線段的垂直平分線與線段的兩種關(guān)系：位置關(guān)系——垂直，數(shù)量關(guān)系——平分，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可以求線段的長(zhǎng)度、角的度數(shù)等，還可以解決實(shí)際生活中的選址問題等。今天我們將介紹幾種線段垂直平分線的應(yīng)用。

應(yīng)用一：應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)

例1：如圖，△ABC中，AB、AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D、E，已知△ADE的周長(zhǎng)為12cm，求BC．

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝BD，AE＝CE，再根據(jù)AD+DE+AE＝BD+DE+CE即可得出結(jié)論．

【解答】解：∵DF、EG分別是線段AB、AC的垂直平分線，

∴AD＝BD，AE＝CE，

∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC，

∵△ADE的周長(zhǎng)為12cm，即AD+DE+AE＝12cm，

∴BC＝12cm．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．

例2：如圖，已知AB比AC長(zhǎng)3cm，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，△ACD的周長(zhǎng)是15cm，求AB和AC的長(zhǎng)．

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得CD＝BD，然后求出△ACD的周長(zhǎng)＝AB+AC，再解關(guān)于AC、AB的二元一次方程組即可．

【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線，

∴CD＝BD，

∴△ACD的周長(zhǎng)＝AC+AD+CD＝AC+BD+AD＝AC+AB，

由題意得AB-AC=3,

AB+AC=15

解得：AB=9,AC=6

∴AB和AC的長(zhǎng)分別為9cm，6cm．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，解二元一次方程組，熟記性質(zhì)并求出△ACD的周長(zhǎng)＝AC+BC是解題的關(guān)鍵．

應(yīng)用二：應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)求角的度數(shù)

例3：如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，求∠DBC

【分析】根據(jù)線段垂直平分線求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)求出∠ABC，即可得出答案．

【解答】解：∵DE垂直平分AB，

∴AD＝BD，∠AED＝90°，

∴∠A＝∠ABD，

∵∠ADE＝40°，

∴∠A＝90°﹣40°＝50°，

∴∠ABD＝∠A＝50°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝65°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能正確運(yùn)用定理求出各個(gè)角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵，難度適中．

例4：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交BC于D，連接AD．若AD將∠CAB分成兩個(gè)角，且∠CAD：∠DAB＝2：5，求∠ADC的度數(shù)．

【分析】由DE是AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線定理得到AD＝BD，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠ABD＝∠BAD，又∠CAD：∠DAB＝2：5，可設(shè)∠CAD＝2x，∠DAB＝5x，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，可得∠CAD+∠DAB+∠ABD＝90°，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出∠DAB與∠ABD的度數(shù)，又∠ADC為三角形ABD的外角，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，由∠DAB與∠ABD的度數(shù)之和即可求出∠ADC的度數(shù)．

解：∵DE是AB的垂直平分線，

∴AD＝BD，

∴∠BAD＝∠ABD，

∵∠CAD：∠DAB＝2：5，

設(shè)一份為x，即∠CAD＝2x，∠DAB＝∠ABD＝5x，

又∠C＝90°，

∴∠ABD+∠BAC＝90°，即2x+5x+5x＝90°，

解得：x＝7.5°，

∵∠ADC為△ABD的外角，

∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝5x+5x＝10x＝75°

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，要求學(xué)生借助圖形，多次利用等量代換的方法，達(dá)到解決問題的目的，同時(shí)對(duì)于比例問題，一般情況設(shè)每一份，表示出各角，利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程，進(jìn)而求出各角的度數(shù)．

應(yīng)用三：應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題

例5：某城區(qū)規(guī)劃局為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A，B，C（如圖所示） 之間建購(gòu)物商場(chǎng)，該購(gòu)物商場(chǎng)建在何處才能使這三個(gè)住宅小區(qū)的居民到該購(gòu)物商場(chǎng)距離相等？

（1）在圖中用尺規(guī)作圖確定購(gòu)物商場(chǎng)的位置（簡(jiǎn)述作法，并說明作圖依據(jù)）；

（2）證明你所確定的位置到三個(gè)住宅小區(qū)的距離相等．

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，連接BC、AC，△ABC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)就是花園的位置；

（2）利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可．

【解答】（1）解：連接AB，分別以A、B為圓心，大于AB為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)即是作AB的垂直平分線；

同理連接BC，作出BC的垂直平分線，兩條直線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是商場(chǎng)的位置；

（2）證明：如圖，

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)解決問題．

應(yīng)用四：應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)判斷兩線的位置關(guān)系

例6：如圖，OE，OF分別是△ABC中AB，AC邊的中垂線（即垂直平分線），∠OBC、∠OCB的平分線相交于點(diǎn)I，試判定OI與BC的位置關(guān)系，并給出證明．

【分析】首先連接OA，過點(diǎn)I作IM⊥OB于點(diǎn)M，過點(diǎn)I作IN⊥OC于點(diǎn)N，過點(diǎn)I作IG⊥BC于點(diǎn)G，由OE，OF分別是AB，AC邊的中垂線，可得OA＝OB＝OC，又由∠OBC，∠OCB的平分線相交于點(diǎn)I，可得點(diǎn)I在∠BOC的角平分線上，然后由三線合一，證得結(jié)論．

【解答】解：OI⊥BC．

理由：連接OA，過點(diǎn)I作IM⊥OB于點(diǎn)M，過點(diǎn)I作IN⊥OC于點(diǎn)N，過點(diǎn)I作IG⊥BC于點(diǎn)G，

∵OE，OF分別是AB，AC邊的中垂線，

∴OA＝OB，OA＝OC，

∴OB＝OC，

∵∠OBC，∠OCB的平分線相交于點(diǎn)I，

∴IM＝IG，IN＝IG，

∴IM＝IN，

∴點(diǎn)I在∠BOC的角平分線上，

∴OI⊥BC．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．