土木吧丨精辟！筏基沉降計算原理

lylla 2019-02-19

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張廷全

(中國建筑科學研究院有限公司北京構力科技有限公司北京 100013)

0 前言

沉降計算是地基驗算的重要組成部分。地基在建筑物荷載長期作用下，不斷產生變形從而引起建筑物基礎的沉降和傾斜。過大的沉降會影響到建筑物的使用和外觀。如建筑物發(fā)生不均勻沉降時建筑物可能發(fā)生裂縫、扭曲或傾斜影響其使用與安全，嚴重的甚至發(fā)生倒塌破壞。由于沉降的復雜性，目前還不能從理論上對地基的變形進行精確計算。沉降的主要影響因素：

1）荷載大小與其分布情況。建筑物的上部荷載越大, 作用在基礎底面上的接觸壓力就越大, 地基的豎向變形即沉降量值也就越大; 此外, 上部荷載在基礎上的作用位置也影響到沉降情況。

2）基礎埋深。高層建筑的基礎埋置較深，此時的回彈再壓縮在總沉降占有重要地位，甚至某些高層建筑為超挖基礎，此時的沉降變形將由地基回彈再壓縮決定。

3）基礎與地基土的相對剛度比。按其相對剛度比的大小, 基礎可分為柔性基礎、剛性基礎、有限剛度基礎。柔性基礎剛度很小, 幾乎沒有承受彎矩的能力, 隨地基一起變形；剛性基礎的基礎剛度遠超過土的剛度, 基礎的沉降按線性分布，在上部總荷載無偏心時，基礎產生均勻沉降；有限剛度基礎則介于兩者之間。

4）土的性質。土的壓縮性即土在壓力作用下體積減小的特性。土的體積減小有三方面的原因: ①土礦物顆粒的壓縮；②孔隙中水和空氣的壓縮；③水和空氣從孔隙中被擠出。由于土的本身性狀和環(huán)境因素差異較大，土的壓縮性有很大的區(qū)別。

因為筏板基礎具有承載力大、剛度大整體性好的特點而被廣泛應用，而隨著地下空間的開發(fā)和利用，越來越多的筏板基礎具有以下特點：

1）基礎埋深大。由于充分利用地下空間資源，目前高層基礎通常具有3～5層地下室。

2）占地面積大。由于高層建筑與低層裙房及地下車庫整體連接，建筑占地面積通常達數萬平方米。

3）荷載及剛度差異大。由于在同一個大底盤上建造一個或多個層數不等的塔樓和低層裙房，因此造成大底盤上荷載分布極不均勻，結構剛度差異極大，同時也會引起基礎偏心使基礎出現輕微整體傾斜。

4）基礎整體連接。由于使用功能的要求以及加強地下結構的整體性，這類建筑一般在地面下高低層相連處不采用雙墻雙柱及永久性沉降縫，甚至投資方要求施工時不設沉降后澆帶，基礎筏板采用整體連接。

根據沉降的主要影響因素與筏板基礎的主要特征，筏板沉降具有以下特點：

1）由于筏板基礎的荷載一般差異較大，筏板基礎的差異沉降較大，需要進行最大沉降差控制。

2）由于筏板基礎的埋深一般較大，其回彈再壓縮變形不可忽略。

3）由于筏板基礎具有較大剛性，在一定的程度上能夠調整和均衡上部結構荷載向地基傳遞，減小由于荷載差異和地基不均勻造成的建筑物不均勻沉降或傾斜，減小地基不均勻變形在結構物內部引起的附加應力。但是其面積往往較大，其不均勻沉降仍然很大，而不宜作為剛性基礎計算。

4）由于筏板基礎的面積較大，筏板內陸質條件的差異很可能較大，從而導致沉降差異變大。

總之，由于筏板基礎較為復雜，筏板基礎的沉降計算是筏板設計中的一個難點，往往不可以簡單的用分層總和法計算，也不宜用剛性基礎進行沉降計算，需要根據實際情況與經驗進行調整。

1 基底壓力的計算

地基沉降的內因是土的壓縮性，外因是建筑物的荷載，因此為了計算地基的沉降，除了研究土體的壓縮性以外，還要研究上部荷載作用下地基中的應力分布，這里首先需要確定的是基底壓力。

