本文作者：劉玉穎

20世紀(jì)中葉，物理學(xué)從研究簡單的線性系統(tǒng)走向復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。復(fù)雜性科學(xué)作為一門新興的學(xué)科已經(jīng)涉足宇宙天體物理、地球科學(xué)、生命科學(xué)、人類社會等自然界出現(xiàn)的種種復(fù)雜現(xiàn)象?；煦缯摬粌H適用于大到宇宙天體，小到微觀粒子，而且適用于我們看得見、摸得著的世界，適用于與人本身同一尺度的研究對象，因而是應(yīng)用范圍更廣的理論。自20世紀(jì)60年代洛倫茲(E．N．Lorenz)首先采用計算機(jī)數(shù)值法研究氣象學(xué)的混沌(chaos)問題以來，對混沌的研究不斷深入，混沌在學(xué)科上屬于非線性動力學(xué)，是指在決定性動力學(xué)系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種對初始條件極其敏感的隨機(jī)性運(yùn)動[1]。這種對初值的極端敏感性又稱為“蝴蝶效應(yīng)”。大學(xué)基礎(chǔ)物理教學(xué)內(nèi)容不包括“混沌”的內(nèi)容，但是，如今“混沌”的研究已完全超出數(shù)學(xué)和物理學(xué)的范圍，它在自然科學(xué)中的應(yīng)用越來越廣泛，甚至應(yīng)用于許多社會學(xué)科。自然界有3種基本運(yùn)動狀態(tài)，混沌是其中之一，其余兩種是大家熟悉的，即確定性運(yùn)動狀態(tài)和隨機(jī)性運(yùn)動狀態(tài)。本文結(jié)合“相圖”這一非線性動力學(xué)最基本的方法和洛倫茲方程組，簡單地介紹混沌這一重要概念和運(yùn)動狀態(tài)，以豐富讀者對“混沌”的理解和認(rèn)識。

1 牛頓力學(xué)與決定論

在長達(dá)兩千多年的科學(xué)史詩中，最華麗的篇章是牛頓力學(xué)的降臨，他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的主體就是討論萬有引力定律，這是牛頓一生在物理學(xué)上最大的貢獻(xiàn)。通過萬有引力的發(fā)現(xiàn)，同一個規(guī)律決定了整個宇宙的運(yùn)行，后可預(yù)測未來，前可反演過去[2]。在牛頓力學(xué)中，如果已知初始條件，對于有序系統(tǒng)我們可以預(yù)測其未來的運(yùn)動狀態(tài)。牛頓力學(xué)在天文學(xué)上的處理是最成功的，科學(xué)家可以準(zhǔn)確預(yù)測宇宙飛船的著陸、行星運(yùn)行的位置、日食月食何時發(fā)生等。牛頓力學(xué)的方法導(dǎo)致17、18世紀(jì)的科學(xué)家和哲學(xué)家采用決定論觀點：認(rèn)為宇宙是一個巨大的時鐘，由初始的位置和動量可準(zhǔn)確預(yù)測宏觀物體和微觀物體的將來。類似的，在量子的微觀世界，我們可以預(yù)測電子在原子中某位置出現(xiàn)的概率以及放射性元素的半衰期。在有序系統(tǒng)中，不管是牛頓力學(xué)的宏觀世界還是微觀的量子世界，可預(yù)測性取決于初始條件[3]。

2 預(yù)測性的局限性

20世紀(jì)科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，人們看到盡管牛頓的方法可以預(yù)測簡單系統(tǒng)的長期行為和復(fù)雜系統(tǒng)的短期行為，但在一些系統(tǒng)中仍存在著理論和實際的預(yù)測局限性。例如：人們不能準(zhǔn)確預(yù)測簡單系統(tǒng)的長期行為，其實際的局限性表現(xiàn)為人們不能準(zhǔn)確確定初始條件，經(jīng)過很長的時間，初始條件的微小誤差也會引起計算結(jié)果的顯著變化[4]。另外，宇宙中的每一個物體都與其他所有物體存在相互作用。人們在分析問題時，經(jīng)常采用理想化模型，忽略非常微弱的作用力。但是，經(jīng)過一段時間，非常微小的作用力也會產(chǎn)生顯著的影響。例如太陽光的長時間累積效果會對小行星的運(yùn)動產(chǎn)生影響。

