這個想法是這樣的：

想法非常簡單，但非常實(shí)用。

首先嚴(yán)謹(jǐn)?shù)馗爬ㄟ@個想法：每個矩陣對應(yīng)一個加權(quán)二分圖。所謂「圖」是指頂點(diǎn)（點(diǎn)）和線的集合；「二分」是指點(diǎn)有兩種不同的類型/顏色;；「加權(quán)」是指每條線都有一個數(shù)字標(biāo)記。

上圖對應(yīng)一個 3×23×2 矩陣 M。右側(cè)我畫了三個綠點(diǎn)，分別對應(yīng)矩陣 M 的三行，兩個粉點(diǎn)分別對應(yīng)矩陣 M 的兩列。如果對應(yīng)矩陣 M 中的值非零，就在綠點(diǎn)和粉點(diǎn)間畫一條線連接。

例如，在第二個綠點(diǎn)和第一個粉點(diǎn)間存在一條線，因?yàn)?M_21=4，即矩陣 M 第二行第一列的值不為 0。此外，我用非零數(shù)字標(biāo)記了這條線。而第一個綠點(diǎn)和第二個粉點(diǎn)之間沒有線連接，因?yàn)榫仃嚨牡谝恍械诙兄禐榱恪?/p>

更明確的描述如下：

任何矩陣 M 都是 n×m 個數(shù)的數(shù)組。當(dāng)然這是常識。但是這樣的數(shù)組也可以看作函數(shù) M：X×Y→R，其中 X = {x_1，...，x_n}，是一組 n 個元素組成的集合；Y = {y_1，...，y_m}，是一組 m 個元素組成的集合。實(shí)際上，如果要描述矩陣 M，那么需要描述第 ij 項(xiàng)的值。換句話說，對于每對 (i,j)，都需要給出一個實(shí)數(shù) M_ij。這就是函數(shù)的功能??！函數(shù) M：X×Y→R 關(guān)聯(lián)每對 (x_i,y_j)（如果你愿意，可以去掉字母并將其看作 (i,j)），即實(shí)數(shù) M(x_i,y_j)。所以可以將 M(x_i,y_j) 簡寫為 M_ij。

看，矩陣就是一種函數(shù)。

如前所述，我們進(jìn)一步認(rèn)為 X 的元素是綠點(diǎn)，而 Y 的元素是粉點(diǎn)。然后矩陣 M 以下圖方式與加權(quán)二分圖相對應(yīng)：圖的頂點(diǎn)有由 X 和 Y 提供的兩種不同顏色，并且每個 x_i 和 y_j 之間存在連線，連線由數(shù)字 M_ij 標(biāo)記。但是如果數(shù)值為零，那就省略這條邊。

 每個矩陣對應(yīng)一個圖。

當(dāng)我們以這種方式可視化矩陣時，神奇的事就發(fā)生了。例如...

矩陣乘法即為沿連線向前運(yùn)算。

給定兩個矩陣（圖）M：X×Y→R 和 N：Y×Z→R，我們可以通過將它們的圖拼在一起并沿著連線進(jìn)行乘法運(yùn)算：MN 的第 ij 項(xiàng)的輸入，即連接 x_i 到 z_j 的線的值，是通過將沿 x_i 到 z_j 的各個邊相乘并加和得到的。例如：

對稱矩陣對應(yīng)對稱圖。

如果一個矩陣等于它的轉(zhuǎn)置，即為對稱矩陣。這種對稱性常通過矩陣對角線映射得到。但現(xiàn)在可以從圖中觀察到對稱性。尤其對于任何矩陣 M 來說，下圖直觀地解釋了，為什么 MM^?和 M^?M 始終對稱！

若矩陣所有項(xiàng)都非零，則對應(yīng)完全二分圖。

如果一個矩陣的所有元素都不為零，那么它對應(yīng)的圖就沒有缺失的連線。這意味著 X 中的每個點(diǎn)都與 Y 的每個點(diǎn)相連。這樣的二分圖稱為完全二分圖。

N 分塊矩陣對應(yīng)獨(dú)立的 N 個圖。

具體來說，由直和得到的分塊矩陣對應(yīng)斷開的圖。將兩個矩陣做直和運(yùn)算得到更大的數(shù)組（與向量直和運(yùn)算類似），即一個帶有全零塊的大型分塊矩陣。分塊矩陣的圖通過將原矩陣的圖疊加得到。

關(guān)于矩陣和圖我們能展開更多的討論，但我想通過一個不同的角度來探討。事實(shí)證明，概率非常適合我們矩陣-圖的討論。這是通過另一個有趣的小事實(shí)來實(shí)現(xiàn)的：

