我們?cè)谔剿髯匀坏倪^程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多奇妙的現(xiàn)象，我們也發(fā)展了很多漂亮的理論來解釋這些現(xiàn)象。隨著發(fā)現(xiàn)越來越多，也會(huì)有越來越多的理論。這時(shí)，我們就想把這些不同的理論統(tǒng)一起來，得到一個(gè)更加全面更加深刻的理論，用它來理解更多的現(xiàn)象。物理學(xué)就是這樣在“發(fā)現(xiàn)、統(tǒng)一、再發(fā)現(xiàn)、再統(tǒng)一”的循環(huán)中，一次又一次登上人類認(rèn)知的巔峰。

每一次大統(tǒng)一，都代表一次物理革命，都給我們帶來一個(gè)新的世界觀，使我們以全新的眼光來看世界。這一新眼光就像為瞎子賦予視覺，展示了一個(gè)全新的景象。每次物理革命帶來的認(rèn)知的角度是如此之新，連我們描寫自然的語言都必須是全新的，所用的數(shù)學(xué)也都是全新的?？梢哉f，每次物理革命都給我們帶來了脫胎換骨的升華。

第一次物理學(xué)革命是牛頓的力學(xué)革命。 牛頓統(tǒng)一了兩個(gè)似乎毫不相關(guān)的自然現(xiàn)象：夜空中行星的位移和地面上蘋果的墜落。他用萬有引力和力學(xué)理論統(tǒng)一地解釋了這兩個(gè)很不同的現(xiàn)象。更重要的是，他提出了一個(gè)世界觀來理解萬物：所有物質(zhì)都是由粒子組成的，而這些粒子的運(yùn)動(dòng)滿足牛頓方程。這使得牛頓力學(xué)成為理解萬物的普適理論。當(dāng)牛頓發(fā)展他的理論時(shí)，描寫這個(gè)理論的數(shù)學(xué)語言還沒有發(fā)明。牛頓不得不又當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)家，發(fā)展了這一套數(shù)學(xué)理論——微積分。這是最高層次的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新。牛頓既做物理學(xué)家又做數(shù)學(xué)家，非常不容易。

第二次物理革命是麥克斯韋的電磁革命。它把電、磁和光這三種看起來很不相同的物理現(xiàn)象給統(tǒng)一起來了。麥克斯韋先統(tǒng)一了電和磁，發(fā)明了麥克斯韋方程。他發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程的波動(dòng)解——電磁波的波速——和當(dāng)時(shí)測的光速差不多。于是，麥克斯韋又提出電磁波就是光，把電、磁和光都統(tǒng)一了。第二次物理革命更加本質(zhì)的地方在于發(fā)現(xiàn)了一種新的物質(zhì)形態(tài)：波形態(tài)物質(zhì)。和牛頓的粒子形態(tài)物質(zhì)不同，波形態(tài)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)不是由牛頓方程來描寫，而是由麥克斯韋方程來描寫的（見《光的奧秘和空間的本源》）。

第三次革命是愛因斯坦的相對(duì)論革命。愛因斯坦指出，引力作用其實(shí)來源于時(shí)空的扭曲。在更深的層次上，相對(duì)論革命發(fā)現(xiàn)了第二種形態(tài)物質(zhì)——引力波。引力波不是別的，就是時(shí)空扭曲的波動(dòng)。引力波的運(yùn)動(dòng)也不是由牛頓方程來描寫的，而是由愛因斯坦方程描寫。

從此以后，我們認(rèn)為世界上有兩種形態(tài)的物質(zhì)：粒子形態(tài)物質(zhì)和波形態(tài)物質(zhì)。粒子形態(tài)物質(zhì)之間的各種相互作用是由各種波形態(tài)物質(zhì)所引起的。描寫波形態(tài)物質(zhì)的理論，麥克斯韋理論，愛因斯坦廣義相對(duì)論及其后來的一個(gè)推廣——楊-米爾斯理論，也需要一個(gè)新的數(shù)學(xué)語言——纖維叢理論——來描寫。纖維叢理論描寫了時(shí)空本身和時(shí)空上的場的幾何扭曲。其后，這種以幾何眼光看世界的理論就成為理論物理的主流（見《追求對(duì)稱之美：楊振寧超越他諾獎(jiǎng)的貢獻(xiàn) | 附量子糾纏新觀念 》（上、下））。