另一種預(yù)測的局限性表現(xiàn)為對初始條件的極端敏感性，初始條件的微小差異導(dǎo)致物體運(yùn)動行為結(jié)果的巨大變化，近些年科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初始條件發(fā)生極其微小的變化時，導(dǎo)致結(jié)果失去可預(yù)測性。系統(tǒng)內(nèi)對兩種可能出現(xiàn)的結(jié)果，它們之間的差異隨著時間的增大呈指數(shù)變化，具有固有的不可預(yù)知性，這樣的系統(tǒng)被稱為“混沌系統(tǒng)”(chaotic system)。

3 混沌

“混沌”一詞在中外文化中有著淵源悠久的歷史。在古希臘，它的原意是事物生成前宇宙的原始空虛狀態(tài)，在有序宇宙之前曾存在過的無序無形物質(zhì)，即首先是混沌，然后才有大地和欲念；在我國，古人想象中的世界生成前的狀態(tài)，“夫太極之初，混沌未分”。如今，“混沌”有了科學(xué)的定義，“混沌”是確定論系統(tǒng)所表現(xiàn)的隨機(jī)行為的總稱，它的根源在于系統(tǒng)內(nèi)非線性相互作用。系統(tǒng)的運(yùn)動敏感地依賴于初始條件，從而系統(tǒng)的長期行為具有不可預(yù)測性，即有“蝴蝶效應(yīng)”。

為了對非線性運(yùn)動的特征做出定性描述，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家龐加萊提出“相圖法”，相圖的描述方法是非線性力學(xué)中最基本的方法。相圖法可表述如下：將質(zhì)點的位置(或角位置)作為橫坐標(biāo)軸，將速度(或角速度)作為縱坐標(biāo)軸，橫縱坐標(biāo)軸構(gòu)成的平面為相平面。質(zhì)點的運(yùn)動狀態(tài)對應(yīng)相平面上的一個點，為相點。相點在相平面內(nèi)的運(yùn)動，稱為相圖[5]。區(qū)別于位移-時間、速度-時間曲線來描述運(yùn)動，在相圖里失去位移、速度隨時間變化的信息，但是可以得到動力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動的全局信息，給出其軌線形態(tài)類型及其穩(wěn)定性問題。相圖自19世紀(jì)龐加萊提出以來，至今有著深遠(yuǎn)的影響[1]。

對于非線性振動系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)與驅(qū)動力間不再有線性關(guān)系。例如對于單擺和倒擺，在給定能量時運(yùn)動都是確定的，但都存在不穩(wěn)定的平衡點，對應(yīng)著相圖中的(雙曲點或鞍點，圖中曲線相交的點)(圖1)。假定存在阻尼或驅(qū)動力，擺做受迫振動，圖1中雙曲點的存在，預(yù)示著混沌運(yùn)動的可能[1]。在一定的參數(shù)下，在單擺和倒擺的受迫振動中，會出現(xiàn)混沌運(yùn)動?；煦邕\(yùn)動的相軌則趨于非常復(fù)雜的吸引子，叫奇怪吸引子或混沌吸引子。

1903年法國數(shù)學(xué)家龐加萊從動力學(xué)系統(tǒng)和拓?fù)鋵W(xué)出發(fā)，指出可能存在混沌特性，從而成為世界上最先了解存在混沌可能性的人。隨后有不少數(shù)學(xué)家開始研究混沌理論?；煦缢猿蔀榇蟊娭獣缘拿~，這與美國氣象學(xué)家洛倫茲(E.N.Loreng)的工作有很大的關(guān)系；靜止的黏性流體，當(dāng)溫度不均勻時它將如何運(yùn)動？20世紀(jì)60年代洛倫茲研究的兩無限平面間流體的運(yùn)動，提出一個簡化到只有3個變量的描述大氣對流的非線性微分方程組上述方程組中不包含任何外加的隨機(jī)變量，其中，x變量與對流強(qiáng)弱有關(guān)；y變量與水平方向溫差有關(guān)；z變量與垂直方向溫差有關(guān)；σ、γ、b為3個參數(shù)，σ=10，b=-8/3，γ取值可變化。方程可具體表示為[6]

(1)

(2)