例如：

這樣的概率分布圖可以讓我們更好地分析。

聯(lián)合概率

通過架構(gòu)圖中的連線，可以得到聯(lián)合概率：(x_i,y_j) 的概率是連接 x,y 兩點(diǎn)的線的標(biāo)簽。

邊緣概率

邊緣概率是通過沿矩陣的行/列求和得到的（與上圖等效）。例如，x_1 的概率 p(x_1)=p(x_1,y_1)+p(x_1,y_2)=1/8+0，這是第一行的總和。同樣，y_2 的概率是 p(y_2)=p(x_1,y_2)+p(x_2,y_2)+p(x_3,y_2)=0+1/8+1/4，是第二列的和。

圖中，x_i 的邊緣概率是以 x_i 為頂點(diǎn)的所有連線的和。類似地，y_j 的邊緣概率是以 y_j 為頂點(diǎn)的所有連線的和。

條件概率

條件概率是由聯(lián)合概率除以邊緣概率得到的。例如在 y_2 條件下 x_3 的概率 p(x_3|y_2)=p(x_3,y_2)/p(y_2)。從圖中可以看出，這是通過將 x_3 和 y_2 的連線除以所有與 y_2 相連的線之和得到的。同樣，y_i 下 x_j 的條件概率是兩點(diǎn)連線的值除以所有與 x_j 相連的線之和。

這很簡單，對吧？

這里邊的原理并不復(fù)雜，只是有時用新角度看舊想法是很有用的。

關(guān)系矩陣

本文的最后是另一個簡單而有趣的事實(shí)，即：矩陣運(yùn)算在交換環(huán)（communicative ring）上是有意義的。不僅僅是像 R 或 C 等。矩陣相乘甚至不需要負(fù)數(shù)：矩陣運(yùn)算在交換半環(huán)上是有意義的！（半環(huán)是一個沒有相反數(shù)的環(huán)。）

我認(rèn)為這很好，因?yàn)榘瑑蓚€元素 Z_2 = {0,1} 的集合通過下圖的加法和乘法形成一個半環(huán)：

為什么會這么好？因?yàn)橐粋€矩陣 M:X×Y→Z_2 相當(dāng)于一個「關(guān)系」?！戈P(guān)系」是笛卡爾積 X×Y 的子集 R 的名稱。換句話說，每個 Z_2-valued 矩陣定義了一個「關(guān)系」，每個關(guān)系又定義了一個 Z_2-valued 矩陣：當(dāng)且僅當(dāng) (x_i,y_j) 是 R 子集的元素時，M_ij=1，否則 M_ij=0。

Z_2 中的矩陣圖與上面討論的圖完全相同，只是現(xiàn)在所有連線的值都是 0 或 1。如果權(quán)重是 0，那和之前一樣，我們就不畫這條連線了。

（順便說一句，你現(xiàn)在可以問，「既然每個「關(guān)系」對應(yīng)于 Z_2 中的矩陣，那與「等價關(guān)系」相對應(yīng)的矩陣是什么樣的？」我離題了....）

通過將基礎(chǔ)（半）環(huán)從 R 改為 Z_2，我們改變了解釋權(quán)重的方式。例如，在上面的概率場景中，我們可以問，「從 x_1 到 y_1 的概率是多少？」答案由對應(yīng)邊的權(quán)重而來，在本例中為 12.5％?；蛘?，當(dāng)矩陣在 Z_2 中取值時，問題變?yōu)椋骸甘欠窨赡軓?x_1 到 y_1？」如果連線標(biāo)記為 1，則為「是」，如果標(biāo)記為 0 則為「否」。（這個想法已經(jīng)被多次解釋了）。

重要的是，「關(guān)系」的組合恰好是使用了上面的 Z_2 算法的矩陣乘法。換句話說，給定任意兩個關(guān)系 R?X×Y 和 S?Y×Z，存在一個新關(guān)系 SR?X×Z，包括所有 (x,z)，至少存在一個 y∈Y，其中 (x,y)∈R，(y,z)∈S。這種新關(guān)系正是表示 R 和 S 的矩陣乘積所指定的。

這個關(guān)于矩陣/關(guān)系的小事實(shí)絕對是我最喜歡的數(shù)學(xué)事實(shí)之一。一個原因是因?yàn)橛邢藜姆懂?，「關(guān)系」很像有限向量空間和線性映射的范疇。實(shí)際上，它更像是有限維希爾伯特空間的范疇。這意味著許多看似不相干的想法突然變得密切。這些聯(lián)系可以更加精準(zhǔn)，這是一個在范疇理論界經(jīng)常被分享的故事。

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