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序列相關(guān)性 異方差性表現(xiàn)于模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)。我們將討論模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)違背了互相獨(dú)立的基本假設(shè)的情況，稱(chēng)為序列相關(guān)性。序列相關(guān)性同樣表現(xiàn)于模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)。 一、序列相關(guān)性(Serial Correlation ) 對(duì)于模型 i=1,2,…,n 隨機(jī)誤差項(xiàng)互相獨(dú)立的基本假設(shè)表現(xiàn)為： i≠j，i,j=1,2,…,n 如果出現(xiàn) i≠j，i,j=1,2,…,n 即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不再是完全互相獨(dú)立，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性。由于隨機(jī)誤差項(xiàng)都服從均值為0的正態(tài)分布，所以序列相關(guān)性可以表示為： i≠j，i,j=1,2,…,n 如果僅存在 i=1,2,…,n-1 稱(chēng)為一階序列相關(guān)，或自相關(guān)。這是最常見(jiàn)的一種序列相關(guān)問(wèn)題。 二、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的序列相關(guān)性 在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，為什么會(huì)出現(xiàn)序列相關(guān)性？下面仍通過(guò)兩個(gè)例子加以說(shuō)明。 例如，我們建立一個(gè)行業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型，以產(chǎn)出量為被解釋變量，選擇資本、勞動(dòng)、技術(shù)等投入要素為解釋變量，根據(jù)樣本與母體一致性的要求，只能選擇時(shí)間序列數(shù)據(jù)作為樣本觀測(cè)值。于是有： t=1,2,…,n 在該模型中，資本、勞動(dòng)、技術(shù)之外的因素，例如政策因素等，沒(méi)有包括在解釋變量中，但它們對(duì)產(chǎn)出量是有影響的，該影響則被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。如果該項(xiàng)影響構(gòu)成隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要部分，則可能出現(xiàn)序列相關(guān)性。為什么？對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，即對(duì)于不同的年份，由于政策等因素的連續(xù)性，它們對(duì)產(chǎn)出量的影響也是有內(nèi)在聯(lián)系的。前一年是正的影響，后一年往往也是正的影響。于是在不同的樣本點(diǎn)之間，隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)了相關(guān)性，這就產(chǎn)生了序列相關(guān)性。更進(jìn)一步分析，在這個(gè)例子中，隨機(jī)誤差項(xiàng)之間表現(xiàn)為正相關(guān)。 再例如，以絕對(duì)收入假設(shè)為理論假設(shè)、以時(shí)間序列數(shù)據(jù)作樣本建立居民總消費(fèi)函數(shù)模型： t=1,2,…,n 我們知道，一般情況下居民總消費(fèi)除受總收入影響外，還受其它因素影響，例如消費(fèi)習(xí)慣等，但這些因素沒(méi)有包括在解釋變量中，它們對(duì)消費(fèi)量的影響則被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中。如果該項(xiàng)影響構(gòu)成隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要部分，也可能出現(xiàn)序列相關(guān)性。為什么？對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，即對(duì)于不同的年份，由于消費(fèi)習(xí)慣等因素的連續(xù)性，它們對(duì)消費(fèi)量的影響也是具有內(nèi)在聯(lián)系的。前一年是正的影響，后一年往往也是正的影響。