上述方程組沒有解析解，洛倫茲利用計算機(jī)計算氣候的演變情況。他用兩組差別極小的初始值(第二組采用的初值僅比第一組少最后一位有效數(shù)字)，進(jìn)行兩次重復(fù)計算，發(fā)現(xiàn)隨著計算的時間進(jìn)程的推進(jìn)，兩次計算結(jié)果的差別越來越大，最后導(dǎo)致完全沒有相似之處，洛倫茲用計算機(jī)求解這組方程算了3000步，在開始的1000 步，有點像周期解，隨后卻越來越看不出規(guī)律，在2000步以后，變?yōu)楹翢o規(guī)律的混沌。計算結(jié)果在相空間表現(xiàn)為圍繞兩個環(huán)來回轉(zhuǎn)圈。這種現(xiàn)象被后人稱為奇怪吸引子(圖2)。在洛倫茲之前，人們由于只了解平面上的運(yùn)動，對吸引子的了解僅限于平衡點、極限環(huán)等少數(shù)類型。由于洛倫茲方程的引進(jìn)，使人們看到了以前沒有見過的吸引子，所以稱為奇怪吸引子[6]。這樣的結(jié)果大大出乎人們的預(yù)料，比想象的復(fù)雜得多。這個方程也由此而出名，被稱為洛倫茲方程。

洛倫茲奇怪吸引子是最早發(fā)現(xiàn)的一類向混沌轉(zhuǎn)化的例子。這種對初始條件的靈敏現(xiàn)象被形象地稱為“蝴蝶效應(yīng)”，它來自洛倫茲的一次演講，“在巴西熱帶雨林中的一只蝴蝶扇動了一下翅膀，可能會在德克薩斯引起一場龍卷風(fēng)”。反過來理解這句話，就是蝴蝶不扇動翅膀就不會引起龍卷風(fēng)。蝴蝶扇不扇翅膀?qū)Υ髿鈱α鱽碚f顯然是一個差別極小的初始條件，但導(dǎo)致的結(jié)果卻有著巨大的差別，正所謂“差之毫厘，失之千里”。今天人們談到“蝴蝶效應(yīng)”時通常指非常微小的條件差異會產(chǎn)生巨大的影響效果。“蝴蝶效應(yīng)”，這個名詞的起源可能與下面的故事不無關(guān)系。在洛倫茲即將成為一名氣象專業(yè)學(xué)生的那年圣誕節(jié)，他的姐姐送給他一本名為《風(fēng)暴》的書，書中敘述了一位在中國的老人打了一個噴嚏，在美國紐約就引發(fā)了一場大雪。

自然界有3種基本運(yùn)動狀態(tài)，混沌是其中之一，其余兩種是確定性運(yùn)動狀態(tài)和隨機(jī)性運(yùn)動狀態(tài)。自從牛頓以來，科學(xué)界形成一種任何復(fù)雜的自然現(xiàn)象都可以用一組確定的方程來描述，物體的運(yùn)動完全包含在這組方程和初始條件中，只要知道初始條件，就可確定地預(yù)言物體的未來和追溯它的過去。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯是牛頓的崇拜者，是“決定論”思想的代表者，他曾宣稱：只要知道初始條件我就可以決定未來的一切，確定性運(yùn)動狀態(tài)的特點就是對初始條件不是很敏感的。自然界也存在著各種各樣的隨機(jī)性運(yùn)動狀態(tài)，例如骰子的滾動、氣體分子的運(yùn)動、山溪的奔流等。在山溪的奔流中，不管我們已知水面上漂浮的小物塊的初始條件多么精確，我們不能預(yù)測其運(yùn)動到下游的準(zhǔn)確位置；這種不可預(yù)測的性質(zhì)表明不存在確定的因果關(guān)系，即具有隨機(jī)性的因素。19世紀(jì)玻爾茲曼奠定了氣體動理論基礎(chǔ)，闡明了大量分子組成的體系行為的隨機(jī)性質(zhì)，顯然個別分子的行為難以預(yù)測，但大量分子組成的氣體行為在統(tǒng)計上是可以預(yù)測的。在20世紀(jì)初量子力學(xué)產(chǎn)生后，人們認(rèn)為在微觀世界里，確定論不適用，但是在宏觀力學(xué)中，確定論還是絕對正確的。混沌系統(tǒng)的特征在于初始條件的微小差別導(dǎo)致結(jié)果的巨大變化。由以上敘述可知，混沌打破了確定論和隨機(jī)論這兩套描述體系之間的鴻溝，在這兩套描述體系之間架起了一座橋梁?，F(xiàn)在人們開始認(rèn)識到在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)也可以出現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象。混沌現(xiàn)象的存在，意味著精確預(yù)測能力受到一種新的根本性限制，它徹底破除了拉普拉斯式的決定論觀念。所以人們把混沌的發(fā)現(xiàn)認(rèn)為是科學(xué)在20世紀(jì)的重大進(jìn)展[6]。

