|
撰文：張?zhí)烊?/a> 愛(ài)因斯坦和哥德?tīng)?，是?dāng)年在普林斯頓高等研究院里經(jīng)常一塊散步的一對(duì)忘年之交。那是在愛(ài)因斯坦去世前的十幾年，從1940年哥德?tīng)栒绞芷傅狡樟炙诡D高研院開(kāi)始，一直到愛(ài)因斯坦生病去世。愛(ài)因斯坦晚年時(shí)，曾經(jīng)對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)家?jiàn)W斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern）表示說(shuō)，他自己的研究已經(jīng)沒(méi)有太大意義，而他之所以每天還到高等研究院來(lái)，只是為了與哥德?tīng)栆黄鹱呗坊丶遥?/span>愛(ài)因斯坦的這一段話，我們可以看出他對(duì)哥德?tīng)柕男蕾p程度。 對(duì)公眾而言，愛(ài)因斯坦的名字家喻戶曉，但哥德?tīng)枀s鮮為人知。那么，哥德?tīng)柡卧S人也？對(duì)科學(xué)有些什么杰出的貢獻(xiàn)，才會(huì)使得愛(ài)因斯坦如此推崇他？ 庫(kù)爾特·弗雷德里?！じ绲?tīng)枺ǖ抡Z(yǔ)：Kurt Friedrich G?del，1906年－1978年）是一個(gè)出生于奧匈帝國(guó)，后半生在美國(guó)度過(guò)的數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為亞里士多德之后最好的邏輯學(xué)家 哥德?tīng)柋葠?ài)因斯坦晚出生27年。在1906年，愛(ài)因斯坦發(fā)表3篇重要論文之“奇跡年”后的第二年，哥德?tīng)柌胚蛇蓧嫷亍８绲聽(tīng)柼旆謽O高，從小是個(gè)數(shù)學(xué)神童，喜歡尋根究底地問(wèn)問(wèn)題，因而在4歲的時(shí)候就有一個(gè)“為什么先生”的綽號(hào)。在維也納大學(xué)時(shí)，他曾經(jīng)修讀過(guò)理論物理，也研究過(guò)相對(duì)論，之后專攻邏輯學(xué)和集合論。他最重要的數(shù)學(xué)成果是提出了哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ?，是他?/span>25歲（1931年）緊接著博士論文之后完成的。 哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ戆瑑蓚€(gè)定理： 1. 一個(gè)包含了算術(shù)的任意數(shù)學(xué)系統(tǒng)，不可能同時(shí)滿足完備性和一致性； 2. 一個(gè)包含了算術(shù)的任意數(shù)學(xué)系統(tǒng)，不可能在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部來(lái)證明它的一致性。 如果用通俗的（不太嚴(yán)格）的說(shuō)法來(lái)理解哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ?，我們視乎可以這樣認(rèn)為： 完備性指的是這個(gè)系統(tǒng)包括了所有它定義的對(duì)象，一致性指的是沒(méi)有邏輯上的自相矛盾。所以，用通俗語(yǔ)言，哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ砭褪牵?/span> 1. 一個(gè)算術(shù)系統(tǒng)，要么自相矛盾，要么總能得出一些無(wú)法包括于該系統(tǒng)中的結(jié)論； 2. 不可能在一個(gè)算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)部，證明此系統(tǒng)是不自相矛盾的。 哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ淼臄?shù)學(xué)證明過(guò)程十分復(fù)雜，但是哥德?tīng)柖ɡ砑捌浞椒ǖ暮诵乃枷耄际沁\(yùn)用了“自指”（自我指涉）的概念，這個(gè)概念可以用著名的“理發(fā)師悖論”來(lái)說(shuō)明。 傳說(shuō)某小鎮(zhèn)上只有一個(gè)理發(fā)師，他將他的顧客群（系統(tǒng)）定義為“城中所有不給自己理發(fā)之人”。