一、空間點、直線、平面之間的位置關系

1、平面的基本性質的應用

① 公理1：

公理1

② 公理2：

公理2

③ 公理3：

2、平行公理主要用來證明空間中的線線平行 .

3、公理 2 三推論：

① 一條直線和直線外一點唯一確定一個平面；

② 兩條平行直線唯一確定一個平面；

③ 兩條相交直線唯一確定一個平面 .

4、點共線、線共點、點線共面問題

① 證明空間點共線問題，一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，

再根據(jù)公理 3 證明這些點都在這兩個平面的交線上 .

② 證明空間三線共點問題，先證兩條直線交于一點，

再證明第三條直線經(jīng)過這點，把問題轉化為證明點在直線上 .

③ 證明點線共面問題的常用方法 ：

方法一：

先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內；

方法二：

先證明有關的點、線確定平面 α ，

再證明其余元素確定平面 β，

最后證明平面 α，β 重合 .

【例題1】如圖所示，四邊形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，

BC ∥且= ? AD，BE ∥且= ? FA，G , H 分別為 FA , FD 的中點 .

(1) 證明：四邊形 BCHG 是平行四邊形；

(2) C , D , F , E 四點是否共面？請說明理由 .

例題1圖

【解析】

(1) 證明：

∵ G , H 分別為 FA , FD 的中點，

∴ GH 是 △FAD 的中位線，

∴ GH ∥且= ? AD ，

又 ∵ BC ∥且= ? AD，

∴ GH ∥且 = BC，

∴ 四邊形 BCHG 是平行四邊形 .

(2) 證明：

方法一：

證明點 D 在 EF 和 CH 確定的平面內 .

∵ BE ∥且= ? FA，點 G 為 FA 的中點，

∴ BE ∥且= FG，則四邊形 BEFG 為平行四邊形，

∴ EF∥BG .

由 (1) 可知 BG∥CH，

∴ EF∥CH，即 EF 與 CH 共面，

又 ∵ D∈FH，

∴ C , D , F , E 四點共面 .

方法二：

分別延長 FE 和 DC，交 AB 于點 M 和 M''，

在證點 M 和 M’重合，從而 FE 和 DC 相交 .

如上圖所示，分別延長 FE 和 DC，交 AB 于點 M 和 M''，

∵ BE ∥且= ? FA，

∴ 點 B 為 MA 的中點，

∵ BC ∥且= ? AD，

∴ 點 B 為 M''A 的中點，

∴ M 與 M'' 重合，即 FE 與 DC 相交于點 M (M'') ,

∴ C , D , F , E 四點共面 .

二、異面直線的判定（方法）

1、定義法（不易操作）；

2、反證法

先假設兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交；

再由假設的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴密的推理，導出矛盾，

從而否定假設肯定兩條直線異面 .

假設法在異面直線的判定中會經(jīng)常用到 .

3、常用結論

過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點 (A) 的直線是異面直線 .

【例題2】如圖所示，正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，點 M , N 分別是 A1B1 , B1C1 的中點 .

(1) AM 和 CN 是否是異面直線？請說明理由；

(2) D1B 和 CC1 是否是異面直線？請說明理由 .

例題2圖

【解析】（注：先給結論，再給理由，注意答題規(guī)范！）

(1) AM 和 CN 不是異面直線 .

理由：

如圖上圖所示，分別連接 MN , A1C1 和 AC，

∵ 點 M , N 分別是 A1B1 , B1C1 的中點，

∴ MN∥A1C1 ,

又 ∵ AA1∥且=CC1 ,

∴ 四邊形 AA1C1C 是平行四邊形，

∴ A1C1∥AC，

∴ MN∥AC，

∴ 點 A , M , N , C 在同一平面內，

故 AM 和 CN 不是異面直線 .

(2) D1B 和 CC1 是異面直線 .

證明：

∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方體，

∴ B , C , C1 , D1 四點不共面 .

假設 D1B 和 CC1 不是異面直線，

則存在平面 α，使 D1B?平面α，CC1?平面α，

∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，

∴ 與ABCD-A1B1C1D1 是正方體矛盾，

∴ 假設不成立，

∴ D1B 和 CC1 是異面直線 .

三、異面直線所成的角

1、求異面直線所成角的方法

關鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與令一條直線相交，

或將兩條直線同時平移到某個位置，使其相交 .

2、求異面直線所成角的步驟

① 通過作出平行線，得到相交直線；

② 證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；

③ 通過解三角形求出該角的大小 .

【例題3】如圖所示，在空間四邊形 ABCD 中，

已知 AB = CD 且 AB 與 CD 所成的角為 30°，點 E , F 分別是 BC 和 AD 的中點，

求 EF 與 AB 所成角的大小 .

例題3圖

【解析】

要求 EF 與 AB 所成的角，可以經(jīng)過某一點作兩條直線的平行線，因為 E，F(xiàn) 都是中點，

所以可以過點 E 或點 F 作 AB 的平行線找到異面直線所成的角 .

取 AC 的中點，平移 AB 和 CD，

使已知角和所求的角在同一個三角形中求解 .

【解答過程】

取 AC 的中點 G，分別連接 EG 和 FG ，

則有 EG∥AB，F(xiàn)G∥CD，

∵ AB = CD ,

∴ EG = FG ,

∴ ∠GEF （或它的補角）為 EF 與 AB 所成的角，

∠EGF （或它的補角）為 AB 與 CD 所成的角，

又 ∵ AB 與 CD 所成的角為 30°，

∴ ∠EGF = 150° 或 30°，

由 EG = FG , 可知 △GEF 為等腰三角形，

當 ∠EGF = 30° 時，∠GEF = 75°，

當 ∠EGF = 150° 時，∠GEF = 15°，

∴ EF 與 AB 所成的角為 15° 或 75° .