第四次物理革命應(yīng)該是量子革命。量子力學(xué)是非常非常深刻的革命，也是最具有顛覆性的物理革命。但它不是一個(gè)人搞出來的，而是一大群人的共同成果。量子革命給我們帶來了最深刻的變革，它統(tǒng)一了粒子形態(tài)物質(zhì)和波形態(tài)物質(zhì)。它告訴我們，我們世界的真實(shí)物質(zhì)只有一種形態(tài)：波粒形態(tài)。也就是說物質(zhì)的存在形式又是粒子，又是波；又不是粒子，又不是波。這篇文章我們將著重介紹這種不可思議的存在形式，介紹我們世界中的存在為什么有如此詭異的性質(zhì)。

作為一個(gè)全新的理論，量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是線性代數(shù)，把微積分、纖維叢這些幾何分析理論給扔掉了，由幾何變成了代數(shù)。所以說量子力學(xué)之后，我們開始以代數(shù)的眼光來看世界。這是一個(gè)全新的眼光，它所帶來的變革，目前還在繼續(xù)發(fā)生與深化。

物理的研究對(duì)象是世界上各種各樣的存在。牛頓力學(xué)的根基是認(rèn)為粒子是存在的基本形態(tài)。認(rèn)為其它的物質(zhì)都是由粒子組合的。粒子這一存在，可以有很多狀態(tài)。如粒子可以有不同的位置，用三個(gè)數(shù)（三個(gè)方向的坐標(biāo)）來描寫。這馬上就產(chǎn)生一個(gè)問題：這三個(gè)數(shù)是不是對(duì)一個(gè)粒子的狀態(tài)的完備描寫？是不是代表一個(gè)粒子狀態(tài)的全部信息？為了回答這個(gè)問題，我們需要問，知道了這三個(gè)數(shù)，知道了粒子的位置，是不是就能確定粒子將來的運(yùn)動(dòng)軌跡？答案是不能夠。所以描寫粒子位置的這三個(gè)數(shù)不是粒子狀態(tài)的全部信息，只代表部分信息。要完全地描寫一個(gè)粒子的狀態(tài)，我們需要六個(gè)數(shù)：三個(gè)數(shù)是位置，三個(gè)數(shù)是速度（速度在三個(gè)方向上的分量）。這六個(gè)數(shù)完全描寫了粒子的狀態(tài)，決定了粒子將來的運(yùn)動(dòng)軌跡。也就是說，如果我們知道現(xiàn)時(shí)刻（時(shí)刻t ）的粒子狀態(tài)：，我們就可以通過牛頓定律得到下一時(shí)刻（時(shí)刻）的粒子狀態(tài)：

其中是粒子所受的力。上面就是牛頓力學(xué)的基本內(nèi)涵。我們看到牛頓力學(xué)是建立在對(duì)粒子存在和對(duì)其狀態(tài)描寫的基本認(rèn)知之上，加上對(duì)狀態(tài)演化的描寫（也就是對(duì)將來的預(yù)言能力），我們就得到了一個(gè)完整的物理理論。

牛頓（左）、麥克斯韋（右）

可是上面對(duì)粒子存在的基本認(rèn)知和對(duì)其狀態(tài)的描寫，僅僅是我們頭腦中的一個(gè)想象、一個(gè)模型。通過對(duì)微小粒子（如電子）的細(xì)致精確的實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)，真實(shí)的粒子完全不像上面描寫的那樣。牛頓力學(xué)并沒有描寫我們這個(gè)世界中真實(shí)存在的粒子。

名正則言順。為了區(qū)分這些不同的概念，我們把上節(jié)所描寫的粒子叫做經(jīng)典粒子，而把我們世界中真正存在的粒子叫做量子粒子。這樣我們就可以清楚地說：經(jīng)典粒子在我們這個(gè)世界中并不存在，其純粹是我們頭腦中所想象的東西。而在我們世界中真正存在的粒子是量子粒子。       