但某一天，當(dāng)他想給自已理發(fā)時(shí)卻發(fā)現(xiàn)他的“顧客”定義是自相矛盾的。因?yàn)槿绻唤o自己理發(fā)，他自己就屬于“顧客”， 既然不是“顧客”就應(yīng)該給自己理發(fā)；但如果他給自己理發(fā)，雖然他自己不屬于“顧客”了，但他給自己理了發(fā)又是顧客。那么到底自己算不算顧客？該不該給自己理發(fā)？這邏輯似乎怎么也理不清楚，由此就得出現(xiàn)一個(gè)“理發(fā)師悖論”。 也就是說(shuō)，這位理發(fā)師定義的“顧客系統(tǒng)”要么是自相矛盾的，要么是不完備的，因?yàn)?/span>“他自己”無(wú)法屬于這個(gè)系統(tǒng)。這就是哥德?tīng)柕谝徊煌陚涠ɡ淼囊馑肌陚湫院鸵恢滦圆豢杉娴谩?/span> 進(jìn)一步分析：如果我們想要證明這個(gè)“顧客系統(tǒng)”是自相矛盾的，就必須將“他自己”加進(jìn)去。加進(jìn)去才發(fā)現(xiàn)自相矛盾，不加進(jìn)去就不自相矛盾。但是加了他自己后的系統(tǒng)，已經(jīng)不是他原來(lái)（未曾考慮自己時(shí)）定義的系統(tǒng)。所以結(jié)論是，他不可能在他原來(lái)定義的系統(tǒng)內(nèi)部，證明那個(gè)系統(tǒng)是自相矛盾的，這就是哥德?tīng)柕诙煌陚涠ɡ淼囊馑肌?/span> 從上面的分析看，問(wèn)題在于“包含自身”是一種自指描述。例如，理發(fā)師 “只為不給自己理發(fā)的人理發(fā)”，說(shuō)謊者說(shuō) “我正在說(shuō)謊”，等等。羅素用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義的“羅素悖論”，也都是自指命題。哥德?tīng)柎@些例子寫出了一句話：“這句話是不能證明的”。這種自指描述，是哥德?tīng)栕C明他的不完備定理的重要工具。 “這句話是不能證明的”。如果你證明了這句話“對(duì)”，那你就得承認(rèn)這句話不能被證明，這樣就是既不能成其為肯定的否定邏輯判斷，又不能形成否定的肯定邏輯判斷；如果你能證明這句話“不對(duì)”，那就成了“不能證”的可證，而結(jié)論是“可證”不能被證明。 所以，在一個(gè)算術(shù)邏輯系統(tǒng)中，必定有一些“既不能證實(shí)，也不能證偽”的命題。 證實(shí)和證偽，正是科學(xué)或科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域經(jīng)常探討的課題，人們自然而然地聯(lián)想到如何將哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ碛糜诳茖W(xué)活動(dòng)之中。 哥德?tīng)柌皇悄涿畹靥岢霾煌陚涠ɡ?。他開(kāi)始的目的是為了解決著名德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert，1862年－1943年）于1900年提出的23個(gè)問(wèn)題中的第2題：算術(shù)公理之相容性。 按照希爾伯特的宏偉計(jì)劃，整個(gè)數(shù)學(xué)體系應(yīng)該嚴(yán)格公理化，成為建立在一套牢靠基礎(chǔ)上的宏偉大廈。說(shuō)到公理化，我們都知道歐幾里德幾何是公理化的典范。但是數(shù)學(xué)家們的標(biāo)準(zhǔn)不同，希爾伯特就認(rèn)為歐幾里德《幾何原本》是不嚴(yán)格的公理體系，最初的五條基本公設(shè)包含著很多基于直觀的假設(shè)，不是基于嚴(yán)格數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義的基礎(chǔ)之上。希爾伯特另寫了一本《幾何基礎(chǔ)》，重新定義幾何，將幾何學(xué)從一種具體模型上升為抽象的、完備而自洽的普遍理論。他認(rèn)為，任何數(shù)學(xué)真理，只要通過(guò)一代又一代人的不斷努力，都能用邏輯的推理將其整合到這個(gè)數(shù)學(xué)公理大廈之中。 希爾伯特認(rèn)為算術(shù)公理系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的，他提出一個(gè)關(guān)于算術(shù)公理系統(tǒng)相容性的問(wèn)題，希望能以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞絹?lái)證明任意公理系統(tǒng)內(nèi)的所有命題是彼此相容無(wú)矛盾的。