專題簡析

把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人，每人少分，則物品有余(盈)；每人多分，則物品不足(虧)。已知所盈和所虧的數(shù)量，求物品數(shù)量和人數(shù)的應用題叫盈虧問題。'例如，把一袋餅干分給小班的小朋友，如果每人分3塊，多121塊；如果每人分4塊，少8塊。小朋友有多少人？餅干有多少塊？'這種一盈一虧的情況，就是我們通常所說的標準的盈虧問題。

盈虧問題的解決方法是：份數(shù)=(盈+虧)÷兩次分配數(shù)的差。物品數(shù)可由其中一種分法的份數(shù)和盈虧數(shù)求出。

還有一些非標準的盈虧問題，光如'兩盈'，即兩次分配的都有多余，解決'兩盈'問題的數(shù)量關系是：兩次盈數(shù)的差÷兩次分配數(shù)的差=參與分配的對象的總數(shù)。

解答盈虧問題的關鍵是要求出總差額和兩次分配的數(shù)量差。然后利用基本公式求出分配者人數(shù)。進而求出物品的數(shù)量。

王牌例題①

幼兒園買了一批玩縣。如果每班分8個玩具，則多出2個玩具；如果每班分10個玩具，則少12個玩具。幼兒園有多少個班？這批玩具共有多少個？

【思路導航】根據(jù)題目中的條件，我們可知：

第一種分法：每班分8個，多2個。

第二種分法：每班分10個，少12個。

從上面的條件中我們可看出：第二種分法比第一種分法多分10-8=2個，所以所需的玩具總數(shù)從多2個變成了12個，也就是說在多2個的基礎上再加12個，才能保證每班分10個。第二種分法比第一種分法所需要玩具的個數(shù)多12+2=14個，那是因為每班多分了2個，根據(jù)這一對應關系，即可求出班級的個數(shù)為14÷2=7，玩具的總個數(shù)為8×7+2=58。列式如下：

(12+2)÷(10-8)=7(個)

8×7+2=58(個)

答：幼兒園有7個班，這批玩具共有58個。

王牌例題②

一個植樹小組植樹。如果每人植5棵樹，還剩14棵樹；如果每人植7棵樹，就缺4棵樹。這個植樹小組有多少人？一共有多少棵樹？

【思路導航】列出已知條件：

每人植5棵樹，多14棵樹；

每人植7棵樹，少4棵樹。

由題意可知，植樹的人數(shù)和樹的棵數(shù)是不變的。比較兩種植樹方案，結果相差14+4= 18棵樹，即第一種方案的結果比第一種方案的結果多18棵樹，這是因為兩種分配方案每人植樹的棵數(shù)相差7-5=2。所以植數(shù)小組有18÷2=9人，共有5×9+14=59棵樹。列式如下：

(14+4)+(7-5)=9(人)

5×9+14=59(棵)

答：這個植樹小組有9人，一共有59棵樹。

王牌例題③

幼兒園老師給小朋友分梨。如果每人分4個梨，則多9個梨，如果每人分5個梨，則少6個梨。有多少個小朋友？有多少個梨？

【思路導航】這是一道典型的'一盈一虧'題。由題意可知，小朋友的個數(shù)和梨的個數(shù)是不變的。比較兩次分梨的情況，結果相差9+6=15個梨，即每人分4個梨比每人分5個梨多余15個梨。為什么會余下15個梨呢？因為每人少分了5-4=1個梨，所以用15÷1=15就是小朋友的個數(shù)，再用15×4+9=69就是梨的個數(shù)。列式如下：

(9+6)-(5-4)=15(個)

15×4+9=69(個)

答：有15個小朋友，有69個梨。

王牌例題④

老師買來一些練習本分給優(yōu)秀少先隊員。如果每人分5本，則多了14本；如果每人分7本，則多了2本。優(yōu)秀少先隊員有幾人？老師買來多少本練習本？

【思路導航】了根據(jù)題目中的條件，我們可知：

第一種分法：每人分5本，多了14本。

第二種分法：每人分7本，多了2本。

從上面可知第二種分法比第一種分法每人多分了7-5=2本，這樣就從原來的多14本變?yōu)槎?本，兩種分配方法的結果相差了14-2=12本，每人多分了2本，多少人會多分了12本呢？根據(jù)這一對應關系，可求出優(yōu)秀少先隊員的人數(shù)為12÷2=6，練習本的本數(shù)為5×6+14=44。列式如下：

(14-2)÷(7-5)=6(人)

5×6+14=44(本)

答：優(yōu)秀少先隊員有6人；老師買來44本練習本。

王牌例題⑤

幾名少先隊員到山上去種一批樹。如果每人種16棵樹，還有24棵樹設種；如果每人種19棵樹，還有6棵樹沒種。有多少名少先隊員？有多少棵樹？

【思路導航】每人種16棵樹，多24棵樹；

每人種19棵樹，多6棵樹。

這是'兩盈'的問題。由題意可知：少先隊員的人數(shù)和樹的棵數(shù)是不變的。比較兩種分配方案，結果相差24-6=18棵樹，這是因為兩種分配方案中每人種樹的棵數(shù)相差19-16=3。所以少先隊員有18÷3=6名，樹有16×6+24=120棵。列式如下：

(24-6)÷(19-16)=6(名)

16×6+24=120(棵)

答：有6名少先隊員，有120棵樹。