我曾經(jīng)在《市盈率和分紅率如何影響投資收益率》一文中做了個模型，推導(dǎo)了分紅再投資的收益率，總結(jié)出了公式，但當(dāng)時沒給計算過程。

今天特地把推導(dǎo)的步驟還原，然后解讀下公式的含義。順便引用下兩個銀行股的案例。以及算一算最佳分紅率。

（一）模型假設(shè)

眾所周知，股價=PE*EPS=PE*每股凈資產(chǎn)*ROE。（如果不知道PE、EPS、ROE是什么的，就自己先去補一下基礎(chǔ)知識吧……）

我們在計算投資收益率時，先不考慮市場估值的波動情況，也就是假設(shè)PE不變；為簡化模型，也暫不考慮公司經(jīng)營的變化，也就是假定ROE不變。（無需多講，如果PE提升，或者ROE提升，對股價影響顯然是正向的。）

另外我們也不考慮送股、轉(zhuǎn)股那些花哨的不增加價值的操作。

（二）基本思路

第一年持股市值=股價1*持股數(shù)1=PE*每股凈資產(chǎn)1*ROE*持股數(shù)1

第二年持股市值=股價2*持股數(shù)2=PE*每股凈資產(chǎn)2*ROE*持股數(shù)2

于是我們得出：

投資收益率=（股價2*持股數(shù)2）/（股價1*持股數(shù)1）-1

=（每股凈資產(chǎn)2*持股數(shù)2）/（每股凈資產(chǎn)1*持股數(shù)1）-1

稍微變換下順序：

投資收益率=（每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1）*（持股數(shù)2/持股數(shù)1）-1

也就是說，在PE和ROE不變的情況下，股票投資收益率就來源于兩塊：一是公司凈資產(chǎn)增長，二是你的持股數(shù)增加。

（三）關(guān)于凈資產(chǎn)增長

先來算公司的凈資產(chǎn)增長：

第二年的每股凈資產(chǎn)，相比第一年的變化，簡單說主要有兩部分，一是通過經(jīng)營產(chǎn)生的利潤流入，二是將利潤分紅導(dǎo)致的流出。

所以，每股凈資產(chǎn)2=每股凈資產(chǎn)1*（1+ROE）-每股凈資產(chǎn)1*ROE*分紅率

也就是說：每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1=1+ROE-ROE*分紅率

整理一下我們得到投資收益率第一部分的來源：

每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1=1+ROE*（1-分紅率）

（四）關(guān)于持股數(shù)增加

再來算第二部分來源，你的持股數(shù)增加：

第二年的持股數(shù)增加，就來源于第一年分紅的再投資。

那么分紅是多少呢？

第一年分紅=每股分紅1*持股數(shù)1

=EPS1*分紅率*持股數(shù)1

增加多少持股呢？（簡單起見，我們假設(shè)第一年分紅后直接以第一年的股價買入。）

第一年增加持股數(shù)=第一年分紅/股價1

=EPS1*分紅率*持股數(shù)1/股價1

=分紅率*持股數(shù)1/PE

所以，持股數(shù)2=持股數(shù)1+分紅率*持股數(shù)1/PE

也就是說，持股數(shù)2/持股數(shù)1=1+分紅率/PE

（五）得出分紅再投資收益率公式

我們把兩部分收益綜合起來，可以得到：

投資收益率=（每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1）*（持股數(shù)2/持股數(shù)1）-1

=[1+ROE*（1-分紅率）]*（1+分紅率/PE）-1

這便是分紅再投資的收益率公式了。

（六）一個案例：招商銀行

舉個例子：$招商銀行(SH600036)$ 

招行的ROE，過去5年平均值是16.7%，過去10年平均19.3%，2002年上市16年以來ROE平均17.5%，我們姑且按16.7%來算。

招行的PE，我們按“年終收盤價/當(dāng)年EPS”來統(tǒng)計，過去5年平均值是7.6倍，過去10年平均9.0倍，2002年上市16年以來平均15.9倍，我們姑且按9.0倍來算（說實話我個人認為是偏低的）。

招行的分紅率，公司章程規(guī)定不低于30%，我們姑且按30%來算。

那么投資招行的收益率大致為：

收益率=[1+ROE*（1-分紅率）]*（1+分紅率/PE）-1

=[1+16.7%*（1-30%）]*（1+30%/9）-1

=（1+11.69%）*（1+3.33%）-1

=15.4%

也就是說，假如未來招行維持16.7%的ROE水平，市場對它維持9倍PE的估值水平，它的分紅率維持30%水平，那么你長期持股、分紅再投資的收益率是15.4%。

我個人認為這里的9倍PE假設(shè)是相當(dāng)?shù)凸赖摹?

（七）再一個案例：興業(yè)銀行

再舉個例子：$興業(yè)銀行(SH601166)$ 

興行的ROE，過去5年平均值是17.7%，過去10年平均19.7%，說實話17.7%可能還略微偏高，我們按16%來算吧。

興行的PE，我們按“年終收盤價/當(dāng)年EPS”來統(tǒng)計，過去5年平均值是5.9倍，過去10年平均7.0倍，說實話7.0倍實在是過低了，更不用說5.9倍，我們姑且保守一點按6倍來算，看看會如何。

