“算術(shù)-幾何平均數(shù)”既不是算術(shù)平均數(shù)，也不是幾何平均數(shù)，由素有“數(shù)學(xué)王子”之稱的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯首先發(fā)現(xiàn)和研究。算術(shù)-幾何平均數(shù)，當(dāng)然與“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”這兩個(gè)概念有很深的關(guān)系。我們知道，但凡一個(gè)數(shù)學(xué)概念或定理，哪怕再簡(jiǎn)單不過(guò)，只要和高斯扯上關(guān)系，那就一定不簡(jiǎn)單了。帶著耐心，我們來(lái)看看高斯關(guān)于算術(shù)-幾何平均數(shù)的研究。

預(yù)備知識(shí)

對(duì)于兩個(gè)正實(shí)數(shù)a和b（不妨設(shè)0

我們有基本不等式，

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立。

證明也不難:

從數(shù)的角度

從形的角度

一目了然。

正文

算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念相當(dāng)簡(jiǎn)單，絕大部分人認(rèn)識(shí)到基本不等式這一步，可以說(shuō)是功德圓滿了。繼續(xù)研究的話，無(wú)非兩個(gè)方向：

第一，由兩個(gè)數(shù)向三個(gè)、四個(gè)乃至任意n個(gè)正數(shù)的推廣：

第二，研究其他類型的平均，比如立方平均，平方平均，調(diào)和平均（倒數(shù)平均）以及它們之間的大小關(guān)系，得到更高級(jí)的基本不等式：

也就是“立方平均數(shù)≥平方平均數(shù)≥算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)”。

上面的不等式同樣可以推廣到任意n個(gè)正數(shù)的情形。

絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)家走到這一步，也可以說(shuō)是功德圓滿了。

高斯，卻另辟蹊徑。

平均，平均，既然叫做”平均數(shù)“，自然介于兩者之間，緩和了最大與最小。完整的基本不等式應(yīng)該是：

由a和b，得到(a+b)/2和√ab，顯然

距離不到原來(lái)的一半。

令a1=√ab,b1=(a+b)/2,再計(jì)算它們的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，又有

同樣地，它們之間的距離為

這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限進(jìn)行下去，也就是

那么數(shù)列{an}單調(diào)遞增有上界，數(shù)列{bn}單調(diào)遞減有下界，且當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，

于是數(shù)列{an}和{bn}有同一個(gè)極限。

高斯就把這個(gè)極限叫做a和b的算術(shù)-幾何平均數(shù)（Arithmetic-Geometric Mean）。記為AGM(a,b)。

高斯當(dāng)時(shí)只研究了算術(shù)-幾何平均數(shù)。但順著他的這個(gè)思路，我們當(dāng)然還可以發(fā)明“算術(shù)-平方平均數(shù)”，“算術(shù)-調(diào)和平均數(shù)”，“平方-調(diào)和平均數(shù)”等概念。只需要在上面的迭代過(guò)程中，an和bn分別取an-1和bn-1不同的平均數(shù)即可。

這些平均數(shù)的數(shù)值都很容易計(jì)算，編個(gè)程序，迭代幾次就能得到精度相當(dāng)高的結(jié)果，收斂很快。

比如對(duì)1和2，小編用MATLAB編程，得到它們的算術(shù)-幾何平均數(shù)約等于1.456791031046907，算術(shù)-平方平均數(shù)約等于1.540836469462489，平方-調(diào)和平均數(shù)約等于1.45458688740267。有興趣的話可以試著計(jì)算其他組合的平均數(shù)。在計(jì)算的過(guò)程中，小編發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很有意思的結(jié)論。限于篇幅，暫且不表。

本來(lái)兩個(gè)數(shù)的平均，算數(shù)平均也好，幾何平均也好，都很簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)單，結(jié)果也簡(jiǎn)單。對(duì)1和2，它們的算術(shù)平均是1.5，幾何平均是√2，平方平均是√(5/2),調(diào)和平均是4/3。然而對(duì)如此簡(jiǎn)單的1和2，它們的算術(shù)-幾何平均數(shù)的賣相卻如此“丑陋”！1.540836469462489.......看起來(lái)似乎還是個(gè)超越數(shù)?。?！

高斯并不僅僅滿足于數(shù)值運(yùn)算。很快，他就找到算術(shù)-幾何平均數(shù)AGM(a,b)的解析表達(dá)：

圓周率π，三角函數(shù)，微積分......等等，算術(shù)-幾何平均數(shù)怎么會(huì)和這些概念扯到一起？？？

當(dāng)年，高斯22歲。

后續(xù)

研究這些平均數(shù)，有什么用呢？

對(duì)我們來(lái)說(shuō)，可以作為一種數(shù)學(xué)游戲，具有啟發(fā)思維的作用。也許，可以應(yīng)用在某個(gè)我們暫時(shí)還不知道的領(lǐng)域。

但高斯，他研究算術(shù)-幾何平均數(shù)絕非一時(shí)的游戲之作。

作為一個(gè)“能從九霄云外的高度按照某種觀點(diǎn)掌握星空和深?yuàn)W數(shù)學(xué)的天才“，高斯發(fā)現(xiàn)，算術(shù)-幾何平均數(shù)跟橢圓積分有很深的聯(lián)系。

舉個(gè)例子，有不少人對(duì)雙紐線比較熟悉，雙紐線是平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡（類比一下橢圓），長(zhǎng)得像一個(gè)無(wú)窮符號(hào)。方程如下：

學(xué)過(guò)高數(shù)的人應(yīng)該知道，雙紐線的面積是2a^2。但我們這里來(lái)看雙紐線的周長(zhǎng)。

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在上圖中取a=1，它的極坐標(biāo)方程是

根據(jù)對(duì)稱性，其周長(zhǎng)

利用高斯計(jì)算AGM(a,b)的公式，我們很容易得到該雙紐線的周長(zhǎng)

為了紀(jì)念高斯，稱

為高斯常數(shù)（Gauss's Constant）。

雙紐線的周長(zhǎng)計(jì)算其實(shí)是一種橢圓積分，而橢圓積分的反演就是橢圓函數(shù)。橢圓函數(shù)可以說(shuō)是19世紀(jì)的數(shù)學(xué)界在復(fù)變函數(shù)論方面取得的最為輝煌壯觀的成果，沒(méi)有之一。

人類歷史上第一個(gè)被研究的橢圓函數(shù)，就是雙紐線周長(zhǎng)的積分反演。而研究它的，正是高斯。

橢圓函數(shù)在數(shù)論方面的應(yīng)用發(fā)展出了模函數(shù)、模曲線、自守形式等理論。上世紀(jì)末，懷爾斯證明了費(fèi)爾馬大定理，應(yīng)用的基本工具之一正是橢圓函數(shù)。

思考題

高斯22歲發(fā)現(xiàn)的定理

有人對(duì)證明感興趣嗎？證明僅僅用到了高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，沒(méi)有任何知識(shí)盲點(diǎn)。如果感興趣的話，私信或留言告訴我，分享你的思考證明過(guò)程。視情況，我將在下一篇貼出。