于是在不同的樣本點(diǎn)之間，隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)了相關(guān)性，這就產(chǎn)生了序列相關(guān)性。更進(jìn)一步分析，在這個(gè)例子中，隨機(jī)誤差項(xiàng)之間也表現(xiàn)為正相關(guān)。 在以上例子中，隨機(jī)誤差項(xiàng)之間的相關(guān)性主要表現(xiàn)為一階序列相關(guān)。但是，連續(xù)的一階序列相關(guān)實(shí)際上構(gòu)成了多階序列相關(guān)。負(fù)相關(guān)的情況也是有的。例如建立糧食生產(chǎn)模型，如果把自然條件排除在解釋變量之外，那么由于它們的周期性變化，以及對(duì)糧食生產(chǎn)的實(shí)際影響，造成隨機(jī)誤差項(xiàng)之間出現(xiàn)負(fù)相關(guān)。 一般經(jīng)驗(yàn)告訴我們，對(duì)于采用時(shí)間序列數(shù)據(jù)作樣本的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題，由于在不同樣本點(diǎn)上解釋變量以外的其它因素在時(shí)間上的連續(xù)性，帶來(lái)它們對(duì)被解釋變量的影響的連續(xù)性，所以往往存在序列相關(guān)性。 三、序列相關(guān)性的后果 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)序列相關(guān)性，如果仍采用普通最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，會(huì)產(chǎn)生下列不良后果： ⒈ 參數(shù)估計(jì)量非有效 根據(jù)參數(shù)估計(jì)量的無(wú)偏性和有效性的證明過(guò)程，可以看出，當(dāng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型出現(xiàn)序列相關(guān)性，其普通最小二乘法參數(shù)估計(jì)量仍然具有無(wú)偏性，但不具有有效性。因?yàn)樵谟行宰C明中利用了 即同方差性和互相獨(dú)立性條件。而且，在大樣本情況下，參數(shù)估計(jì)量仍然不具有漸近有效性，這就是說(shuō)參數(shù)估計(jì)量不具有一致性。 ⒉ 變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義 在第三章中關(guān)于變量的顯著性檢驗(yàn)中，構(gòu)造了統(tǒng)計(jì)量，以及該統(tǒng)計(jì)量服從自由度為的分布。這些只有當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)具有同方差性和互相獨(dú)立性時(shí)才能成立。如果出現(xiàn)了序列相關(guān)性，檢驗(yàn)就失去意義。采用其它檢驗(yàn)也是如此。 ⒊ 模型的預(yù)測(cè)失效 由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。所以，當(dāng)模型出現(xiàn)序列相關(guān)性時(shí)，它的預(yù)測(cè)功能失效。 四、序列相關(guān)性的檢驗(yàn) 關(guān)于序列相關(guān)性的檢驗(yàn)方法，在一些計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書(shū)和文獻(xiàn)中，也可以見(jiàn)到多種。例如馮諾曼比檢驗(yàn)法、回歸檢驗(yàn)法、D.W.檢驗(yàn)等。這些檢驗(yàn)方法的共同思路是，首先采用普通最小二乘法估計(jì)模型，以求得隨機(jī)誤差項(xiàng)的“近似估計(jì)量”，用表示： 然后通過(guò)分析這些“近似估計(jì)量”之間的相關(guān)性以達(dá)到判斷隨機(jī)誤差項(xiàng)是否具有序列相關(guān)性的目的。 例如回歸檢驗(yàn)法，即是以為被解釋變量，以各種可能的相關(guān)量，諸如以、、等為解釋變量，建立各種方程： i=2,…,n i=3,…,n … 對(duì)方程進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說(shuō)明原模型存在序列相關(guān)性。具體應(yīng)用時(shí)需要反復(fù)試算?；貧w檢驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)是一旦確定了模型存在序列相關(guān)性，也就同時(shí)知道了相關(guān)的形式，而且它適用于任何類(lèi)型的序列相關(guān)性問(wèn)題的檢驗(yàn)。 