興行的分紅率，公司章程規(guī)定不低于20%，我們姑且按20%來算。

那么投資興行的收益率大致為：

收益率=[1+ROE*（1-分紅率）]*（1+分紅率/PE）-1

=[1+16%*（1-20%）]*（1+20%/6）-1

=（1+12.8%）*（1+3.33%）-1

=16.6%

也就是說，假如未來興行維持16%的ROE水平，市場對它維持6倍PE的估值水平，它的分紅率維持20%水平，那么你長期持股、分紅再投資的收益率是16.6%。

你看，我們給興行的ROE假設(shè)比招行低，給興行的PE假設(shè)也比招行低，但為什么收益率卻反而會更高呢？差別就在分紅率和PE上。

解釋是這樣的：一方面，雖然給招行假設(shè)的ROE更高，但它分紅多，留存的少，ROE高的優(yōu)勢反而被消除了。另一方面，雖然興業(yè)的分紅少，但因為PE低，再投資買入增加的持股數(shù)卻不見得更少。

（八）公式的意義解讀

我們稍微總結(jié)下，對這個分紅再投資公式做簡單解讀。

1、分紅再投資的收益率來源兩部分，一是每股凈資產(chǎn)的增長，二是持股數(shù)增加。

2、每股凈資產(chǎn)的增長約等于ROE*（1-分紅率），ROE越高越好，分紅率越低越好。

道理也很簡單，ROE越高代表公司經(jīng)營效率越高；這種情況下，少分紅、將利潤留存給公司增厚凈資產(chǎn)越多越好。

3、持股數(shù)的增加約等于分紅率/PE，分紅率越高越好，PE越低越好。

同樣道理也很簡單，分紅錢越多可以買的股份數(shù)越多；PE越低說明估值越便宜，同等金額可以買入的股份數(shù)越多。

4、所以我們買股票，假設(shè)公司經(jīng)營和市場估值都穩(wěn)定的話，當(dāng)然ROE越高越好，PE越低越好。

5、至于分紅率，則沒有絕對，它則同時每股凈資產(chǎn)的增長和持股數(shù)的增長，但對二者的影響方向正好相反，互相制約。

從直觀上來分析，分紅率的最佳值受限于兩個因素：一個是ROE，ROE越高，說明錢留在公司內(nèi)部運營效率高，則分紅率越低為好；另一個是PE，PE越低，說明分紅買入股票機會越好，則分紅率也應(yīng)該越高為好。

矛盾當(dāng)然是存在的。那么有沒有最佳分紅率呢？顯然是有的。

（九）最佳分紅率是多少？

我們現(xiàn)在就來算一下分紅的最佳值是多少。這部分稍微難一點點，算附加部分吧。

目前為止，上面用到的都是小學(xué)數(shù)學(xué)知識。下面需要用到一點點微積分的基礎(chǔ)，也就是導(dǎo)數(shù)的知識。如果沒記錯的話，現(xiàn)在高中也都有教了。

方便起見，我將收益率用字母d表示（代表英文Dividend的意思）。

ROE和PE仍然看作常數(shù)。

則收益率可以看作分紅率d的一個函數(shù)：

f（d）=[1+ROE*（1-d）]*（1+d/PE）-1

認真看一下，這其實是一個一元二次的函數(shù)，我們把它展開：

f（d）=1+ROE*（1-d）+d/PE+ROE*（1-d）*d/PE-1

=ROE-ROE*d+（1/PE）*d+（ROE/PE）*d-（ROE/PE）*d^2

整理成一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：

f（d）=（-ROE/PE）*d^2+（1+ROE-ROE*PE）/PE*d+ROE

然后我們求導(dǎo)：

f'（d）=（-2*ROE/PE）*d+（1+ROE-ROE*PE）/PE

因為f（d）是一條拋物線，開口向下，存在最大值。

最大值時斜率f'（d）=0。

我們令f'（d）=0，可以求解出：

d=（1+ROE-ROE*PE）/PE/（2*ROE/PE）

=（1+ROE-ROE*PE）/（2*ROE）

簡化一下可以得到：

d=（1+1/ROE-PE）/2

也就是說，當(dāng)d<（1+1/ROE-PE）/2時，隨著d增大，收益率f（d）也增大；當(dāng)d>（1+1/ROE-PE）/2時，隨著d增大，收益率f（d）減小。

剛好d=（1+1/ROE-PE）/2時，f'（d）剛好為0，f（d）為最大值。

（十）值得提高分紅的前提

引用上面招行的例子，算下最佳分紅率d是多少。

ROE=16.7%；PE=9.0倍。

則d=（1+1/ROE-PE）/2=（1+1/0.167-9）/2=-1.0

你沒看錯，結(jié)果是負值。這并不代表最佳分紅率應(yīng)該是負的。我們都知道d的取值是0到100%。

它的正確解讀是：當(dāng)d>0時（這時候當(dāng)然也就d>-1.0），隨著d的增大，投資收益率會降低。

意思是這種情況下，越分紅你的投資收益率就會越低。

那么什么時候提高分紅率對投資收益率才是有幫助（正貢獻）的呢？我們前面也說了，條件是d<（1+1/ROE-PE）/2。

我們再推演下，因為d隱含取值范圍是0到100%，所以我們知道肯定有d≥0。

也就是說，如果提高分紅率對投資收益率有幫助（正貢獻），那么至少要滿足的條件是：

（1+1/ROE-PE）/2>d≥0

即：PE≤1+1/ROE

這就是值得提高分紅的前提。

比如ROE如果是10%，那么PE必須11倍以下，否則提高分紅率就不能提高我們的投資收益率。

招行的ROE如果高達16.7%，那它的PE需要在7.0倍以下，否則提高分紅率就不可能提高投資者的收益率。

但分紅并不是簡單的算數(shù)，而是還有其他層面的意義，我在《分紅的意義》一文中有論述。大家還是要綜合評估