 普朗克（左）、愛因斯坦（右）

我們對(duì)量子粒子的認(rèn)識(shí)，始于普朗克對(duì)黑體輻射，也就是高溫物體發(fā)光光譜的研究。人類對(duì)光的認(rèn)識(shí)的發(fā)展有好幾次質(zhì)的改變。這一次次對(duì)光的不同認(rèn)知反映了人類文明的發(fā)展歷史。早期牛頓提出了光的粒子說，認(rèn)為一束光就是一束粒子。到麥克斯韋電磁革命之后，大家都確信光是一種波。但普朗克發(fā)現(xiàn)，為了解釋高溫物體發(fā)光光譜，他必須假設(shè)光波的能量不是連續(xù)的。具體地說，頻率為 f 的光的能量只能是 hf 的整數(shù)倍，其中 h 就是有名的普朗克常數(shù)。這相當(dāng)于要求光波的振動(dòng)幅度只能取一些離散的值。為什么一個(gè)波的振動(dòng)幅度只能取一些特殊的離散值？這是非常不可思議的。

圖1  光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)：把兩個(gè)金屬電極密封在抽真空的玻璃管中，在兩個(gè)電極之間加一個(gè)電壓，當(dāng)光照到一個(gè)金屬電極上，被沖出的電子要克服兩個(gè)電極之間的電壓差才能走到另一個(gè)電極，從而在回路中產(chǎn)生電流。所以調(diào)節(jié)兩電極之間的電壓，就可以測出被沖出電子的最大能量。人們發(fā)現(xiàn)電子的能量和光的強(qiáng)度無關(guān)，但和光的頻率有關(guān)。這是一個(gè)非常令人吃驚的發(fā)現(xiàn)。因?yàn)楦鶕?jù)直覺應(yīng)該是光強(qiáng)越強(qiáng)被沖出來的電子能量越高。

后來愛因斯坦引入了光子的概念來解釋這一光波能量量子化的現(xiàn)象。光子不僅能解釋黑體輻射光譜，同時(shí)也解釋了新的光電效應(yīng)。所謂光電效應(yīng)就是當(dāng)光照射在金屬表面時(shí)，會(huì)從金屬中沖出電子。人們吃驚地發(fā)現(xiàn)，被沖出電子的最高能量和光的強(qiáng)度無關(guān)，只和光的頻率有關(guān)，光強(qiáng)只影響被沖出電子的數(shù)量（圖1）。當(dāng)我們把光的頻率增加 Δf 時(shí)，被沖出電子的能量也增加 hΔf。如果我們把光看作一束粒子，其每個(gè)粒子帶的能量為 hf，我們就很容易解釋觀測到的光電效應(yīng)：金屬中的電子吸收一個(gè)光子，獲得 hf 能量。光的頻率增加 Δf 時(shí)，電子獲得的能量也增加 hΔf，這正是我們觀測到的現(xiàn)象。所以光電效應(yīng)告訴我們：光是一束粒子，每個(gè)粒子的能量 E 由光的頻率決定：E=hf 。通過光和電子的散射，我們甚至還能確定這些粒子的動(dòng)量。我們發(fā)現(xiàn)粒子的動(dòng)量 p 由光的波長 λ 唯一決定：p=h/λ。有趣的是，同一個(gè)普朗克常數(shù) h，同時(shí)出現(xiàn)在能量頻率關(guān)系中和動(dòng)量波長的關(guān)系中——我們又回到了早期牛頓的光的粒子說。

光到底是粒子還是波？光的干涉效應(yīng)明確說明光是一種波。而光電效應(yīng)又明確說明光是一種粒子。所以光集波性和粒子性存于一身，正是量子粒子的特性。之所以會(huì)這樣，是因?yàn)樵谖覀冞@個(gè)世界中，“存在”這一基本概念和我們以前的想象完全不同。我們世界中的存在，其實(shí)是一種量子存在。在《返樸》文章“量子比特：一只又死又活、不死不活的薛定諤貓丨眾妙之門”中，我們?cè)敿?xì)地介紹了這一概念，及其相關(guān)的量子疊加概念。下面我們將用這一概念來仔細(xì)解釋一下什么是量子粒子。