馮諾曼比檢驗(yàn)法在于構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 該統(tǒng)計(jì)量被稱(chēng)為馮諾曼比，其中為的平均值。當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)（大于30），該統(tǒng)計(jì)量近似服從正態(tài)分布。計(jì)算該統(tǒng)計(jì)量的值，將它與具有正態(tài)分布的理論分布值進(jìn)行比較，如果大于臨界值，表示不存在序列相關(guān)，如果小于臨界值，表示存在序列相關(guān)。 最具有應(yīng)用價(jià)值的是D.W.檢驗(yàn)，但是它僅適用于一階自相關(guān)的檢驗(yàn)。構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量： (4.2.1) 計(jì)算該統(tǒng)計(jì)量的值，根據(jù)樣本容量和解釋變量數(shù)目查D.W.分布表，得到臨界值和，然后按照下列準(zhǔn)則考察計(jì)算得到的D.W.值，以判斷模型的自相關(guān)狀態(tài)。 若 0<D.W.< 則存在正自相關(guān) <D.W.< 不能確定 <D.W.<4－ 無(wú)自相關(guān) 4－<D.W.<4－ 不能確定 4－<D.W.<4 存在負(fù)自相關(guān) 也就是說(shuō)，當(dāng)D.W.值為2左右時(shí)，模型不存在一階自相關(guān)。 為什么可以通過(guò)D.W.值檢驗(yàn)自相關(guān)的存在呢？從直觀上看，如果模型存在正自相關(guān)，即對(duì)于相鄰的樣本點(diǎn)，都較大或較小，此時(shí)，較小，D.W.統(tǒng)計(jì)量的分子較小，D.W.值較小；如果模型存在負(fù)自相關(guān)，即對(duì)于相鄰的樣本點(diǎn)，若較大則較小，若較小則較大，此時(shí)，較大，D.W.統(tǒng)計(jì)量的分子較大，D.W.值也較大；如果模型不存在自相關(guān)，則與呈隨機(jī)關(guān)系，此時(shí)，較為適中，則D.W.統(tǒng)計(jì)量取一個(gè)適中值。從數(shù)學(xué)上也容易證明，展開(kāi)D.W.統(tǒng)計(jì)量： (4.2.2) 當(dāng)n較大時(shí)，大致相等，則(4.2.2)可以化簡(jiǎn)為： 如果存在完全一階正相關(guān)，即 如果存在完全一階負(fù)相關(guān)，即 如果完全不相關(guān)，即 從判斷準(zhǔn)則中看到，存在一個(gè)不能確定的D.W.值區(qū)域，這是這種檢驗(yàn)方法的一大缺陷。D.W.檢驗(yàn)雖然只能檢驗(yàn)一階自相關(guān)，但在實(shí)際計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中，一階自相關(guān)是出現(xiàn)最多的一類(lèi)序列相關(guān)，而且經(jīng)驗(yàn)表明，如果不存在一階自相關(guān)，一般也不存在高階序列相關(guān)。所以在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于序列相關(guān)問(wèn)題一般只進(jìn)行D.W.檢驗(yàn)。 五、廣義最小二乘法(GLS) 如果模型被檢驗(yàn)證明存在序列相關(guān)性，則需要發(fā)展新的方法估計(jì)模型，最常用的方法是廣義最小二乘法和差分法。 廣義最小二乘法，顧名思義，是最具有普遍意義的最小二乘法，普通最小二乘法和加權(quán)最小二乘法是它的特例。 對(duì)于模型 (4.2.3) 如果存在序列相關(guān)，同時(shí)存在異方差，即有 設(shè) 用左乘(4.2.3)兩邊，得到一個(gè)新的模型： (4.2.4) 即 該模型具有同方差性和隨機(jī)誤差項(xiàng)互相獨(dú)立性。因?yàn)?/p> 于是，可以用普通最小二乘法估計(jì)模型(4.2.4)，得到參數(shù)估計(jì)量為： (4.2.5) 這就是原模型(4.2.3)的廣義最小二乘估計(jì)量，是無(wú)偏的、有效的估計(jì)量。 如何得到矩陣？仍然是對(duì)原模型(4.2.3)首先采用普通最小二乘法，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量，以此構(gòu)成矩陣的估計(jì)量，即 六、差分法 差分法是一類(lèi)克服序列相關(guān)性的有效的方法，被廣泛地采用。差分法是將原模型變換為差分模型，分為一階差分法和廣義差分法。 ⒈ 一階差分法 一階差分法是將原模型 i=1,2,…,n 變換為 i=2,…,n (4.2.6) 其中 如果原模型存在完全一階正相關(guān)，即 其中不存在序列相關(guān)。