從解析幾何：圖形的位置（一）中的敘述我們可以看到，解析幾何的核心思想就是建立一個(gè)參照系，借助參照系通過數(shù)量分析的方法研究幾何圖形及其變化。顯然，參照系的維數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)韧趫D形所在空間的維數(shù)，因此，平面上任意兩條相交的直線都可以作為參照系，無論是垂直的還是不垂直的，就像笛卡爾所思考的那樣。當(dāng)然，一般情況下，用直角坐標(biāo)系會(huì)更方便一些。另外，用一條射線和一個(gè)角度也可以作為平面圖形的參照系，這便是極坐標(biāo)。

最早使用極坐標(biāo)的是發(fā)明了微積分的牛頓和瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（1654-1705）.后來，瑞士數(shù)學(xué)家赫爾曼（1678-1733）給出了直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)的變換公式，現(xiàn)在使用的極坐標(biāo)表達(dá)形式是歐拉在1748年出版的《無窮分析引論》中確定的。下面，我們來建立直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)之間的關(guān)系。如圖（1）所示

對(duì)于平面上的直角坐標(biāo)系，令極坐標(biāo)的原點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，射線方向與x軸的正方向重合，這樣，極坐標(biāo)的角度就是與x軸之間的夾角。比如，考慮線段OA，其中點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為A(x,y)，對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為（ρ，θ），其中ρ為線段長(zhǎng)，θ為線段與x軸之間的夾角，那么用直角坐標(biāo)表示極坐標(biāo)

ρ=√x²+y²，tanθ=y/x

反之，用極坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)有

x=ρ·cosθ,y=ρ·sinθ (1)

因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中，過原點(diǎn)O和點(diǎn)A的直線方程為y=ax，其中a為斜率，即直線與x軸夾角的余玄，那么由（1）式可以得到這條直線的極坐標(biāo)中的方程為

tanθ= a

利用極坐標(biāo)處理圓以及與圓有關(guān)的運(yùn)動(dòng)軌跡是非常方便的，比如，在平面上圓的極坐標(biāo)方程可以表示為

ρ²=r² (2)

其中r為圓的半徑。伯努利曾經(jīng)利用極坐標(biāo)把直角坐標(biāo)系中的雙扭線方程(x²+y²)²=a²(x²-y²)簡(jiǎn)捷地表示為ρ²=a²cos2θ。在一般情況下，對(duì)于n維空間直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)之間地轉(zhuǎn)換關(guān)系可以表示維

x₁=ρ·cosθ₁

x_i=ρ·sinθ₁...sinθ_i-1cosθ_i

......

x_n=ρ·sinθ₁...sinθ_n-1 i=2,...,n-1

這個(gè)變換在多重積分中被廣泛使用。