“量子粒子”這個(gè)真實(shí)的存在有不同的狀態(tài)。那這些不同的狀態(tài)是用什么數(shù)據(jù)來描寫的呢？首先，量子粒子也有不同的位置。我們用記號(hào)來描寫粒子在位置這一個(gè)狀態(tài)。但我們世界中存在的量子粒子，還允許一種不可思議的存在狀態(tài)，這就是兩個(gè)狀態(tài)的疊加態(tài)。比如說和是一個(gè)量子粒子兩個(gè)可能的不同狀態(tài)，一個(gè)代表粒子在位置，另外一個(gè)代表粒子在位置。那么這兩個(gè)狀態(tài)的疊加態(tài) ，也一定是量子粒子的一個(gè)可能的狀態(tài)。這就是量子力學(xué)中的疊加原理。在這個(gè)疊加態(tài)中，粒子又在位置又在位置，它又不在位置又不在位置。我們的世界就是這樣一個(gè)奇奇怪怪的量子世界，這種莫名其妙的疊加狀態(tài)是真實(shí)存在的，且沒有對(duì)應(yīng)的經(jīng)典狀態(tài)，我們通常稱其為量子態(tài)（見《量子比特：一只又死又活、不死不活的薛定諤貓丨眾妙之門》）。

這類莫名其妙的量子態(tài)還有很多種，除了之外，也是一個(gè)可能的量子態(tài)，代表了一個(gè)粒子可能存在的另一個(gè)狀態(tài)。更廣義的狀態(tài)還可以是，其中 ψ₁ 和 ψ₂ 是兩個(gè)復(fù)數(shù)。

上面僅僅是講了兩個(gè)位置的疊加態(tài)。我們還可有所有不同位置的疊加態(tài)：

其中  代表對(duì)所有的位置求和。我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)量子粒子的不同的疊加態(tài)，是用不同的復(fù)函數(shù)  來描寫的。這種類型的疊加態(tài)是完備的，其代表了一個(gè)粒子所有可能的量子狀態(tài)。所以一個(gè)粒子的量子狀態(tài)，被一個(gè)復(fù)函數(shù)  來完全描寫。這種對(duì)粒子狀態(tài)的描寫，形成了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。

一個(gè)函數(shù)  描寫了一個(gè)量子粒子在空間上的分布，可這也是對(duì)一個(gè)波的描寫。我們發(fā)現(xiàn)，由于量子理論中的疊加性，對(duì)一個(gè)量子粒子狀態(tài)的描寫，相當(dāng)于對(duì)一個(gè)波的描寫。這就是有名的波粒二象性，而復(fù)函數(shù)  也被叫作波函數(shù)。我們看到，量子力學(xué)的真正革命之處，就在于其修改了“存在”這一基本概念。這也是量子力學(xué)很難理解的根本原因。量子力學(xué)的內(nèi)涵不在于量子化、離散化，而在于對(duì)“存在”的重新識(shí)知。這樣看來，量子力學(xué)這個(gè)名字，有點(diǎn)名不正言不順，沒有抓往最關(guān)鍵的內(nèi)涵。“波動(dòng)力學(xué)”或者“矩陣力學(xué)”這兩個(gè)名稱可能更準(zhǔn)確。

海森堡

根據(jù)上面的描寫，我們知道，如果波函數(shù) 只在一點(diǎn)  不為零，而在其它位置都為零，那這樣一個(gè)波函數(shù)就描寫了一個(gè)處于這個(gè)位置的粒子（圖2a）。那什么是波函數(shù)描寫速度為的粒子呢？速度為的粒子其動(dòng)量為，其中 m 是粒子的質(zhì)量。它對(duì)應(yīng)于波長為 λ=h/p 的波：（圖2b）。我們注意到這個(gè)波函數(shù)處處不為零，粒子出現(xiàn)在所有地方，位置非常不確定。這就是有名的海森堡測不準(zhǔn)關(guān)系：一個(gè)粒子速度確定了，其位置就不確定；一個(gè)粒子位置確定了，其速度就不確定。我們找不到一個(gè)波函數(shù)，它又有一個(gè)確定的位置，又有一個(gè)確定的速度。也就是說位置速度都確定的粒子根本就不存在。