4 結(jié)語

本文結(jié)合相圖和洛倫茲方程組簡要介紹了混沌運(yùn)動特點，混沌與確定性運(yùn)動狀態(tài)隨機(jī)性運(yùn)動狀態(tài)的區(qū)別?；煦绗F(xiàn)象的隨機(jī)性不是來源于系統(tǒng)中包含大量分子的那種隨機(jī)性，而是來源于非線性系統(tǒng)中微小差異的增長量是按指數(shù)增加的方式進(jìn)行的，從而具有對初始值敏感的行為?；煦缪芯勘砻?，現(xiàn)實世界更多的是一個有序與無序相伴、確定性與隨機(jī)性統(tǒng)一、簡單與復(fù)雜一致的世界。由于混沌的發(fā)現(xiàn)，使人類對客觀規(guī)律認(rèn)識有了一個飛躍。新的觀念正在把科學(xué)家的熱情引導(dǎo)到探索復(fù)雜的非線性領(lǐng)域，大大豐富了人們對于事物演化的認(rèn)識?；煦绗F(xiàn)象研究建立起來的新概念正在進(jìn)入物理學(xué)、天文學(xué)、生物、地學(xué)、醫(yī)學(xué)等自然科學(xué)和一些社會科學(xué)的領(lǐng)域。目前生命科學(xué)和醫(yī)學(xué)中已經(jīng)有很多方面應(yīng)用混沌理論進(jìn)行研究，例如，生態(tài)學(xué)中的混沌、神經(jīng)系統(tǒng)中的混沌、心臟節(jié)律的混沌、腦電信號混沌控制、激光誘導(dǎo)的DNA分子混沌態(tài)的量子模型簡介、蛋白質(zhì)的混沌態(tài)等?；煦缋碚搼?yīng)用發(fā)展最快的領(lǐng)域還應(yīng)屬生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域[8]。

有趣的是，混沌不是毫無預(yù)測的，在混沌系統(tǒng)中，也具有規(guī)律性的模式。也就是說，混沌不是純粹的無序，而是不具備周期性變化和其他明顯對稱特征的有序態(tài)[8]；在混沌中具有有序性?？茖W(xué)家們已經(jīng)能夠從數(shù)學(xué)上處理混沌系統(tǒng)并且發(fā)現(xiàn)其有序的部分?；煦绗F(xiàn)象和許多物理現(xiàn)象一樣，既存在有害的一面又存在有利的一面。所以如何避免混沌的弊端而利用它有益的一面，需要進(jìn)一步研究混沌理論，從而達(dá)到控制混沌的目的。總之，混沌為我們展示了廣闊的應(yīng)用前景。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 趙凱華,羅蔚因. 力學(xué)[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社，2005: 276-277.

[2] 金曉峰. 詩情畫意的物理學(xué)[J].物理，2016，45(8)：540-542.

JIN X F. Poetic physics[J]. Physics， 2016， 45(8)：540-542. (in Chinese)

[3] PAUL G, HEWITT. Conceptual physics[M]. Tenth edition. Pearson International Edition. United States of America, 2006: 614.

[4] RUTH W, CHABAY, BRUCE A. Sherwood. Matter and interactions[M]. Volume 1, Modern Mechanics. Fourth edition. United States of America. 2015: 119-120.

[5] 毛駿健,顧牡. 大學(xué)物理學(xué)[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社，2008: 131-134.

[6] 武際可.近六十年力學(xué)發(fā)展的回顧[J].現(xiàn)代物理知識,2017，29(5)：24-30.

WU J K. Review of mechanical development in recent sixty years[J]. Modern Physics, 2017, 29(5)： 24-30. (in Chinese)

[7] Https://image.baidu.com/search.

[8] 申兵輝.大學(xué)物理學(xué)(下冊)[M]. 北京:清華大學(xué)出版社，2017: 141-142.