換言之，希爾伯特的宏偉目標(biāo)就是在形式化的算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)部證明它的完備性、一致性和可判定性。 然而，哥德?tīng)柕慕Y(jié)論粉碎了希爾伯特的夢(mèng)想。因?yàn)楦绲聽(tīng)栕C明了：包含了算術(shù)的數(shù)學(xué)整體（歐氏幾何不包括算術(shù)系統(tǒng)）如果不自相矛盾的話，就一定是不完備的，一定有這么一些“無(wú)法證明它為真，也無(wú)法證明它為假”的命題存在。希爾伯特雖然遭受了打擊，但他也不得不承認(rèn)“不完備性定理對(duì)于數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)具有里程碑式的意義”。 人們認(rèn)為哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ砭哂袆潟r(shí)代的意義，它的科學(xué)和哲學(xué)價(jià)值超過(guò)了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，可以擴(kuò)展到科學(xué)的各個(gè)方面，啟發(fā)后人對(duì)哲學(xué)本質(zhì)、世界基本問(wèn)題的思考。美國(guó)《時(shí)代》雜志曾經(jīng)評(píng)選出對(duì)20世紀(jì)思想產(chǎn)生重大影響的100人中，哥德?tīng)柋晃涣械谒摹?/span> 不完備性定理表明“一致性與完備性不可兼得”。這使人們聯(lián)想到量子物理中海森堡不確定性原理表述的“動(dòng)量位置不能同時(shí)確定”的命題，于是有人認(rèn)為這兩個(gè)原理從哲學(xué)角度給出了人類能力發(fā)揮的極限。也有人在探究這兩個(gè)原理的相似性，期望從中尋找到二者深刻的內(nèi)在聯(lián)系。 當(dāng)年愛(ài)因斯坦和哥德?tīng)栆黄鹕⒉?，是否?huì)在一起討論上面提出的問(wèn)題？目前好像沒(méi)有確切的資料顯示這樣的信息，但我們可以追溯搜尋一下歷史記錄：哥德?tīng)柺?/span>1931年發(fā)表不完備定理，普林斯頓高等研究院于1933年建立于普林斯頓大學(xué)的校園里。愛(ài)因斯坦、哥德?tīng)?、外爾等都是?dāng)年受邀的的第一批成員。愛(ài)因斯坦1933年10月抵達(dá)普林斯頓后便一直呆下去，哥德?tīng)柡芸旆祷亓藲W洲，后來(lái)（1934-35）又來(lái)訪過(guò)。在這些零落的時(shí)間內(nèi)，兩人討論過(guò)什么，我們不得而知。普林斯頓高研院最初興旺發(fā)達(dá)的是數(shù)學(xué)，哥德?tīng)柨隙ㄗ鬟^(guò)有關(guān)不完備定理的演講，愛(ài)因斯坦也許對(duì)邏輯和數(shù)學(xué)不那么感興趣，但也應(yīng)該知曉這個(gè)定理在數(shù)學(xué)界掀起的軒然大波。1935年，愛(ài)因斯坦與兩位同事發(fā)表的EPR論文中，提出了量子物理的“完備性”問(wèn)題（之前還提過(guò)“自洽性”問(wèn)題），其想法以及這些邏輯學(xué)中的名詞，很有可能來(lái)自于哥德?tīng)柕墓ぷ鳌?/span> 1940年，哥德?tīng)栒绞芷赣诟哐性?，便開(kāi)始經(jīng)常與愛(ài)因斯坦一塊散步，聊天。遺憾的是我們沒(méi)有查到有關(guān)他們涉及談量子物理及不完備定理的內(nèi)容，但從普林斯頓其他人的回憶中，能夠悟出一點(diǎn)他們互相之間的思想影響。 約翰·惠勒從1938年開(kāi)始成為普林斯頓大學(xué)物理系教授，與愛(ài)因斯坦十分熟悉，但對(duì)當(dāng)時(shí)已經(jīng)大名鼎鼎，又很少與人交往的哥德?tīng)杹?lái)說(shuō)，對(duì)小5歲的惠勒就不一定熟悉了。 算法理論專家蔡廷（Gregory Chaitin）在他的書中曾有如下的描述：據(jù)說(shuō)惠勒曾經(jīng)和兩個(gè)學(xué)生一起去過(guò)哥德?tīng)柕霓k公室（大約70年代），想問(wèn)他關(guān)于量子物理及不完備定理之關(guān)系，哥德?tīng)柡苌鷼猓瑢⑺麄?