例1：

如圖，填空：

(1)找出∠B的所有同位角，并說(shuō)明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的．

(2)∠4和∠5是同位角嗎？如果是，說(shuō)明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)找出其余的同位角．

(4)找出所有的內(nèi)錯(cuò)角，并說(shuō)明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的．

(5)找出∠A的所有同旁內(nèi)角，并說(shuō)明是哪兩條直線被哪條直線所截得到的．

分析：

兩條直線被第三條直線所截，要找同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角，關(guān)鍵在于，找兩個(gè)角的共線邊！

通常，共線邊所在直線就是截線，那么剩下的兩條邊所在直線就是被截直線．

(1)要找∠B的同位角，則關(guān)注它的兩條邊，BG，BA，則可以任選一條作為截線，如選BG為截線，則過BG上的點(diǎn)F，點(diǎn)C的直線FD，CE就可作為被截直線，同理，如選BA為截線，則過BA上的點(diǎn)D的直線DE，DF就可作為被截直線，則四個(gè)同位角很快可以確定．

(2)兩個(gè)角若是同位角，首先要滿足組成這兩個(gè)角的邊，有一條是共線邊，即一眼看去，只能有“三線”．

(3)(4)(5)，注意圖中一共有幾個(gè)角，數(shù)字標(biāo)注的有9個(gè)，單獨(dú)字母標(biāo)注的有2個(gè)，還有兩個(gè)是組合角∠ADF，∠BDE，一共13個(gè)角，一個(gè)一個(gè)數(shù)，做到不重不漏．

解答：

(1)∠B和∠1是直線BG和直線DE被直線AB所截形成的同位角．

∠B和∠ADF是直線BG和直線DF被直線AB所截形成的同位角．

∠B和∠6是直線BA和直線FD被直線BG所截形成的同位角．

∠B和∠9是直線BA和直線CE被直線BG所截形成的同位角．

(2)不是，∠4的兩條邊是BD，DF，∠5的兩條邊是DE，EC，不滿足三線，不是同位角．

(3)∠A和∠4，∠A和∠BDE，∠A和∠5，∠2和∠8，∠6和∠9，∠7和∠8．

(4)∠A和∠9是直線BA和直線CG被直線AC所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠1和∠5是直線AD和直線CE被直線BE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠2和∠3是直線AE和直線DF被直線DE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠2和∠BDE是直線AE和直線BD被直線DE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠3和∠7是直線DE和直線BF被直線DF所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠4和∠6是直線BD和直線FG被直線BF所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠5和∠9是直線DE和直線CG被直線CE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

∠7和∠ADF是直線BF和直線AD被直線DF所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．

(5)∠A和∠1是直線AE和直線DE被直線AD所截形成的同旁內(nèi)角．

∠A和∠2是直線AD和直線DE被直線AE所截形成的同旁內(nèi)角．

∠A和∠ADF是直線AC和直線DF被直線AD所截形成的同旁內(nèi)角．

∠A和∠2是直線AD和直線DE被直線AE所截形成的同旁內(nèi)角．

∠A和∠8是直線AD和直線CF被直線AC所截形成的同旁內(nèi)角．

∠A和∠B是直線AC和直線BC被直線AB所截形成的同旁內(nèi)角．

例2：

如圖所示，BE是AB的延長(zhǎng)線，量得

∠CBE＝∠A＝∠C.

(1)由∠CBE＝∠A，可得____∥____，

根據(jù)是_____________________.

(2)由∠CBE＝∠C，可得____∥____，

根據(jù)是_____________________.

(3)由∠CBA＋∠C＝180°，

可得____∥____，

根據(jù)是_______________________.

(4)由∠CBA＋∠A＝180°，

可得____∥____，

根據(jù)是_______________________.

