相似是兩個圖形之間的一種關(guān)系，是初二學過的全等的一個進階，今后求線段求角度的一種重要手段，因此這一章的重要性大家也就明白了。下面我們先從比例線段開始講起~（本文篇幅較長，建議分成兩至三次去看）

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一、比例線段的基本概念

1、比例線段的定義（低頻考點）

（1）兩條線段的比：選用同一長度單位量得的兩條線段的長度的比，叫做這兩條線段的比。

（2）成比例線段：如果線段和的比等于線段和的比，那么線段，，，叫做成比例線段，記作或，其中，叫做比的前項，，叫做比的后項，，叫做比例內(nèi)項，，叫做比例外項，叫做，，的第四比例項。（看著好繁瑣對不對，那我問你，小學學的外項積等于內(nèi)項積還記得不？記得？OK，那就夠了）

（3）比例中項：若，則稱是，的比例中項。

一般上面的這部分期末考察的不多，考察的題目也相對比較基礎(chǔ)，比如2015-2016南開期末考過比例尺：

例：在比例尺的地圖上，量得甲、乙兩地距離是，則甲、乙兩地的實際距離為__________。

分析：設(shè)兩地實際距離為，根據(jù)題意得，所以，注意題目最后的單位是“”，所以記得單位換算~

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二、比例的性質(zhì)

1、比例的基本性質(zhì)

可能很多同學表示上邊這堆亂七八糟的都是啥？我咋從來沒見過？莫慌，問題不大。比例的基本性質(zhì)和反比定理以及更比定理這幾個掌握了就可以了，因為后邊相似三角形列比例關(guān)系需要用，別的就了解一下也就完了~

2、黃金分割（低頻考點）

上面官方的語言看著有些繁瑣，我一般會這么翻譯“三點共線，短的比上長的等于長的比上整個的，那這個比就是黃金比”，能明白引號里邊的意思，做題也就不成問題了。比如，咱們來一個思考題~

按照上面黃金分割的定義來分析，那我們是不是可以類似的定義一個“黃金比例身材”？也就是：以肚臍為分割點，上半身的長度比上下半身的長度等于下半身的長度比上整個身高。如果滿足這個關(guān)系，那就是一個黃金比例的身材。斷臂維納斯知道不?這個雕塑就是一個典型的黃金比例。

黃金分割考察不多，近幾年期末中去年的河西考了一次，題目是這樣的：

例：

分析：根據(jù)概念來看，很容易的能選出A是正確選項對吧~

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三、平行線分線段成比例（基礎(chǔ)）

平行線分線段成比例其實也是相似的一種基本模型，通過此時的線段對應成比例延伸到后面三角形相似之后得到的相似比。剛才說這部分是基礎(chǔ)，考察的難度也不大。下面咱們看看近幾年的期末是如何考察的：

例：

分析：這個題是三條平行線退化成兩條的情況，也就是“A字型”。根據(jù)“上比下等于上比下”的原理，我們可以輕松得到，也就是，解得，選擇。

比例線段的知識點咱先說這么多，畢竟那些只是這一章的引入，后面咱來“正經(jīng)”的聊聊相似三角形。

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四、圖形的相似（基礎(chǔ)）

1、我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形。也就是說，一個圖形可以看成是另一個圖形的等比放大或縮小。

比如下面這兩張圖片，這就是相似的關(guān)系。

（注意：在這里強調(diào)一下全等和相似的關(guān)系。全等的特點是什么？形狀相同，大小相等。相似呢？形狀相同。因此相似是包含全等的。全等是相似比為1:1的相似。題目中經(jīng)常出現(xiàn)的話就是：全等一定相似，但相似不一定全等。這句話是對的~）

2、相似多邊形

（注意：對于多邊形相似而言，必須強調(diào)“角分別相等，邊成比例”一個不能少！不能都和三角形一樣只看角對應相等就證明相似。比較常見的就是正方形和矩形，同樣都是4個直角，但并不一定相似，如果題目說的是兩個正多邊形，那沒問題）