實驗證明，基底壓力主要與以下諸因素有關：①地基與基礎的相對剛度；②荷載的大小與分布；③基礎埋深；④地基土的性質等。

圖1柔性與剛性基礎

對基底壓力進行分析時，按照基礎抗彎剛度的大小將基礎分為以下三類：

柔性基礎的抗彎剛度很小，它好比放置于地上的柔性薄膜，可以隨著地基的變形而任意彎曲?；A上任意一點的荷載轉遞到基底時不可能向旁邊擴散分布，荷載就像直接作用于地基上一樣，因此，柔性基礎的基底接觸壓力分布與作用于基礎上的荷載分布完全一致。

剛性基礎具有非常大的抗彎剛度，受荷后基礎的撓曲很小，因此，原來是平面的基底，沉降后仍然保持為平面。如基礎的荷載合力通過基底的形心，剛性基礎將迫使基底各點同步、均勻的下沉。

按彈性體半空間理論可求得基底壓力的大小，其值在基底邊緣處趨于無窮大。然而，事實上由于邊緣處接觸應力較大，很容易使基礎邊緣處地基土發(fā)生塑性變形直至剪切破壞，土的塑性區(qū)便不再發(fā)展，此時地基與基礎之間的接觸應力為凹拋物線形或馬鞍形。隨著外荷載的不斷增大，邊緣處地基土已發(fā)生塑性變形，其接觸應力不再增加，這勢必引起土中應力重分布，中間應力將繼續(xù)增加，接觸應力的分布由馬鞍形變?yōu)閽佄锞€形。

圖2剛性基礎接觸壓力分布圖

在實際工程的基底反力測試中，常見的基底反力分布曲線為凹拋物線形或馬鞍形，很難見到凸拋物線形。主要原因是測試時地基承受的實際荷載很難達到考慮各種因素的設計荷載值，同時，設計所采用的地基承載力也有一定的安全系數，因此地基難以達到臨塑狀態(tài)。文獻還表明：基礎的剛度越大，基礎邊緣處的基底接觸壓力也越大。

有限剛度基礎,對于大部分建筑基礎來說，其基礎剛度介于柔性基礎和剛性基礎之間。因此就目前來說，確定此種基礎的基底反力是將土體視為均勻的彈性體，按照彈性理論中接觸問題的方法來進行求解。

對于具有一定剛度及尺寸的柱下獨立基礎和墻下條基等基礎，其基底壓力可近似的簡化為線形分布進行計算，當軸心荷載作用下，基底壓力均勻分布；當偏心荷載作用下為梯形或三角形分布。對于筏板基礎而言，由于基礎尺寸較大、荷載分布差異大、地質條件復雜等，基底壓力分布復雜，如果再按照線形分布計算，則可能與實際狀態(tài)差異較大，在很多情況下是不能滿足工程需求的。確定基底壓力的方法很多：

1）基于Winkler假定的基床系數法

在Winkler假定條件下地基表面的任意一點的沉降與該點的壓應力成正比，因此基床系數可以定義為地基土在外力作用下產生單位變形所需的應力，一般可以表示為：

式中：

其中的基床系數一般可以采用實驗的方式獲得，例如原位測試中采用平板荷載試驗、螺旋板荷載試驗等；室內土工試驗；基床系數還可以通過經驗公式，如基床系數與標準貫入擊數的經驗關系；國內外通過對基床系數的試驗研究,在許多文獻、手冊、規(guī)范等資料中給出了基床系數的經驗值；另外基床系數還可以通過經驗沉降進行反推進行近似計算。

Winkler地基上的板來說，一般按彈性板的彎曲理論進行計算，基床系數確定之后，即可根據邊界條件求解撓曲微分方程或有限元計算，最終確定板底的基底壓力。

一般認為Winkler地基模型比較適合基巖埋置較淺、地基土層較薄的情況。當土的粘性越低、建筑物的尺寸越小、埋置深度越淺、建筑物傳給地基的單位面積上的壓力越大時，采用基床系數法會有較好的根據。

