一、概念

由三條不在同一直線上的線段首尾順次相連而構(gòu)成的平面圖形 叫 三角形。

注意其中：①不在同一直線上(或說不共線);②是三條線段;③首尾順次相連 這三個(gè)條件缺一不可。

二、分類

(1)按角分類：分為 斜三角形(包括銳角三角形 和 鈍角三角形)

直三角形(即直角三角形)

(2)按邊分類：分為 不等邊三角形

等腰三角形(包括只有兩邊相等/或說是底腰不等的三角形 和 三邊相等/即等邊的三角形)

注：①、等邊三角形是特殊的等腰三角形;

②、一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)鈍角，最少有二個(gè)銳角。

三、三角形的三邊關(guān)系

1、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。( 即 a+b>c ,或a+c>b ,或b+c>a )

2、推論：三角形的任意兩邊之差小于第三邊。

特別注意：(1)、以上兩點(diǎn)就是判斷任意給定的三條線段能否組成三角形的條件，但在實(shí)際做題時(shí)，并不需要去分析全部三組邊的大小關(guān)系，可簡(jiǎn)化為：當(dāng)三條線段中最長(zhǎng)的線段小于另兩條較短線段之和時(shí)，或 當(dāng)三條線段中最短的線段大于另兩條較長(zhǎng)線段之差的絕對(duì)值時(shí)，即可組成三角形。

(2)、已知三角形的兩邊a，b(a>b)，則第三邊c的取值范圍為：a–b < c < a + b

(3)、并不需要知道三條線段的具體長(zhǎng)度，而只要根據(jù)它們長(zhǎng)度的比值，即可判斷是否可組成三角形。

例?。含F(xiàn)有長(zhǎng)度分別為2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，從中任取三根，能組成_______個(gè)三角形。

例ⅱ：下列幾組長(zhǎng)度的線段能組成三角形的是：_____________

①、3a ,5a ,8a(a>0) ②、a2 + 3 ,a2 + 4 ,a2 + 7 (a≠0) ③、3a , 4a , 2a + 1 (a>1/5)

四、有關(guān)三角形邊長(zhǎng)的綜合問題

1、等腰三角形：等腰三角形有兩相等的腰和一底邊，題目中往往并不直接說明腰和底邊，因此，解題時(shí)要分類討論，以免丟解。

例ⅰ：等腰三角形的周長(zhǎng)為24cm，其中兩條邊長(zhǎng)的比為 3 ：2，求該等腰三角形的三邊長(zhǎng)。

例ⅱ：已知等腰三角形的周長(zhǎng)是16cm，

(1)若其中一邊長(zhǎng)為6cm，求另外兩邊長(zhǎng); (2)若其中一邊長(zhǎng)為4cm，求另外兩邊長(zhǎng)。

例ⅲ：在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將三角形周長(zhǎng)分為21和12兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)。

注：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，若等腰三角形的腰長(zhǎng)為a，則底邊長(zhǎng)x 的取值范圍是：0 < x < 2a ;

若等腰三角形的底邊為a，則腰長(zhǎng)x 的取值范圍是：x > a/2

五、三角形的外角及其性質(zhì)

三角形的每一個(gè)內(nèi)角都有相鄰的兩個(gè)外角，且這兩個(gè)外角相等(對(duì)頂角相等)。一共有六個(gè)外角。

其中，從與三角形的每一個(gè)內(nèi)角相鄰的兩個(gè)外角中各取一個(gè)外角相加(一共三個(gè)外角相加)，叫三角形的外角和。

根據(jù)鄰補(bǔ)角、三角形的內(nèi)角和等相關(guān)知識(shí)，可知：三角形的外角和 = 360 度。

性質(zhì)1、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和。

性質(zhì)2、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。(常用于解決角的不等關(guān)系問題)

例ⅰ：等腰三角形的一個(gè)外角等于100度，則這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是多少度?

例ⅱ：試用合適的方法說明五角星的五個(gè)頂角和等于180°(圖自畫)

注：(1)、△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，連接BO、CO，則有∠BOC = ∠A + ∠ABO +∠ACO 圖略

(2)、△ABC內(nèi)有一點(diǎn)M，連接BM、CM，BO、CO分別是∠ABM 和∠ACM的平分線，則有∠BOC =(∠A +∠BMC)/2

(3)、一個(gè)五角星，五個(gè)頂角的和等于180度。(可利用性質(zhì)1和三角形的內(nèi)角和來加以證明)

(4)、BO、CO分別是△ABC的內(nèi)角平分線，BO、CO相交于點(diǎn)O，則∠BOC = 90°+ ∠A/2

(5)、BO、CO分別是△ABC的外角平分線，BO、CO相交于點(diǎn)O，則∠BOC = 90°- ∠A/2

(6)、BO是△ABC的內(nèi)角平分線，CO是△ABC的外角平分線，BO、CO相交于點(diǎn)O，則∠BOC = ∠A/2

(7)、①銳角三角形兩條邊上的高相交所成的夾角與第三邊所對(duì)的角互補(bǔ);②直角三角形兩條邊上的高相交所成的夾角與第三邊所對(duì)的角相等;③鈍角三角形一條鈍角邊上的高與鈍角所對(duì)最大邊上的高相交所成的夾角與另一鈍角邊所對(duì)的角相等，但若是兩條鈍角邊上的高相交所成的夾角，則與第三邊所對(duì)的角互補(bǔ)。

※ 請(qǐng)自行用合適的方法說明以上各點(diǎn)!