/span>“趕出”了辦公室。 物理學(xué)家伯恩斯坦（Jeremy Bernstein）在他的書中也提到過(guò)此事。不過(guò)大多數(shù)人認(rèn)為拜訪過(guò)程不是那么戲劇性的。據(jù)說(shuō)惠勒等問(wèn)及此問(wèn)題時(shí)，哥德?tīng)栟D(zhuǎn)換了話題，要和他們討論他正在研究的星系旋轉(zhuǎn)的物理問(wèn)題。一年之后，在某次小聚會(huì)中，哥德?tīng)栂蚧堇盏冉忉屃怂麨楹尾辉刚務(wù)摿孔恿W(xué)中的非決定論與數(shù)理邏輯之關(guān)系，是因?yàn)樗?jīng)和愛(ài)因斯坦討論過(guò)很久，他不相信量子力學(xué)和非決定論。所以，惠勒后來(lái)說(shuō)到這個(gè)話題時(shí)，認(rèn)為哥德?tīng)栆呀?jīng)被愛(ài)因斯坦“洗腦”了。 有人認(rèn)為，不完備性定理于人類的意義超過(guò)了牛頓力學(xué)、萬(wàn)有引力、相對(duì)論。在這些人看來(lái)，科學(xué)理論可以影響幾個(gè)世紀(jì)的人類，而不完備性定理（和測(cè)不準(zhǔn)原理）所能影響的卻是整個(gè)人類的文明歷史。 的確，任何科學(xué)理論都應(yīng)該有邏輯性、自洽性和完備性，然而在同一個(gè)系統(tǒng)中，完備性和邏輯自洽不可兼得。但是，一個(gè)理論最后要求的完備性，不一定是包括在這個(gè)理論自身，而是存在于下一個(gè)更深層的理論中。正是因?yàn)橐粋€(gè)理論的完備性與一致性不能完全兼容，才提供了理論體系進(jìn)一步發(fā)展的突破口。 哥德?tīng)柡蛺?ài)因斯坦有一個(gè)難能可貴的共同點(diǎn)：他們都重視思考和研究科學(xué)的最基本問(wèn)題。愛(ài)因斯坦研究統(tǒng)一理論幾十年；哥德?tīng)栂萦谡軐W(xué)，他曾經(jīng)對(duì)人稍感抱歉地解釋為什么最后幾年研究的東西都不太成功，是因?yàn)樗紤]的一直是最基礎(chǔ)的問(wèn)題。 為哥德?tīng)枌憘饔浀娜A人邏輯學(xué)家王浩曾經(jīng)比較哥德?tīng)柡蛺?ài)因斯坦的異同點(diǎn)：他們都重視哲學(xué)，但對(duì)世界的哲學(xué)觀點(diǎn)卻并不一樣，而且性格迥異。愛(ài)因斯坦樂(lè)觀合群，通情達(dá)理，哥德?tīng)柟虐鍑?yán)肅，孤傲獨(dú)行；愛(ài)因斯坦喜歡古典音樂(lè)，哥德?tīng)栒J(rèn)為索然無(wú)味；愛(ài)因斯坦積極參加和支持和平運(yùn)動(dòng)，哥德?tīng)柣静簧婕叭魏喂娀顒?dòng)。 哥德?tīng)?/span>1940年到普林斯頓高研院，1947年入籍美國(guó)。愛(ài)因斯坦和摩根斯坦曾作為證人陪同哥德?tīng)枀⒓恿怂拿绹?guó)公民考試。后來(lái)有人描述當(dāng)時(shí)的有趣一幕：本來(lái)一切順利，但當(dāng)法官問(wèn)哥德?tīng)柺欠裾J(rèn)為像納粹政權(quán)這樣的獨(dú)裁統(tǒng)治可能發(fā)生在美國(guó)時(shí)，哥德?tīng)栂蛩撟C自己研究美國(guó)憲法時(shí)的一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)：美國(guó)憲法有一個(gè)邏輯漏洞，會(huì)使得一個(gè)獨(dú)裁者可以合法地掌握權(quán)力！他想就此爭(zhēng)論一番。愛(ài)因斯坦等費(fèi)了很大的勁才制止了他。 哥德?tīng)柕耐砭傲钊诉駠u！偉大的邏輯學(xué)家最后死于“人格紊亂造成的營(yíng)養(yǎng)不良和食物不足”——醫(yī)生的診斷結(jié)論。這等同于餓死的。他病逝時(shí)的體重只有65磅，因?yàn)樗砟昕偸菓岩捎腥艘\殺他，會(huì)在他的飯菜里下毒，所以他不相信別人做的飯菜，只相信他夫人做的，而他的太太阿黛爾比他年長(zhǎng)好幾歲，也病倒了，沒(méi)法照顧他。因此哥德?tīng)栔荒艹砸恍┖芎?jiǎn)單的食物或者經(jīng)常不吃飯，身體狀況迅速惡化，最終死于營(yíng)養(yǎng)不良。 |
|
|
來(lái)自： 老夫不請(qǐng)自來(lái)也 > 《文件夾1》