2）彈性力學方法

將地基土視為彈性半空間體，用彈性力學理論來求地基反力，用此方法計算出來的地基反力其基礎邊緣較大，地基反力向邊緣集中的現象比較突出，其邊緣處的計算值將大于實測值，這就造成基礎的最大彎矩比按實測地基反力計算出的彎矩值要大，這在工程設計中是不經濟的。

3）實測反力系數法

實測地基反力系數法是我國現行《高層建筑箱形與筏形基礎技術規(guī)范》所規(guī)定的確定地基反力的方法，由中國建筑科學研究院地基基礎研究所提出的。其基本原理是將大量工程地基反力的實測數據經過選擇和處理，根據基礎底面縱橫向反力分布曲線以兩個平面曲線方程來接近空間曲線的母線，用最小二乘法建立地基反力的曲線方程式。

與其他地基反力計算方法相比，由于該方法是以工程實測資料為依據，并編制成表格供設計人員使用，成為目前確定地基反力最簡便實用且較符合實際情況的方法。但由于數據的缺乏及各種條件的限制，目前規(guī)范提供的地基反力系數表格仍然是有限的，還有待于在以后的工程實測中加以補充。

4）有限單元法

隨著計算機技術的發(fā)展，用于地基與基礎的共同作用分析以來，有限單元法成為分析上部結構、基礎、地基共同作用的有效方法之一。

因此在PKPMV4版本中，軟件采用了有限元計算的土反力作為基底壓力進行沉降計算。

有限元的土反力的計算與基床系數的選取關系較大，因此軟件給出了多種的基床系數的計算方法。

1.1 默認的基床系數的計算

默認情況下，軟件將相交的筏板與其子筏板與其上的局部加厚區(qū)、減薄區(qū)、電梯井、柱墩作為一個整體區(qū)域，按照一個構件進行沉降計算，并按其沉降反推基床系數，這時任意一個獨立的整體區(qū)域的基床系數采用一個值。

1.2 子筏板單獨計算基床系數

如果大筏板內布置子筏板，子筏板基床系數默認數隨大板，如果希望計算基床系數的時候分開計算確定基床系數，即每塊板單獨計算，那么“參數”里勾選“子筏板基床系數單算”。確定基床系數的沉降值，程序默認將整個筏板視為剛性體，按分層總和法計算基礎中心點沉降，然后再根據該沉降反推基床系數。

1.3 按柔性法確定基床系數

對于一些復雜工程，整個基礎整體性較差，此時可以勾選“按柔性法確定基床系數”，那么程序先按柔性算法計算沉降，再反算基床系數。柔性算法計算沉降時，筏板不再視為一個剛性體，而是會劃分成若干單元，然后每個單元分別計算沉降，并考慮各單元之間的相互影響。

2 筏板沉降計算

對于尺寸不大的獨立基礎來說，其基礎中點的沉降可以近似的代替其他各點的沉降，然而對于筏板基礎來說，其基礎下各點的沉降差不能忽略且需要控制，因此，對于計算筏板基礎的沉降來說，雖然所采用的彈性理論與獨立基礎的理論相同，但其計算模型卻有所區(qū)別。

計算筏板沉降的方法較多，例如：分層總和法；修正的分層總和法；Winkler模型法；彈性理論法；考慮應力歷史的地基沉降方法；應力路徑法；由變形特征進行沉降計算；非線性有限元方法；綜合法等。

從軟件的角度，我們可以分為兩類：一類是以有限元位移作為沉降，如Winkler模型法、彈性理論法，這類方法的特點是可以考慮筏板與上部結構的影響；另一類是將有限元反力作為基底壓力再進行沉降計算，我們還可以將此過程進行迭代。

各方法均在某些情況下得到很好的適用，然而均具有一定局限性。我們這里僅詳細說明幾個常用方法：

2.1 Winkler模型

Winkler模型在前文中已經介紹，在此不在贅述。

與其用于計算基底反力的原理相同，此地基模型不能擴散應力和變形，一般認為Winkler地基模型比較適合基巖埋置較淺、地基土層較薄的情況。當土的粘性越低、建筑物的尺寸越小、埋置深度越淺，計算結果越合理。

