒng)同時滿足機械能守恒定律。

當物塊到達最高點時，物塊無豎直方向分速度，物塊和滑環(huán)具有相同的水平速度。若取水平向左為正方向，根據(jù)系統(tǒng)水平方向動量守恒以及機械能守恒定律可得：

                                                                             (2)

                                 (3)

由式(1) (2) (3)聯(lián)立得：

所以物塊擺起的最大高度為

【拓展】

如圖所示，半徑為R、質(zhì)量為M、內(nèi)表面光滑的半球物體放在光滑的水平面上，左端緊靠著墻壁。一個質(zhì)量為m的小球從半球形物體的頂端的a點無初速釋放，圖中b點為半球的最低點，c點為半球另一側(cè)與a點等高的頂點，關(guān)于物塊M和m的運動，下列說法中正確的有

A．m從a點運動到b點的過程中，m與M系統(tǒng)的機械能守恒、動量守恒

B．m從a點運動到b點的過程中，m的機械能守恒

C．m釋放后運動到b點右側(cè)，m能到達最高點c

D．當m首次從右向左到達最低點b時，M的速度達到最大

【解析】

A、小球從a到b過程中只有重力做功，所以兩物體組成的系統(tǒng)機械能守恒，但左側(cè)墻壁對半球有彈力，所以動量不守恒，故A錯誤。

B、小球從a到b過程中，M給m的支持力時刻與m的運動速度垂直，不做功，所以在這個過程中，只有重力對m做功，所以m的機械能守恒，故B正確。

C、m釋放到達b點右側(cè)后，M將離開墻面，有水平向右的速度，此時m和M整個系統(tǒng)的水平方向上動量守恒，最終m和M將達到共同速度，由機械能守恒知，m肯定不能到達最高點c，故C錯誤。

D、選m與M組成的系統(tǒng)為研究對象，在C選項中已經(jīng)分析，在m達到右側(cè)最高點時二者具有共同的速度，之后返回的過程中，此系統(tǒng)依然滿足水平方向上動量守恒條件，當m從右向左到達最低點時，m具有向左的最大速度，這時M具有最大的向右速度，故D正確。故選BD

【品析】

上述兩類模型均符合某一方向上動量守恒，類似情況還有處于在光滑水平面的斜面體，有一小物塊在斜面體上滑動時；或者在光滑水平面上的自由小車（木板）上連接一個擺球，擺球下降或者上升過程中，此類系統(tǒng)在水平方向上均不受外力，則水平方向上系統(tǒng)動量守恒。確定了在哪一方向上動量守恒，再結(jié)合機械能守恒或能量守恒的觀點即可解決此類問題。