解與反比例函數(shù)有關(guān)的圖象的公共點(diǎn)問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況，用判別式來(lái)輔助計(jì)算.我們知道:當(dāng)判別式(△)>0時(shí)<=>一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根<=>相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);當(dāng)判別式(△)=0時(shí)<=>一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根<=>相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)判別式(△<0)時(shí)<=>一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根<=>相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與X軸無(wú)交點(diǎn)，利用這些關(guān)系就能解決有關(guān)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)問(wèn)題.

【題目呈現(xiàn)】

一.無(wú)公共點(diǎn)(△<0)

1.若反比例函數(shù)y=K/x與一次函數(shù)y=x+2的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，求K的取值范圍.

【分析】看到條件沒(méi)有公共點(diǎn)，就應(yīng)想到一元二次方程根的判別式(△)，于是化y=K/x，與y=x+2組成的方程組為:x2+2x一K=0，若此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根也即△>0，則函數(shù)y=K/x與一次函數(shù)y=x+2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根也即△=0，則函數(shù)y=K/x與一次函數(shù)y=x+2的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，若無(wú)實(shí)數(shù)根也即△<0，則函數(shù)y=K/x與一次函數(shù)y=x+2的圖象無(wú)交點(diǎn)，所以，由△<0，即22一4×1×(一K)<0，得K<一1.

2.已知拋物線y=x2+2x一m一2與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則函數(shù)y=m/x的大致圖象是(____)

【分析】由于拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，∴△<0，即22一4(一m一2)<0，解得m<一3，∴y=m/x的大致圖象應(yīng)選C.

二.有唯一公共點(diǎn)(△=0)

3.已知反比例函數(shù)y=K/x的圖象過(guò)點(diǎn)A(3，1).

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)若一次函數(shù)y=ax+6(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，求一次函數(shù)的解析式.

【分析】(1)把A(3，1)的坐標(biāo)代入y=K/x得K=3，∴解析式為y=3/x.

(2)∵一次函數(shù)y=ax+6與反比例函數(shù)y=3/x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，∴它們聯(lián)立化簡(jiǎn)后的一元二次方程根的判別式等于0，可求得a.化簡(jiǎn)后的一元二次方程為ax2+6x一3=0，△=36+12a=0，解得a=一3，∴一次函數(shù)的解析式為y=一3x+6.

三.有兩個(gè)公共點(diǎn)(a>0)

4.如圖，一次函數(shù)y=一x+8和反比例函數(shù)y=K/x的圖象在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求實(shí)數(shù)K的取值范;

(2)若△AOB的面積為24，求K的值.

【分析】(1)∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，∴聯(lián)立y=一x十8與y=k/X并化簡(jiǎn)得，X2一8x+K=0，由△>0，即82一4K>0，解得K<16，又知K>0，∴0<K<16.

(2)這一問(wèn)看上去條件少，我們?cè)O(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2，y2)，由y=一x+8，令x=0，可得y=8，∴OC=8，由于S△COB=x2OC/2，S△COA=x1OC/2，則S△AOB=S△COB一S△COA=24，即S△AOB=OC(x2一x1)/2=24，∴24=4(x2一x1)，∴(x2一x1)2=36，∴(x1+x2)2一4x1x2=36，由(1)知x1，x2為方程x2一8X+K=0，的兩個(gè)根，∴x1+x2=8，x1x2=K，∴82一4K=36，K=7.(這里巧用了根與系數(shù)的關(guān)系).還可以這樣，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥x軸于E，過(guò)B點(diǎn)作BF⊥x軸于F，如圖:

由于S△AOE=S△BOF=K/2，∴S△AOB=S梯形AEFB=1/2(AE十BF)EF=1/2(y1十y2)(x2一x1)，而y1=一x1+8，y2=一x2+8，∴上式變?yōu)椋?一x1+8一x2+8)(x2一x1)/2=24，整理得[一(x1十x2)十16](x2一x1)/2=24，由上邊根與系數(shù)關(guān)系知x1十x2=8，∴上式化簡(jiǎn)為:x2一x1=6，結(jié)合x1十x2=8，可得x2=7，則y2=1，即B點(diǎn)坐標(biāo)為(7，1)，∴K=7.(題中給出三角形的面積一般是不規(guī)則三角形面積，往往通過(guò)割補(bǔ)法，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差進(jìn)行計(jì)算，是一種化斜為直的思想，同學(xué)們需認(rèn)真體會(huì)).

四.有公共點(diǎn)(△≥0)

5.若一次函數(shù)y=mx十6的圖象與反比例函數(shù)y=n/x在第一象限的圖象有公共點(diǎn)，求mn的范圍.

【分析】由兩函數(shù)解析式聯(lián)立化簡(jiǎn)得，mx2+6x一n=0，由于有公共點(diǎn)，∴△≥0，即62+4mn≥0，解得mn≥一9.

6.如圖，過(guò)點(diǎn)C(1，2)分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=一x+6于點(diǎn)A，B，若反比例函數(shù)y=K/x(x>0)的圖象與△ABC的邊有公共點(diǎn)，求K的取值范圍.

【分析】當(dāng)反比例函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)C(1，2)時(shí)K最小，∴K=1×2=2，隨著k的增大(K>0)，反比例函數(shù)圖象離C點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)，至到與直y=一x+6只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)K最大，所以聯(lián)立y=K/x與y=一x+6得，x2一6x+K=0，此時(shí)△=0，即62一4K=0，解得K=9，∴K的范圍是2≤K≤9.

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