【例題】如圖，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD與AE相交于F，∠CFE=∠E．求證：AD∥BC．

【分析】可利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得到滿足關(guān)于AD∥BC的條件：內(nèi)錯(cuò)角∠2和∠E相等.

證明：∵AE平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠CFE

∵∠CFE=∠E，

∴∠2=∠E，

∴AD∥BC．

【點(diǎn)評(píng)】本題是角平分線的性質(zhì)以及平行線的判定定理的綜合運(yùn)用．

【拓展1】如圖，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD與AE相交于F，∠CFE=∠CEF．求證：AD∥BC．

【分析】可利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得到滿足關(guān)于AD∥BC的條件：內(nèi)錯(cuò)角∠2和∠E相等.

證明：∵AE平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠CFE

∵∠CFE=∠CEF，

∴∠2=∠CEF，

∴AD∥BC．

【反思】注意體會(huì)拓展與原題(試題內(nèi)容和解答過(guò)程)的區(qū)別與聯(lián)系，再結(jié)合圖形思考，展開想象，探尋動(dòng)與靜的規(guī)律與聯(lián)系.

【拓展2】已知：如圖，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，∠1=∠2．求證：DE∥BC．

【分析】根據(jù)垂直推出EF∥BD，推出∠1=∠EDB=∠2，再根據(jù)平行線判定即可．

證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，

∴∠AFE=∠ADB=90°，

∴EF∥BD，

∴∠1=∠EDB，

∵∠1=∠2，

∴∠EDB=∠2，

∴DE∥BC．

【例題】已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，EF交AB于點(diǎn)G，且∠AGF=∠F．∠GAF+∠AGF+∠F＝180°．求證：EF∥AD．

（人教版中的三角形內(nèi)角和定理未學(xué)）

【分析】由“AD是△ABC的角平分線”，根據(jù)角平分線的定義，可得∠BAD=∠CAD，再由∠GAF+∠AGF+∠F＝180°和∠CAB+GAF＝180°（鄰補(bǔ)角的定義），可得∠BAD+∠CAD=∠AGF+∠F，且∠AGF=∠F，即可得到∠CAD=∠F，所以EF∥AD．

【證明】∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠CAB+GAF＝180°（鄰補(bǔ)角的定義），

∠GAF+∠AGF+∠F＝180°（已知）

∴∠BAD+∠CAD=∠AGF+∠F，

又∵∠AGF=∠F，

∴∠CAD=∠F，

∴EF∥AD．

【拓展1】如圖，已知在∠MON的一邊OM上有一點(diǎn)A，另一邊ON上有一點(diǎn)C，過(guò)A作AB⊥ON交ON于點(diǎn)B，過(guò)C作CD⊥OM交OM于點(diǎn)D，AE、CF分別是∠DAB及∠DCB的平分線．且∠BAD+∠CDF+∠DCB+∠ABE＝360°．判斷AE與CF是否平行，并說(shuō)明理由．

【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定直接求解．

【解】AE∥CF，理由如下：

∵AB⊥ON，CD⊥OM，

∴∠ABE=∠CDF=90°，

∵∠BAD+∠CDF+∠DCB+∠ABE＝360°．

∴∠BAD+∠DCB=180°，

∵AE、CF分別是∠DAB及∠DCB的平分線，

∴∠BAE＝0.5∠BAD，∠FCE＝0.5∠DCB．

∴∠BAE+∠FCE=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠AEB=∠FCE，

∴AE∥CF．

【拓展2】如圖，把一張長(zhǎng)方形紙條ABCD沿AF折疊，已知∠ADB=20°，那么∠BAF應(yīng)為多少度時(shí)，才能使AB′∥BD？

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠B′AF=∠BAF，要使AB′∥BD，則需有∠B′AD=∠ADB=20°，得∠B′AB=20°+90°=110°，進(jìn)一步即可求出∠BAF．

【解】∠BAF應(yīng)為55度．理由如下：

∵∠ADB=20°，

∴要使AB′∥BD，需使∠B′AD=∠ADB=20°，

又∵∠BAD＝90°，

∴∠BAB′=∠B′AD +∠BAD ＝110°，

又由折疊可知∠BAF=∠B′AF，

∴∠BAF＝0.5∠BA B′= 55°．

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