測不準(zhǔn)關(guān)系是神奇的量子疊加原理的一個(gè)推論。一個(gè)有完全確定速度的粒子狀態(tài)，是所有不同位置的粒子狀態(tài)的一個(gè)疊加。一個(gè)有完全確定位置的粒子狀態(tài)，是所有不同速度的粒子狀態(tài)的一個(gè)疊加。所以速度的完全確定就導(dǎo)致了位置的完全不確定。而位置的完全確定又導(dǎo)致了速度的完全不確定。不管多么別扭，這就是我們的真實(shí)世界。

圖2：（a）一個(gè)位置完全確定的波函數(shù)。（b）一個(gè)速度完全確定的波函數(shù)。（c）一個(gè)位置有點(diǎn)兒不確定速度也有點(diǎn)兒不確定的波函數(shù)。這個(gè)波函數(shù)，描寫了我們?nèi)粘Ｕf的，同時(shí)有位置有速度的粒子。其實(shí)粒子的速度位置都有點(diǎn)不確定。速度位置都完全確定的狀態(tài)根本不存在。因?yàn)椴ê瘮?shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)函數(shù)，這里藍(lán)線是波函數(shù)的實(shí)部，紅線是波函數(shù)的虛部。

上面對(duì)一個(gè)粒子的量子描寫，好像完全是胡說——一個(gè)粒子明明可以同時(shí)有位置和速度，這不僅僅是我們?nèi)粘５慕?jīng)驗(yàn)，也是實(shí)驗(yàn)的觀察。說粒子不可以同時(shí)有位置和速度，有悖于已有的實(shí)驗(yàn)觀察。其實(shí)這里并沒有矛盾。量子力學(xué)說的是，位置速度都確定的東西不存在。但位置有點(diǎn)不確定，速度也有點(diǎn)不確定的東西，還是可以存在的。這樣一個(gè)狀態(tài)是由圖2c中的波函數(shù)所描寫的。我們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)中所謂同時(shí)有位置和速度的粒子，其實(shí)是位置和速度都有些不確定的粒子。只不過這個(gè)不確定很小，以前沒有注意到。但這個(gè)小小的不確定性徹底顛覆了經(jīng)典力學(xué)的看法。我們不能用六個(gè)數(shù)，來刻畫一個(gè)粒子的狀態(tài)，我們必須用一個(gè)波函數(shù)來刻畫一個(gè)粒子的狀態(tài)。這個(gè)變化太大了，徹底改變了我們對(duì)世界的認(rèn)知。

 圖3  單縫和雙縫實(shí)驗(yàn)展示了我們世界中真實(shí)粒子的波動(dòng)性

我們世界真實(shí)粒子的這種波動(dòng)性，可以通過雙縫實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證（圖3）：我們讓一束電子通過兩個(gè)窄縫，觀察窄縫后屏幕上電子的強(qiáng)度分布，其由波函數(shù)的絕對(duì)值平方給出。如果我們擋住一條縫，我們會(huì)觀察到一個(gè)強(qiáng)度分布，如果我們擋住另一條縫，我們會(huì)觀察到另一個(gè)強(qiáng)度分布。但如果兩個(gè)縫都打開，讓我們吃驚的是我們看到的不是上面兩個(gè)強(qiáng)度分布的和，而是一個(gè)有附加干涉條紋的強(qiáng)度分布。這和通過雙縫的水波所產(chǎn)生的干涉條紋一模一樣（圖4）。我們特別注意到，在量子世界中，兩種可能性的疊加，有時(shí)反而使可能性減少，甚至可以減少到零變成不可能。經(jīng)典粒子可能性的疊加總是概率疊加，可能性不會(huì)減少，只會(huì)增加。而量子粒子可能性的疊加是波的疊加，疊加后的可能性有時(shí)增加，有時(shí)減少，甚至有時(shí)可以變成零。

