函數(shù)的零點定理不僅在初等函數(shù)中應(yīng)用廣泛，在導(dǎo)數(shù)中更占有重要位置。導(dǎo)數(shù)中的“隱點零”題型中，也要用到零點定理。下面先將函數(shù)零點定理的解題模型及應(yīng)用技巧歸納如下。

1.零點存在性定理

2.判斷函數(shù)的零點(方程的根)所在的區(qū)間的方法

a.解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上.

b.利用函數(shù)的零點存在性定理：利用定理進(jìn)行判斷.

c.數(shù)形結(jié)合法：畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.

3.判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法

a.直接法：令f(x)=0,如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點.

b.利用函數(shù)的零點存在性定理：利用函數(shù)的零點存在性定理時，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

c.圖象法：畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；將函數(shù)f(x)拆成兩個函數(shù)h(x)和g(x)的差，根據(jù)f(x)=0?h(x)=g(x),則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)就是函數(shù)y=h(x)和y=g(x)的圖象的交點個數(shù).

d.利用函數(shù)性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需求出在一個周期內(nèi)的零點個數(shù)，根據(jù)周期性則可得函數(shù)的零點個數(shù).

經(jīng)典例題：

思路分析:可以直接建立方程求解零點，也可以畫出函數(shù)圖像確定零點個數(shù).?

解析:

（直接法）由f（x）=0得

解得x=-2或x=e。

因此函數(shù)f（x）共有2個零點。

（圖像法）函數(shù)f（x）的圖像如下圖所示，

由圖象知函數(shù)f（x）共有2個零點。

答案：B

總結(jié)：f(a)·f(b)<0與函數(shù)f(x)存在零點的關(guān)系

1.不滿足f(a)·f(b)<0的函數(shù)也可能有零點(如圖).

2.由函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0,如圖.所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點的充分不必要條件.

經(jīng)典例題：

若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區(qū)間

A.(a,b)和(b,c)內(nèi)

B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)

C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi)

D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)

解析:令y1=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=(x-b)[2x-(a+c)],y2=-(x-c)(x-a),由a<b<c作出函數(shù)y1,y2的圖象(圖略),由圖可知兩函數(shù)圖象的兩個交點分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi),即函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b)和(b,c)內(nèi).故選A.

答案:A

總結(jié)：?函數(shù)的零點存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點,不能判斷不變號零點,而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分條件,不是必要條件,所以在判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點時,不能完全依賴函數(shù)的零點存在性定理,要綜合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.