一、基本概念理解

1、方向導數(shù)：在函數(shù)定義域內的點，對某一方向求導得到的導數(shù)。
2、梯度：是一個向量（矢量），表示某一函數(shù)在該點處的方向導數(shù)沿著該方向取得最大值。
3、通量：在流體運動中，單位時間內流經(jīng)某單位面積的某屬性量，是表示某屬性量輸送強度的物理量。
4、環(huán)量：一個矢量沿一條封閉曲線積分。譬如在流場中任取一條封閉曲線，速度沿該封閉曲線的線積分稱為該封閉曲線的速度環(huán)量。就像力做功的計算方法一樣，形象地稱速度環(huán)量為速度繞封閉曲線的速度功。
5、散度（divergence）可用于表征空間各點矢量場發(fā)散的強弱程度，物理上，散度的意義是場的有源性。當div F>0 ，表示該點有散發(fā)通量的正源（發(fā)散源）；當div F<0 表示該點有吸收通量的負源（洞或匯）；當div F=0，表示該點無源。
6、旋度是向量分析中的一個向量算子，可以表示三維向量場對某一點附近的微元造成的旋轉程度。 這個向量提供了向量場在這一點的旋轉性質。旋度向量的方向表示向量場在這一點附近旋轉度最大的環(huán)量的旋轉軸，它和向量旋轉的方向滿足右手定則。旋度向量的大小則是繞著這個旋轉軸旋轉的環(huán)量與旋轉路徑圍成的面元的面積之比。
7、對散度的理解
散度不為零說明場是有源場，電場有源無旋，磁場無源有旋。電場是由于分離電荷的存在而產生的，所以有源；但磁場目前還沒有發(fā)現(xiàn)磁單極，所以無源。
8、對旋度的理解
俗話說有圖有真相，我們看圖說話！

我的理解是會“旋轉”，是因為受力不均勻所導致。如第一張圖水流的例子，水流在垂直的上下平面上大小是相同的，所以左邊不產生渦旋。右邊里面會產生渦旋，是因為受力不均勻，在垂直的上下這個平面上，越往下，力越小，所以產生了渦旋。

二、梯度、散度和旋度的本質和聯(lián)系

1、作用對象、運算對象和結果

梯度
作用對象：標量場
運算對象：標量
運算結果：向量（矢量）
散度
作用對象：向量場
運算對象：向量
運算結果：標量
旋度
作用對象：向量場
運算對象：向量
運算結果：向量

1.梯度針對一個標量場（勢場），衡量一個標量場的變化方向。梯度為0說明該勢場是個等勢場。其結果為向量。

2.散度針對一個向量場，衡量一個向量場的單位體積內的場強。散度為0說明這個場沒有源頭。其結果為標量。

3.旋度針對一個向量場，衡量一個向量場的自旋。旋度為0說明這個場是個保守場（無旋場），保守場一定是某個標量場的梯度場。其結果為矢量。

2、圖解 任何標量場的梯度的旋度為0

如下圖，電容器內部的電場，其實也就是梯度。對每個垂直方向的平面來說，電勢位相等。所以，這就好比剛才水流的那個例子，上下來說受力相等，所以旋度為零。

3、電磁場中散度與旋度的求解

在電磁場中任一點處
（1）（▽·E）電場強度的散度==該點處自由電荷的體密度與介電常數(shù)之比。

（2）（▽xE）電場強度的旋度== 該點處磁感應強度變化率的負值。

（3）（▽·B）磁感應強度的散度 == 處處等于零。

（4）（▽xB）磁感應強度的旋度 == 該點處電流密度與磁導率的乘積。

（5）（▽·D）電位移的散度== 該點處自由電荷的體密度 .

（6）（▽xH）磁場強度的旋度 == 該點處傳導電流密度與位移電流密度 的矢量和。

注釋：
E 是電場強度矢量
B 是磁感應強度矢量
D 是電位移矢量（也叫電感應強度） 應該還有一個電傳導向量 E=D+?
H 是磁場強度矢量 H=B+?
其中內在的聯(lián)系是：
D=εE
B=μH
大寫字母都是矢量

4、場的分類

向量場A，數(shù)量場u
▽稱為漢密爾頓算子—— ▽·▽=▽2=△
△稱為拉普拉斯算子。
1.梯度的旋度▽×▽u=0
梯度場的旋度為0，故梯度場是保守場（無旋場、有勢場）。例如重力場。
2.旋度的散度▽·(▽×A)=0
旋度場的散度為0，故旋度場是無源場。例如磁場，磁場本身是其他場的旋度場。

特別說明一下，勻強場是保守場，磁場本身是有旋度的。因此絕對的勻強磁場是不可能的。

拉普拉斯算子△就是偏偏x，偏偏y，偏偏z；拉普拉斯算子是n維歐幾里德空間中的一個二階微分算子，定義為散度。

托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推廣。格林公式表達了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系。斯托克斯公式則把曲面上的曲面積分與沿著的邊界曲線的曲線積分聯(lián)系起來。