 圖4  波通過雙縫后的干涉條紋

通過對(duì)干涉條紋的仔細(xì)分析，我們發(fā)現(xiàn)電子所對(duì)應(yīng)的波的波長，是由電子的動(dòng)量 p（動(dòng)量就是質(zhì)量乘速度）來決定的：λ＝h/p，和光子的波長動(dòng)量關(guān)系一模一樣。這樣德布羅意就猜測：所有粒子都是波，所有波都是粒子，它們的波長動(dòng)量的關(guān)系都是 p=h/λ。受到光的能量頻率關(guān)系的啟發(fā)，德布羅意進(jìn)一步猜測，所有粒子所對(duì)應(yīng)的波的頻率，也都是由其能量給出的 f=h/E。

 德布羅意（左）、薛定諤（右）

波函數(shù)是對(duì)一個(gè)粒子狀態(tài)的完備描寫。也就是說知道現(xiàn)在這一時(shí)刻的波函數(shù)，我們就能知道下一時(shí)刻的波函數(shù) ：

上面也可以寫成微分方程的形式：

這就是有名的薛定諤方程，它描寫了一個(gè)粒子的態(tài)（波函數(shù)）如何隨時(shí)間變化，給出了量子力學(xué)的預(yù)言能力。這一對(duì)粒子狀態(tài)及其隨時(shí)間演化的新描寫，就是所謂的量子力學(xué)理論。這種對(duì)粒子存在的新認(rèn)知，導(dǎo)致了我們對(duì)大千世界的新認(rèn)知，進(jìn)而導(dǎo)致了一個(gè)新的量子世界觀。

一個(gè)質(zhì)量為 m 的粒子的能量和動(dòng)量，有一個(gè)確定關(guān)系 E=p²/2m。由于能量頻率關(guān)系和動(dòng)量波長關(guān)系，這就導(dǎo)致了當(dāng)我們把粒子看作是波的時(shí)候，其頻率和波長也有一個(gè)關(guān)系 f=h/2mλ²。由薛定諤方程所解出來的波，其頻率波長正好滿足這一關(guān)系。其實(shí)歷史上，薛定諤正是利用這一關(guān)系來湊出他的方程。

圖9  掃描隧穿顯微鏡，及其“看”到金屬表面的原子，以及金屬中跑動(dòng)的電子和原子干涉所形成的駐波

電子真的是波嗎？通過掃描隧穿顯微鏡（圖9第一幅），我們還真能直接“看”到電子的波。掃描隧穿顯微鏡有一個(gè)很尖的針尖，針尖頂上只有一個(gè)原子。這個(gè)針尖在金屬表面掃描，可以看到一個(gè)個(gè)原子（對(duì)應(yīng)圖9中的小尖包）。甚至可以撥動(dòng)一個(gè)個(gè)原子，組成各種圖形。

仔細(xì)的讀者可以發(fā)現(xiàn)，原子的周圍有緩緩的波形，這就是金屬中的電子波。金屬中的電子十分不安分，跑來跑去。原子周圍緩緩的波形，就是運(yùn)動(dòng)中的電子，碰到金屬表面的原子，所形成的干涉現(xiàn)象（駐波）。我們可以根據(jù)駐波的波長λ，來估算金屬中電子跑動(dòng)的速度：v=h/λm_e，其中h是普朗克常數(shù)，m_e=9 x10^-28g 是電子的質(zhì)量。從圖9中，我們可以讀出 λ＝14x10^-8cm，我們得出電子的速度為 v=5x10⁵m/s，這比空氣中的音速快了一千五百倍。

在絕對(duì)溫度零度時(shí)，一個(gè)體系中的粒子能量會(huì)被降到最低。這時(shí)我們會(huì)覺得每個(gè)粒子都應(yīng)該處于動(dòng)能最低的靜止?fàn)顟B(tài)?？晌覀儼l(fā)現(xiàn)，即使在絕對(duì)溫度零度時(shí)，金屬中的電子還會(huì)如此瘋狂的跑來跑去，不停下來休息休息——其實(shí)這來源于電子的費(fèi)米性，電子根本停不下來！以后有機(jī)會(huì)我們會(huì)來談?wù)勈裁词橇Ｗ?/span>（也就是波）的費(fèi)米性。