2.2 彈性理論模型

彈性理論法計算地基最終沉降量是以Boussinesq解作為依據，假定地基是均質的、各向同性的、線彈性的半無限體；利用半空間表面豎向集中力作用下任意一點的沉降計算公式，通過對荷載及坐標進行積分，從而推導出各種荷載形式下基底任意一點的沉降。需要指出的是，Boussinesq解只適用于當上部荷載作用在地基表面，而基礎一般都是有一定的埋深，對于此類情況，應采用Mindlin解進行沉降計算。彈性理論法理論嚴謹，對于各向同性、均質的彈性半空間體計算結果精確、簡便；但也正是其將土體視為彈性體，實際上地基土體是成層存在的，并且是非均質的，導致彈性理論法計算結果與實際情況很可能偏差較大，在工程上，一般采用該方法計算飽和軟粘土地基的瞬時沉降。

圖3基礎模型選項

2.2.1 完全彈性模型

對于筏板基礎的變形計算使用分層總和法計算，參見《地基規(guī)范》5.3節(jié)的規(guī)定。地基總變形量采用《地基規(guī)范》公式5.3.5，相應的土層參數在地質模型中，由用戶給出，平均附加應力系數按照《地基規(guī)范》附錄K采用。地基變形計算深度按照《地基規(guī)范》5.3.6條～5.3.7條的規(guī)定采用?？紤]相鄰荷載影響時，按照《地基規(guī)范》5.3.8條的角點法計算?；娱_挖地基土回彈值按照《地基規(guī)范》公式5.3.9計算。

2.2.2 修正的完全彈性模型

由于完全彈性模型中土按照半無限體計算，夸大了單元之間的相互影響，因此在完全彈性模型的基礎上對地基沉降按下式進行修正

壓縮模量	≤4	10	20	≥30
影響有效距離(m)	2D	3D	4D	5D

注：D為土單元等效直徑

2.2.3 分層地基法

分層地基法主要是指在給定的基底壓力的情況下，先將地基土分為若干水平土層，計算每層的壓縮量，然后累加起來，即為總的地基沉降量，其各種方法主要是土的應力的修正及沉降的經驗修正。

2.2.3.1 《建筑地基基礎設計規(guī)范》分層總和法

計算地基變形時，地基內的應力分布，可采用各向同性均質線性變形體理論。其最終變形量可按下式進行計算：

圖4沉降影響范圍與調整系數

分層總和法是當前工程中使用最廣泛的方法，本法計算的物理概念清楚，計算方法也很容易，易于在工程單位推廣應用，它是根據實際工程中積累的沉降實測數據，進行統計分析確定理論計算值與實測值之間的經驗系數，這系數具有可靠性與實用性。但是由于當前的筏板的復雜性越來越大，在進行沉降差控制時，地基反力的分布對其結果影響較大，而且由于其計算沉降時不能直接考慮基礎及上部結構的剛度的影響，因此其計算的沉降差很可能偏大。

2.2.3.2 高層建筑筏形與箱形基礎技術規(guī)范分層總和法

當采用土的壓縮模量計算筏形與箱形基礎的最終沉降量時，應按下列公式計算：

此方法與建筑地基基礎設計規(guī)范的分層總和法一致，僅是默認考慮回彈再壓縮的影響，不再贅述。

2.2.3.3 高層建筑筏形與箱形基礎技術規(guī)范彈性理論法

當采用土的變形模量計算筏形與箱形基礎的最終沉降量時，應按下式計算：

0<m

≤0.5

0.5<m

≤0.5

1<m

≤2

2<m

≤3

3<m

≤5

5<m

≤∞

1.00

0.95

0.9

0.8

0.75

0.7

此方法默認考慮回彈再壓縮的影響，其計算深度按照《高層建筑筏形與箱形基礎技術規(guī)范》第5.4.4條確定，需要注意的是，土的彈性模型應該按照變形模量輸入。

2.3 完全剛性法

分層總和法沒有考慮基礎與上部結構的剛度，且假設基礎底面的反力分布為已知，因此與實際情況有出入。在很多情況下，如：高層建筑、剪力墻結構、箱形基礎結構由于基礎剛度較大，或基礎連同上部結構總體剛度很大，基礎底板的整體變形較小，或者相對總沉降量來說，底板的整體彎曲變形可以忽略，此時可以將底板假設為剛性，底板各部位的反力通過平衡方程聯立求解。