看到這兒有沒有困了的同學？來，開飯了，醒醒，下面講正經(jīng)事兒了

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五、相似三角形的判定（重點，難點）

1、相似三角形定義：

注意：

看懂了上邊，咱來個題：

例：

分析：①全等一定相似，正確；②兩個等腰三角形如果說頂角相等，那么根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°以及等邊對等角，它們的底角也一定相等，正確；③兩個等腰是否相似需要看它們的邊是否對應成比例或者角是否對應相等，比如等腰直角三角形和等邊三角形就不相似，錯誤；④菱形自身四條邊都相等可以滿足邊對應成比例，但是角度不確定，錯誤，故選B。

思考一個問題：如果將上題中②改為“有一個角是30°的兩個等腰三角形相似”，那么這句話對還是不對？為什么？思考一下，稍后公布答案~

如果題目只是說有兩個等腰三角形都有30°，而沒有明確這個30°是頂角還是底角，當然是不能說明相似的。因為可以是“30°，30°，120°”的鈍角等腰三角形，也可以是“30°，75°，75°”的銳角等腰三角形。

2、相似三角形的判定（重點難點）

例1：

分析：這是一個很明顯的A字模型對吧？直接用平行線分線段成比例就可以吧？自己算算，核對一下下面的答案吧

例2：

分析：原圖的三邊比為，也就是。A選項三邊比；B選項三邊比；C選項三邊比；D選項三邊比。綜上，只有B滿足條件。

（其實這個題有個簡便方法，相似三角形是不是得有對應角相等？有沒有注意到原圖有一個135°？是不是四個選項中只有B才有135°？懂了吧？秒解）

（啰嗦兩句：其實講道理，這條判定使用的頻率相對比較小，所以解題時不需要優(yōu)先考慮這一條，但正因為這個用的少，所以真正用到的時候才可能會忘……其實我的意思就是，雖然它用的少，但也得時不時地看兩眼）

例3：

分析：這個題就屬于比較直接，兩個直角三角形直角相等，兩條直角邊對應成比例，直接用判定就OK啦~

（重中之重！重中之重！！重中之重?。?！重要的重點得用6個“重”。這個兩角對應相等是咱們以后見到的絕大多數(shù)情況，做題優(yōu)先考慮使用這條。相似條件不夠腫么辦？先找兩組相等的角壓壓驚就好了~建議少年們做題的時候可以像上邊的模型圖那樣，把相等的角用相同的符號：點或圈之類的標注出來的，做題效率會高很多的，一般人兒我不告訴）

例4：

分析：讀完題先把角度標一標，∠B=∠C=∠ADE=60°，然后△ABD里邊，點+圈=120°對吧，平角∠BDC上，點+圈=120°對吧，點=點出來了吧？相似有了，比例關(guān)系能不能自己寫了？其實，這題就是考察一個“一線三等角”的模型。什么？一線三等角是啥你居然不知道？還不趕緊看看后文！

其實今后用到判定兩直角三角形相似的題會有很多，因此上面總結(jié)的這部分要好好看，記住了，明天數(shù)學課要考，哈哈

例5：

分析：如果說翻折之后的還能繼續(xù)落在AC上，那么說明折痕DE和被折疊的AC之間的關(guān)系是……垂直對吧？然后A字模型就有了，根據(jù)是CE的中點，那這三條小線段，和的關(guān)系是不是就有了，后邊我不說了行么？

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六、相似三角形的性質(zhì)（重點）

例1：

分析：

例2：

分析：第一問根據(jù)平行線分線段成比例的基本模型就能知道相似吧？第二問的重點在于關(guān)注第一問中兩個相似三角形的高以及第二問所求的正方形邊長之間的關(guān)系，有了這個方向，設(shè)未知數(shù)的方程思想就浮現(xiàn)出來了吧？（我不會告訴你后邊有對這個模型的講解的，傲嬌臉）

（1）

（2）

例3：

分析：由平移可以得到平行對吧？是不是有了諸如這樣的4組相似？由平移距離可以推導相似比對么？那面積比等于？當我們求出來和四邊形的面積比之后，剩下的是不是就很簡單了？

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七、位似（基礎(chǔ)，一般這部分考試考察一至兩個題，難度不大）

（溫馨提示：如果覺得這部分的知識點沒啥必要看或者說太長，可直接看知識點后面的紅字部分~）

1、位似的定義

2、位似圖形性質(zhì)

3、位似作圖

4、用坐標描述位似變換

我來總結(jié)兩句：說得簡單一點，位似只是相似的一種特殊情況，當相似圖形所有頂點的連線都交在同一點（位似中心）時也就出現(xiàn)了位似，位似比是等于相似比的，唯獨需要注意的就是圖形位似經(jīng)常會需要分類討論，位似中心的兩邊兒，一邊兒一個。你看這么總結(jié)完是不是更加糊涂