分析：

對(duì)于這種看似是平行四邊形背景的題目，大家非常容易錯(cuò)，這里給出了角的條件，我們就可以馬上找到共線邊，作為截線，兩個(gè)角的另外兩條邊作為被截直線，就是平行線．

如∠CBE＝∠A，發(fā)現(xiàn)它們的共線邊是AE，則AE就是截線，兩條被截直線AD，CD平行．

解答：

(1) CB∥DA，同位角相等，兩直線平行

(2) CD∥AB，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

(3) CD∥AB，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

(4) CB∥DA，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

例3：

如圖，AB∥EF∥CD，EG∥BD，則圖中與∠1相等的角(∠1除外)共有 (        )

  A．6個(gè)          B．5個(gè)         

  C．4個(gè)          D．3個(gè)

分析：

有了平行，其實(shí)就有了2條被截直線，這樣，再去找截線，就能找到另外的角．

AB∥EF，則AB，EF為被截直線，EG為截線，找到∠1的內(nèi)錯(cuò)角∠2．EG∥BD，則EG，BD為被截直線，EH，BG可為截線，找到∠1的同位角∠5，∠2的內(nèi)錯(cuò)角∠3，AB∥CD，AB，CD可為截線，找到∠5的內(nèi)錯(cuò)角∠6，別忘了∠3的對(duì)頂角，∠4．

解答：B

例4：

如圖，

若AC∥EF，則∠A＋∠______＝180°，

∠______＋∠______＝ 180°．

若∠2＝∠______ ，則AE∥BF．

若∠A＋∠______＝180°，

或∠______＋∠______＝180°，則AE∥BF．

分析：

由兩直線平行，可知被截直線，然后再確定截線，問題迎刃而解．有時(shí)，截線不止一條．AC∥EF，又明確∠A，則截線必然經(jīng)過點(diǎn)A，這里要找同旁內(nèi)角，則兩個(gè)角應(yīng)該在截線AE同旁．AE∥BF，又明確∠2，則則截線必然經(jīng)過點(diǎn)D，截線為EC，這里要找同位角．最后，確定截線為AB或EF即可秒解．

解答：

若AC∥EF，則∠A＋∠AEF＝ 180°，

∠F＋∠FBA＝ 180°．

若∠2 ＝∠4，則AE∥BF．

若∠A＋∠ABF＝180°，

或∠F＋∠FEA＝180°，

則AE∥BF．

例5：

如圖，點(diǎn)B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，射線CF與BD平行嗎？用兩種方法說(shuō)明理由．

分析：

要證CF∥BD，則要找相等的同位角或內(nèi)錯(cuò)角，或互補(bǔ)的同旁內(nèi)角，我們發(fā)現(xiàn)截線只能是BC，則只能利用同位角∠2和∠C，或同旁內(nèi)角∠DBC和∠C．

解答：

法1

∵BD⊥BE(已知)

∴∠DBE＝90°(垂直定義)

∴∠1＋∠2＝180°－∠DBE＝90°(平角定義)

∵∠1＋∠C＝90°(已知)

∴∠2＝∠C(同角的余角相等)

∴CF∥BD(同位角相等，兩直線平行)

法2：

∵BD⊥BE(已知)

∴∠DBE＝90°(垂直定義)

∵∠1＋∠C＝90°(已知)

∴∠1＋∠2＋∠DBE ＝90°＋90°＝180°(等式性質(zhì))

即∠DBC＋∠C＝180°

∴CF∥BD(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)

例6：

如圖，AC平分∠BAD，∠ACB＝∠BAC，∠D＝90°，EF⊥CD，試說(shuō)明BC∥EF.

分析：

由∠D＝90°，EF⊥CD，可證AD∥EF，則再證AD∥BC，利用平行的傳遞性即可得證．

解答：

∵AC平分∠BAD(已知)

∴∠1＝∠3(角平分線定義)

∵∠1＝∠2(已知)

∴∠2＝∠3(等量代換)

∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)

∵EF⊥CD(已知)

∴∠4＝90°＝∠D(垂直定義)

∴AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)

∴BC∥EF(平行于同一直線的兩直線平行)