張乃中初等工作室（znzms100）致力于培養(yǎng)廣大中小學生對學習數學的興趣，開啟學習數學的心智；感受數學的嚴密和完美，享受探究數學的奧秘之樂趣。根據中小學生的不同狀況量身定制不同的培優(yōu)計劃和學習內容，提高學生數學成績于無形。

中國語言文字博大精深，近兩年來，國家對中文高度重視，對國學精華思想的學習教育加大力度，對語言文字的考核提高要求，比如高考語文占分由150分提高到200分；增加對文言文閱讀理解的內容；另外，在數學的出題上也將加入更多的中文閱讀理解的元素，所以“探究題”估計在以后的壓軸題里面出現的頻次會增加，但是學生們往往最怕的就是文字多的習題，因為缺少耐心去閱讀、理解。

【例】定義：在等腰三角形中，若有一條邊是另一條邊的2倍，則稱這個三角形為倍腰三角形。

理解定義：若有一個倍腰三角形，有一條邊為2，求這個倍腰三角形的周長；

性質探究：判斷下列關于倍腰三角形的說法是否正確：

（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形（     ）；

（2）若倍腰三角形的底角為α，則tanα= （       ）；

（3）如圖1，依次連接倍腰三角形ABC中點，則圖1中共有4個倍腰三角形（      ）；

性質應用：如圖2，倍腰三角形△ABC是⊙O的內接三角形，且AB=AC，若⊙O的半徑為1，求倍腰△ABC的面積；

拓展應用：如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，直徑BH⊥AF于點D，AF與BC相交于點E，AC與BH相交于點G，△ABE為倍腰三角形，其中AB=AE，BE=2，請直接寫出CG的長。

【解析】首先，我們必須搞清楚“倍腰三角形”是什么意思，前提是“等腰三角形”，然后是“有一條邊是另一條邊的2倍”。

設等腰三角形的三條邊為a，a，b，如果b=2a，

∵b＜a+a，∴b≠2a；∴a=2b；

【注】所謂“倍腰三角形”，就是腰長為底邊邊長2倍的等腰三角形。

理解定義：①若底邊邊長為2，則腰長為4，這時此倍腰三角形的周長為10；

②若腰長為2，則底邊邊長為1，這時此倍腰三角形的周長為5.

綜上所述，該倍腰三角形的周長為10或5；

性質探究：（1）如圖1-1，△ABC為倍腰三角形，AB=AC=2BC，過點A作AD⊥BC于點D，由等腰三角形的“三線合一”可知，點D為BC中點，故BC=2BD，所以AB=4BD，這樣cos∠B=1/4，因為0o＜∠B＜90o，所以∠B是定值（∠B=arccos1/4），這樣所有的倍腰三角形對應角均相等，即所有的倍腰三角形都是相似三角形，故（1）正確；

（2）如圖1-1，設∠B=α，BD=x，則AB=4x，根據“勾股定理”：

故（2）正確；

（3）錯誤。有四小一大共5個倍腰三角形。

性質應用：如圖2-1，設BD為x，因為△ABC為倍腰三角形，故

在△OBD中，根據“勾股定理”：

（3）如圖3-1，連接BF、HC，過點G作GK⊥BC于點K。

∵BH為⊙O的直徑，且BH⊥AF，根據“垂徑定理”，BH垂直平分AF，

∴BA=BF，∴∠BAF=∠BFA=∠BCA；

又∵∠ABE=∠CBA，∴△ABE∽△CBA，

∴AB=AE=2BE=4，CB=CA=2AB=8；

∵tan∠BED=,∴DE ∶DB ∶BE=1∶∶4，

∴DE=1/2；

∵HB為⊙O直徑，∴∠BCH=90o，又∵∠BDE=90o，

∴∠BDE=∠BHC，∴HC∶BC∶HB=1∶∶4，

∵BC=8，

由“相交弦定理”：AE·EF=BE·EC，4·EF=2·（8-2），得：EF=3；

∴DF=7/2，cos∠F=7/8，cos∠GKC=7/8，

設CG=8y，則GK=y，CK=7y，BK=8-7y，

∵GK∥HC，∴BK∶BC=GK∶HC，即：

【注】由倍腰三角形的定義和解析過程，還可以知道一些倍腰三角形一些性質：

（1）與倍腰三角形相似的三角形也是倍腰三角形；

（2）倍腰三角形腰上的高是的底邊邊長的倍，底邊上的高是的底邊邊長的倍；腰上的高是底邊上的高的2倍；

（3）倍腰三角形面積為底邊邊長平方的；或是腰長平方的；

（4）倍腰三角形底角的余弦值為1/4。