例：

分析：對于這個題，我有一個比較麻煩的方法……把尺拿出來，自己畫圖，畫完圖讀坐標，完事兒~當然，如果機智如你發(fā)現(xiàn)了這個題位似中心是坐標原點O，想到了直接把每個點的橫縱坐標乘以2得到一個結(jié)果，再乘以一個-2得到另一個結(jié)果那就再好不過了。

八、相似的基本模型（這個是點兒干貨，一丁點水都沒兌，好好see一see吧~）

1、與平行線有關(guān)的相似

①“A”字模型

②反“A”模型

③“8”字模型

圖3中，，

④內(nèi)接矩形與相似三角形

例1：

分析：8字模型很明顯對吧，只要能把線段長度標出來相似比就出來了。而題目所求的的線段的一部分，勾股求沒毛病吧？用相似比求和是不是沒啥難度了？

例2：

分析：這個題比上面的復雜一些，不過好在方法比較多~

（你是不是想說方法多也耽誤不了你不會。首先根據(jù)題目問的東西，是不是能大致猜到這個題考察相似？然后來，拿眼看，圖里有相似么？沒有吧？沒有相似但考相似，是不是……需要用到我們最喜歡的作輔助線，開不開心？如果我想把題目問的放到一個基本的相似模型的話，是不是能想到B，C，D可以在一個A字模型中？那是不是少一條平行線？平行線從哪個點作？線段里邊的C對吧？那……作完輔助線后邊能不能自己標標比例算算數(shù)了？）

2、與角平分相關(guān)的相似（低頻考點，我就偷個懶不給例題啦）

3、與射影定理有關(guān)的相似

例3：

分析：這個就直接用結(jié)論就可以了吧？看著別扭的話把手機轉(zhuǎn)過來，讓線段AC水平放置，那么這個圖的BF就是知識點里面的線段AD了吧？

4、一線三等角模型與相似

例4：

分析：還記得我上面講等邊三角形標點圈的那個題么？自己標一遍，來來來，趕緊的！

5、手拉手旋轉(zhuǎn)模型與相似

九、最后來倆“簡單的”

1、相似與圓（看完這四個字是不是感覺整個人都不好了？別急，后面還有更刺激的，期待不？）

例1：

分析：第一問，有切點證切線，直接連半徑。第二問其實就是一個射影定理的圖吧？把互余關(guān)系的角度標一標，是不是就有，剩下的只要能用勾股求出AD，那AE是不是也就有了？

例2：

分析：第一問，注意題目的已知條件，是所對的圓周角，而是的一半，也就是說對吧？后面自己寫~第二問的①是不是又是射影定理的圖？推導個相似就出來了吧？第二問的②，求，沒問題吧？的話是不是意味著是的角平分線啊？角平分線有什么性質(zhì)？角平分線上的點到角兩邊距離相等。而剛好就是其中的一個距離，所以是不是該做另一個距離了？輔助線有了。輔助線是不是構(gòu)造出了一個A字模型？通過模型求出輔助線的長度是不是也就求出了的長度？

2、相似與二次函數(shù)（這才叫“強強聯(lián)合”）

例：

分析：第一問待定系數(shù)法求出解析式之后根據(jù)勾股逆定理推導出三角形的形狀，這個比較基礎(chǔ)。第二問，相似三角形存在問題。首先，題目說的“以點為頂點的三角形和以點為頂點的三角形相似”和“”兩種說法是不一樣的，區(qū)別在于前者沒有頂點的對應關(guān)系，因此需要分類討論。好在，也就是兩點一定是對應點，剩下的分兩類也就可以了。把點坐標設(shè)出來，線段的長度也就有了，剩下的用相似的性質(zhì)對應角相等以及對應邊成比例也就可以自己解決了吧？

相似三角形屬于難點，而且對這部分的要求也會比較高。因為在今后考試的兩個壓軸題（24幾何綜合25二次函數(shù)綜合）中需要經(jīng)常自己構(gòu)建相似三角形去解決問題，因此對于模型我們不光要做到能認識，還得做到見到模型的一部分的時候自己補出來另一部分的模型再去解題。