那么對(duì)于差分模型(4.2.6),則滿足應(yīng)用普通最小二乘法的基本假設(shè)，用普通最小二乘法估計(jì)差分模型(4.2.6)得到的參數(shù)估計(jì)量，即為原模型參數(shù)的無(wú)偏的、有效的估計(jì)量。 實(shí)際的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中，完全一階正相關(guān)的情況并不多見(jiàn)。但人們還是經(jīng)常直接差分模型，因?yàn)榧词箤?duì)于非完全一階正相關(guān)的情況，只要存在一定程度的一階正相關(guān)，差分模型就可以有效地加以克服。當(dāng)然也可以采用下面的廣義差分法，但估計(jì)過(guò)程將變得較為復(fù)雜。 ⒉ 廣義差分法 廣義差分法可以克服所有類(lèi)型的序列相關(guān)帶來(lái)的問(wèn)題，一階差分法是它的一個(gè)特例。如果原模型存在： (4.2.7) 可以將原模型變換為； (4.2.8) 模型(4.2.8)為廣義差分模型，該模型不存在序列相關(guān)問(wèn)題。采用普通最小二乘法估計(jì)該模型得到的參數(shù)估計(jì)量，即為原模型參數(shù)的無(wú)偏的、有效的估計(jì)量。關(guān)于廣義差分法的實(shí)際應(yīng)用，讀者可參閱本章§2.10中的發(fā)電量模型。 ⒊ 隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)系數(shù)的估計(jì) 應(yīng)用廣義差分法，必須已知不同樣本點(diǎn)之間隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)。實(shí)際上，人們并不知道它們的具體數(shù)值，所以必須首先對(duì)它們進(jìn)行估計(jì)。于是發(fā)展了許多估計(jì)方法，諸如迭代法、杜賓兩步法等。其基本思路是采用普通最小二乘法估計(jì)原模型，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的“近似估計(jì)值”，然后利用該“近似估計(jì)值”求得隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)系數(shù)的估計(jì)量。不同的方法旨在力圖使得這些估計(jì)量更加逼近實(shí)際。 例如杜賓兩步法就是一種常用的方法。以采用普通最小二乘法估計(jì)原模型得到的隨機(jī)誤差項(xiàng)的“近似估計(jì)值”作為方程(4.2.7)的樣本觀測(cè)值，采用普通最小二乘法估計(jì)該方程，得到，作為隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)的第一步估計(jì)值。變換方程(4.2.8)為下列形式： (4.2.9) 即將的第一步估計(jì)值用于這一中間過(guò)程方程樣本觀測(cè)值的計(jì)算中，然后再采用普通最小二乘法估計(jì)該方程，目的不是為了得到原模型參數(shù)的估計(jì)量，而是為了得到的第二步估計(jì)值。這就是求得隨機(jī)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)估計(jì)值的“兩步法”。將第二步估計(jì)值用于方程(4.2.8)的樣本觀測(cè)值的計(jì)算中，然后再采用普通最小二乘法估計(jì)方程，得到原模型參數(shù)的估計(jì)量。 在TSP6.5計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件包中，可以采用很簡(jiǎn)單的方法實(shí)現(xiàn)廣義差分法參數(shù)估計(jì)。(4.2.8)式可以改寫(xiě)為 即 (4.2.10) 當(dāng)選擇普通最小二乘法估計(jì)參數(shù)時(shí)，如果同時(shí)選擇常數(shù)項(xiàng)、，作為解釋變量，即可眼得到(4.2.10)中參數(shù)的估計(jì)值。其中表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的階自回歸。在估計(jì)過(guò)程中自動(dòng)完成了的迭代，并顯示總迭代次數(shù)。 至于選擇幾階隨機(jī)誤差項(xiàng)的自回歸項(xiàng)作為解釋變量，主要判斷依據(jù)是D.W.統(tǒng)計(jì)量。所以，一般是先不引入自回歸項(xiàng)，采用普通最小二乘法估計(jì)參數(shù)；根據(jù)顯示的D.W.統(tǒng)計(jì)量，逐次引入，直到滿意為止。 --------------------- 作者：quant_zhang 來(lái)源：CSDN 原文：https://blog.csdn.net/QUANT_zhang/article/details/6722802 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