在反比例函數(shù)章節(jié)學(xué)習(xí)中，對(duì)于雙曲線的圖象性質(zhì)，講的用的最多的就是雙曲線上一點(diǎn)，向坐標(biāo)軸作垂線，它們圍成的矩形面積恰好是|k|，以及由此衍生的無數(shù)變式題。而在這個(gè)點(diǎn)上，再附加一些別的有趣條件，則可變出更有意思的題目，看上去很難，實(shí)際上，嗯，對(duì)有些同學(xué)仍然很難，但我們需要通過學(xué)習(xí)讓它變簡單。

題目

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=6/x(x>0)上一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B

(1)判斷點(diǎn)P是否在線段AB上，并說明理由；

(2)求△AOB的面積；

(3)Q是反比例函數(shù)y=6/x(x>0)上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，請(qǐng)以Q為圓心，QO為半徑畫圓，與x，y軸分別交于點(diǎn)M，N，連接AN，BM，求證：AN∥BM

解析：

(1)對(duì)于圓P來講，∠AOB是它的圓周角，因此，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，則P一定在線段AB上；

(2)如果在其它函數(shù)中求，基本上是表示出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后面積公式的套路，但是在反比例函數(shù)中，雙曲線上的點(diǎn)，利用圖象性質(zhì)就明顯快捷多了，如下圖：

過點(diǎn)P分別作PE⊥x軸，PF⊥y軸，根據(jù)反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，四邊形PEOF的面積為6，此外，由于點(diǎn)P作為圓心，又在直徑AB上，它的另一重身份是斜邊AB上中點(diǎn)，于是順帶著垂線PE和PF也有了第二重身份，三角形的中位線，于是OP=BP=AP，得到等腰△BOP和等腰△AOP，再加上PE和PF分別是它們的對(duì)稱軸，因此△BFP與△OFP面積相同，△OPE與△APE面積相同，這樣，整個(gè)△AOB的面積即為矩形PEOF面積的2倍，等于12；

(3)解決本小題的第一大難點(diǎn)是作圖，畢竟讀懂題目條件，尤其是作圖條件，對(duì)于不少學(xué)生來講依然不容易，另在雙曲線上取一點(diǎn)Q，以O(shè)Q為半徑作圓，如下圖：

在作圖的過程中，必須想到，其實(shí)Q點(diǎn)與P點(diǎn)在性質(zhì)上并無本質(zhì)區(qū)別，并且這二者均沒有確定在雙曲線上某個(gè)位置，只能用字母參數(shù)表示它們的坐標(biāo)，于是設(shè)點(diǎn)P(p,6/p)，Q(q,6/q)，請(qǐng)注意點(diǎn)A，B與點(diǎn)P的坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，可在第2小題得到的中位線基礎(chǔ)上，得到A(2p,0)，B(0,12/p)，同理M(2q,0)，N(0,12/q)，然后我們分別在Rt△AON和Rt△MOB中，求∠OAN和∠OMB的正切值，推導(dǎo)如下：

解題反思：

在第2小題中，涉及到的幾何定理較多，有矩形對(duì)角線將矩形分成兩個(gè)全等的三角形，斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱，等腰三角形三線合一等，并且在第3小題中，依然起到了關(guān)鍵作用，那么，如果在思考過程中遇到卡頓，則意味著上述定理中，至少有1-2個(gè)不熟悉，突破口往往就在它們身上。而在證明方法的選擇上，平行線的證明有很多種方法，在坐標(biāo)系中，經(jīng)常用到的是求出它們所在直線的一次函數(shù)表達(dá)式，斜率相等意味著平行，本題采用的是銳角三角函數(shù)，正切值相等則平行，其實(shí)斜率與正切值之間，本身就有密切聯(lián)系，幾乎等同于一種方法。完美地解決一道題目，讀完條件即想到方法，書寫過程中思路順暢，這需要平時(shí)不斷積累，融匯貫通。