后來想過一個(gè)方法，算是理解了這個(gè)問題，通過歸納：

因?yàn)?/p>

所以直觀上自然有

一家人就是應(yīng)該整整齊齊嘛！

當(dāng)然，這個(gè)問題也問過老師，老師肯定了兩個(gè)數(shù)相等，并證明如下：

這個(gè)證明很有啟發(fā)性，不僅解決了我的問題，還教會(huì)了我怎樣將任意一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)。

比如：

言歸正傳。

后來等學(xué)了高等數(shù)學(xué)，從極限的角度來看，對(duì)這個(gè)問題認(rèn)識(shí)地更深了。其實(shí)是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的求和問題：

雖然解決了問題，但是通過這樣一種無窮級(jí)數(shù)求和的迂回手段，顯得不那么直觀了。

直到學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析中的實(shí)數(shù)論，算是再一次直觀且深刻地認(rèn)識(shí)了這個(gè)問題。

對(duì)于實(shí)數(shù)軸，有以下顯然易見地結(jié)論：

如果兩個(gè)數(shù)相等，那么這兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置重合，反之也成立。

這不是廢話嗎？分析一下，這看似廢話的一句話，其實(shí)也恰好是我們一開始錯(cuò)覺的來源，0.9循環(huán)，應(yīng)該在1的左邊，比1小那么一點(diǎn)點(diǎn)，在數(shù)軸上，這個(gè)數(shù)和1的位置并不重合，所以看起來，這兩個(gè)數(shù)也就不相等了。

問題在哪兒呢？

回頭看看剛剛的結(jié)論，有一個(gè)詞的描述其實(shí)是非常文字式的、直覺式的，“位置重合”?，F(xiàn)在來思考一下這個(gè)詞的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。位置重合，意味著兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的距離為零。距離為零，也就意味著，兩個(gè)數(shù)之間不存在其他數(shù)。沒有第三個(gè)數(shù)插足！

如果兩個(gè)數(shù)相等，那么這兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上，不存在中間數(shù)。反之也成立。

比如0.1和0.2，顯然不相等，為什么呢？因?yàn)?.11，0.12，0.13，...這些0.1和0.2之間“插足者”們的存在，注定了0.1不可能等于0.2。再比如，0.0001和0也不想等，因?yàn)樗麄冎g，還有0.000001，0.000002，....等等無限多個(gè)插足者。我們還能得到這樣一個(gè)很有內(nèi)涵的結(jié)論，實(shí)數(shù)x和y只要存在一個(gè)插足者，那么必然存在無限多個(gè)插足者。

回頭再看看，0.9循環(huán)和1，它們之間有插足者嗎？能找到一個(gè)比1小，但是又比0.9循環(huán)大的實(shí)數(shù)嗎？

我們從比1小的數(shù)當(dāng)中來找，0.8，0.9，0.99，0.999，0.9999，0.999999...不論我們找一個(gè)什么樣的數(shù)，只要小于1，那就都比0.9循環(huán)小。

0.9循環(huán)和1之間，不存在插足者。

所以0.9循環(huán)=1。

事實(shí)上，根據(jù)以上結(jié)論，任何一個(gè)有理數(shù)都能寫成無限循環(huán)小數(shù)的形式：先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，對(duì)有限小數(shù)，只要把末尾的數(shù)字減去1，然后后面添上無窮多個(gè)9就行了。

比如：

這樣來看，其實(shí)無限小數(shù)的“無限”，并不是什么特別的性質(zhì)。任何一個(gè)實(shí)數(shù)，無論有理數(shù)還是無理數(shù)，都能表示一個(gè)無限小數(shù)的形式。都能在實(shí)數(shù)軸上畫出來。對(duì)于有理數(shù)，不必區(qū)分是有限小數(shù)還是無限循環(huán)小數(shù)，因?yàn)樗杏邢扌?shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù)。而眾所周知，無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，所以有理數(shù)和無理數(shù)，其區(qū)別關(guān)鍵還在是否循環(huán)上。

總結(jié)：有理數(shù)=無限循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)=無限不循環(huán)小數(shù)。