圖5單元沉降計算方法

該方法的主要假定為：基礎底面為剛性平面，其最終沉降量可用平面方程表示：

并將基礎底面劃分為個單元。于是根據Boussinesq的應力積分式可以得所有單元的柔度矩陣，與相應的反力和最終沉降量平衡方程組。利用個底板總反力和上部總荷載的3個力的平衡方程：

附加壓力對其他單元的應力影響相對于Boussinesq彈性解有所降低，于是單元劃分數量就會影響到計算沉降值，所以要根據一個統一的標準，即按規(guī)范的標準進行修正，只有如此才能使用規(guī)范的經驗系數。JCCAD軟件是按《地基規(guī)范》的計算方法，將整個基礎按已劃分好的單元，采用相同的附加壓力值，分別計算各單元的沉降（全部考慮相鄰單元的影響），再將其取平均值，以此為標準進行第一次沉降修正。然后再根據《地基規(guī)范》中表5.3.5的沉降計算經驗系數的進行第二次修正，最后得出最終沉降量。如有條件的話，第二次修正采用的沉降計算經驗系數，應盡量使用本地區(qū)歸納總結的經驗系數輸入。

3 上部結構的影響

在整體性基礎計算中如何考慮上部結構的影響一直是困擾設計人員的一個難題。在工程設計中，一般將上部結構的全部重量作為荷載直接作用在基礎上，而實際上只有底層結構重量是直接作用在基礎上，按著施工順序各層荷載與結構剛度逐步形成，新的荷載只作用在逐層形成的上部結構上面。如果要完全模擬實際情況，按施工順序，將基礎和上部結構連成一體，分多次計算、再內力疊加將是一個很繁瑣的過程，目前無法用于工程設計中，因此設計人員采用了各種不同的假設和方法來考慮上部結構的影響，其核心思想就是控制整體性基礎的非傾斜性沉降差，即控制基礎的整體彎曲。

圖6考慮上部剛度參數

軟件主要是提供了三種考慮上部剛度的方法：

3.1 上部結構剛度凝聚法

將上部結構的剛度以與基礎連接的節(jié)點作出口自由度進行凝聚。

設上部結構平衡方程為:

上部結構剛度凝聚法可以有效的考慮上部結構的剛度的影響，計算的位移更加合理，因此對后續(xù)反力及沉降計算都所有幫助。

3.2 考慮剪力墻高度

由于框架結構所提供的上部剛度有限，而剪力墻的剛度較大，因此，可以考慮僅考慮剪力墻剛度近似考慮上部結構剛度，由于其精度有限，主要在初步設計時采用。

3.3 假設上部結構為剛性的倒樓蓋法

該方法是設計部門經常采用的一種方法，它假設上部結構剛度無窮大，基礎只有局部彎矩不存在整體彎曲。它的特點是概念簡單，甚至用查表手算也可得到計算結果。這種方法的實施是在基礎剛度矩陣中加大有柱、墻節(jié)點豎向位移剛度，約束豎向位移。該方法適用于上部結構剛度較大，或者地基剛度較大，沉降差較小的基礎。

4 考慮回彈再壓縮

埋深較大的筏板基礎在施工完成后基底以下土體往往處于補償或超補償狀態(tài)，此時再壓縮沉降變形在建筑物最終沉降變形中占有較大比例，此類建筑施工由于深基坑開挖所引起的地基土回彈變形以及房屋建造過程中的地基再壓縮變形、固結變形，在基礎整體撓度控制、主裙樓差異沉降控制以及施工進度控制中變得非常重要。建筑地基基礎的變形控制不僅需控制最大變形量，而且需控制地基的總變形與回彈再壓縮變形形成的變形差。

地基規(guī)范對回彈再壓縮的計算有如下規(guī)定：

當建筑物地下室基礎埋置較深時，地基土的回彈變形量可按下式進行計算：

圖7回彈再壓縮參數

在采用箱基規(guī)范計算沉降時，軟件自動考慮回彈再壓縮，采用地基規(guī)范的分層總和法時，用戶可以根據實際情況判斷是否勾選。